十七世紀(jì)的數(shù)學(xué)

17世紀(jì)是一個(gè)創(chuàng)作豐富的時(shí)期，而最輝煌的成就是微積分的發(fā)明。它的出現(xiàn)是整個(gè)數(shù)學(xué)史也是整個(gè)人類歷史的一件大事。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，同時(shí)又回過頭來深刻地影響著生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展。微積分對(duì)于今天的科技工作者來說，已經(jīng)是使用非常普遍的方法了。

微積分是經(jīng)過了長(zhǎng)時(shí)間的醞釀才產(chǎn)生的。積分的思想，早在阿基米德時(shí)代已經(jīng)萌芽，16、17世紀(jì)之交，開普勒、卡瓦列里、費(fèi)馬、沃利斯特別是巴羅等人作了許多準(zhǔn)備工作。作為微分學(xué)中心問題的切線問題的探討，卻是比較晚的事，因而微分學(xué)的起點(diǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)落在積分學(xué)之后。

17世紀(jì)的著名數(shù)學(xué)家（主要是法國(guó)）如費(fèi)馬、笛卡兒、羅貝瓦爾、德扎格等人都曾卷入“切線問題”的論戰(zhàn)中。笛卡兒和費(fèi)馬認(rèn)為切線是當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)重合時(shí)的割線。而羅貝瓦爾則從運(yùn)動(dòng)的角度出發(fā)，將切線看作描畫這曲線的運(yùn)動(dòng)在這點(diǎn)的方向，這觀點(diǎn)至今在力學(xué)上還有實(shí)際意義。

牛頓、萊布尼茨的最大功勞是將兩個(gè)貌似不相關(guān)的問題聯(lián)系起來，一個(gè)是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個(gè)是求積問題（積分學(xué)的中心問題），建立起兩者之間的橋梁，用微積分基本定理或者“牛頓—萊布尼茨公式”表達(dá)出來。

在牛頓1665年5月20日手寫的一頁(yè)文件中，有微積分的最早記載，但他的工作長(zhǎng)久沒有人知道，直到1687年才用幾何的形式摘記在他的名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中。牛頓建立微積分主要從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，而萊布尼茨則是從幾何學(xué)的角度去考慮。特別和巴羅的“微分三角形”有密切關(guān)系。

萊布尼茨第一篇微分學(xué)的文章1684年在《學(xué)藝》上發(fā)表，第一篇積分學(xué)的文章1686年在同一雜志發(fā)表。他所創(chuàng)設(shè)的符號(hào)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓，故為后世所沿用。它的理論很快就得到洛必達(dá)、伯努利家族和歐拉等人的繼承和發(fā)揚(yáng)光大，到18世紀(jì)進(jìn)入了一個(gè)豐收的時(shí)期。

任何一項(xiàng)重大發(fā)明，都不可能一開始便完整無瑕。17世紀(jì)的微積分帶有嚴(yán)重的邏輯困難，以致受到多方面的非議。它的基礎(chǔ)是極限論，而牛頓、萊布尼茨的極限觀念是十分模糊的。究竟極限是什么，無窮小是什么，這在當(dāng)時(shí)是帶有根本性質(zhì)的難題。盡管如此，微積分在實(shí)踐方面的勝利，足以令人信服。大多數(shù)數(shù)學(xué)家暫時(shí)擱下邏輯基礎(chǔ)不顧，勇往直前地去開拓這個(gè)新的園地。

17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，可以概括如下：產(chǎn)生了幾個(gè)影響很大的新領(lǐng)域，如解析幾何、微積分、概率論、射影幾何等。每一個(gè)領(lǐng)域都使古希臘人的成就相形見絀。

代數(shù)化的趨勢(shì)，希臘數(shù)學(xué)的主體是幾何學(xué)，代數(shù)的問題往往也要用幾何方法去論證。17世紀(jì)的代數(shù)學(xué)比幾何學(xué)占有更重要的位置，它沖破希臘人的框框，進(jìn)一步向符號(hào)代數(shù)轉(zhuǎn)化，幾何問題常常反過來用代數(shù)方法去解決。

出現(xiàn)了大量新概念，如無理數(shù)、虛數(shù)、瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)、積分等等，都不是經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的直接反映，而是由數(shù)學(xué)理論進(jìn)一步抽象所產(chǎn)生。

