目   錄

課題1    思法前言

第一章  豐富的圖形世界

課題2    生活中的立體圖形

課題3    展開與折疊

課題4    截一個幾何體

課題5    平面圖形與基本的推理

課題6    直線、線段、射線、角

第二章    有理數(shù)

課題7    負數(shù)

課題8    數(shù)軸

課題9    絕對值

課題10    有理數(shù)的加法

課題11   有理數(shù)的減法

課題12   有理數(shù)的加減混合運算

課題13   有理數(shù)的乘法

課題14   有理數(shù)的除法

課題15   有理數(shù)的乘方

課題16   有理數(shù)的混合運算

課題1  思法前言

數(shù)學(xué)：人類離不開；人人都能學(xué)會！

一、走進數(shù)學(xué)世界

1.雪花的對稱性就是大自然的杰作。晶體（如冰糖）的表面對稱極為精巧，并由此內(nèi)含著深刻的物理性質(zhì)。

2.天工造物，每每使人驚嘆不已；生物進化提示的規(guī)律，有時幾個世紀也難以洞悉其中的奧秘。蜂房的構(gòu)造，大概最令人折服的實例之一。

3.人類從蠻荒時代的結(jié)繩計數(shù)，到如今用電子計算機指揮宇宙飛船航行，任何時候都受到數(shù)學(xué)的恩惠和影響，到處都體現(xiàn)著人類數(shù)學(xué)智慧的結(jié)晶。在天體運動著的星球遵循四種軌道，人造衛(wèi)星、行星、彗星等依據(jù)運動速度的不同（即7.9千米/秒、11.2千米/秒、16.7千米/秒三種宇宙速度）順從地運行在圓、橢圓、拋物線及雙曲線的軌道中。人造地球衛(wèi)星要想發(fā)射成功，必須達到第一宇宙速度。

4.人類在進步、社會在發(fā)展。隨著市場經(jīng)濟的發(fā)展，成本、利潤、投入、產(chǎn)出、貸款、股份、市場預(yù)測、風(fēng)險評估等一系列經(jīng)濟詞匯頻繁使用，買賣與批發(fā)、存款與保險、股票與債券等，幾乎每天都會碰到，而這些經(jīng)濟活動無一能離開數(shù)學(xué)。

5.數(shù)學(xué)是人類最偉大的精神產(chǎn)品之一。每一個數(shù)學(xué)公式，就是一首詩，公式C=2πR就是其中一例。司空見慣的圖形——圓，內(nèi)含的周長與半徑有著異常簡潔、和諧的關(guān)系，一個傳奇的數(shù)π把她們緊緊相連。

6.比例的數(shù)量關(guān)系，以其天造地設(shè)的美感令人嘆為觀止。把長為c的線段分為a（較長）、b（較短）兩段，使之符合a︰b≈0.618。這0.618是最美、最巧妙的比例，人們稱之為“黃金分割”。法國的圣母巴黎院、中國的故宮、埃及的金字塔的構(gòu)圖都融入了“黃金分割”的匠心。

二、回顧歷程—數(shù)學(xué)伴我們成長

1．現(xiàn)在讓我們進入時空的隧道，回憶我們的成長歷程：

出生——學(xué)前——小學(xué)，我們每一天都在接觸數(shù)學(xué)并不斷學(xué)習(xí)它，相信嗎？不妨從不同階段來舉出一些我們身邊或親身經(jīng)歷的例子，試一試。

2．進入小學(xué)，我們正式開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，回憶一下，在小學(xué)階段我們學(xué)習(xí)的主要數(shù)學(xué)知識有哪些？

3．數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，不僅開闊了我們的視野，而且改變了我們的思維方式，使我們變得更加聰明了。

發(fā)揮一下我們的聰明才智，嘗試解決下面的問題：

例1．①計算并觀察下列三組算式：

②已知25×25=625，則24×26=                （不要計算）

③你能舉出一個類似的例子嗎？

④更一般地，若a×a=m，則(a+1)(a－1)=    。

例2．如圖（1）和圖（2），毎個小正方形的邊長都為1，我們可以將其適當分割后拼成一個大正方形，請你在圖中畫岀分割線，并分別畫出拼接成的大正方形。

例3.設(shè)定期儲蓄1年期，2年期，3年期，5年期的年利率分別為2.25%，2.43%，

2.7%，和2.88%．試計算1000元本金分別參加這四種儲蓄，到期所得的

利息各為多少（國家規(guī)定：個人儲蓄從1999年11月1日起開始征收利息稅，征收的稅率為利息的20%）．分析結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？（提示：利息=本金×年利率×儲存年數(shù)）

例4.在第十屆“哈藥六杯”全國青年歌手電視大獎賽，8位評委給某選手所評分數(shù)如下表，計分方法是：去掉一個最高分，去掉一個最低分，其余分數(shù)的平均分作為該選手的最后得分，請你算一算該選手的最后得分．

例5.某校校長在國慶節(jié)帶領(lǐng)該校市級“三好學(xué)生”外出旅游．甲旅行社說：“如果校長買一張票，則其余學(xué)生可享受半價優(yōu)惠”．乙旅行社說：“包括校長在內(nèi)全部按票價的6