數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)的聯(lián)系更加緊密，實(shí)驗(yàn)科學(xué)(從伽利略開始)的興起，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，而數(shù)學(xué)的成果又滲透到其他科學(xué)部門中去。許多數(shù)學(xué)家，如牛頓、萊布尼茨、笛卡兒、費(fèi)馬等，本身也都是天文學(xué)家、物理學(xué)家或哲學(xué)家。

數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛交流傳播，希臘時(shí)代只有少數(shù)人在研究數(shù)學(xué)，直到16世紀(jì)，情況并無多大改變。17世紀(jì)研究人員大增，學(xué)術(shù)團(tuán)體(學(xué)會(huì)或?qū)W院)相繼成立，加上印刷業(yè)的興旺發(fā)達(dá)，數(shù)學(xué)知識(shí)得到普遍的推廣和應(yīng)用。

1614年，英國(guó)的耐普爾制定了對(duì)數(shù)。
　　1615年，德國(guó)的開卜勒發(fā)表《酒桶的立體幾何學(xué)》，研究了圓錐曲線旋轉(zhuǎn)體的體積。
　　1635年，意大利的卡瓦列利發(fā)表《不可分連續(xù)量的幾何學(xué)》，書中避免無窮小量，用不可分量制定了一種簡(jiǎn)單形式的微積分。
　　1637年，法國(guó)的笛卡爾出版《幾何學(xué)》，提出了解析幾何，把變量引進(jìn)數(shù)學(xué)，成為“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)”。
　　1638年，法國(guó)的費(fèi)馬開始用微分法求極大、極小問題。
　　1638年，意大利的伽里略發(fā)表《關(guān)于兩種新科學(xué)的數(shù)學(xué)證明的論說》，研究距離、速度和加速度之間的關(guān)系，提出了無窮集合的概念，這本書被認(rèn)為是伽里略重要的科學(xué)成就。
　　1639年，法國(guó)的迪沙格發(fā)表了《企圖研究圓錐和平面的相交所發(fā)生的事的草案》，這是近世射影幾何學(xué)的早期工作。
　　1641年，法國(guó)的帕斯卡發(fā)現(xiàn)關(guān)于圓錐內(nèi)接六邊形的“帕斯卡定理”。
　　1649年，法國(guó)的帕斯卡制成帕斯卡計(jì)算器，它是近代計(jì)算機(jī)的先驅(qū)。
　　1654年，法國(guó)的帕斯卡、費(fèi)爾瑪研究了概率論的基礎(chǔ)。
        1655年，英國(guó)的瓦里斯出版《無窮算術(shù)》一書，第一次把代數(shù)學(xué)擴(kuò)展到分析學(xué)。
　　1657年，荷蘭的惠更斯發(fā)表了關(guān)于概率論的早期論文《論機(jī)會(huì)游戲的演算》。
　　1658年，法國(guó)的帕斯卡出版《擺線通論》，對(duì)“擺線”進(jìn)行了充分的研究。
　　1665～1676年，牛頓先于萊布尼茨研究了微積分，萊布尼茨早于牛頓發(fā)表了微積分。
　　1669年，英國(guó)的牛頓、雷夫遜發(fā)明解非線性方程的牛頓—雷夫遜方法。
　　1670年，法國(guó)的費(fèi)馬提出“費(fèi)馬大定理”。
　　1673年，荷蘭的惠更斯發(fā)表了《擺動(dòng)的時(shí)鐘》，其中研究了平面曲線的漸屈線和漸伸線。
　　1684年，德國(guó)的萊布尼茨發(fā)表了關(guān)于微分法的著作《關(guān)于極大極小以及切線的新方法》。
　　1686年，德國(guó)的萊布尼茨發(fā)表了關(guān)于積分法的著作。
　　1691年，瑞士的約·伯努利出版《微分學(xué)初步》，促進(jìn)了微積分在物理學(xué)和力學(xué)上的應(yīng)用與研究。
　　1696年，法國(guó)的洛比達(dá)發(fā)明求不定式極限的“洛比達(dá)法則”。
　　1697年，瑞士的約·伯努利解決了一些變分問題，發(fā)現(xiàn)最速下降線和測(cè)地線。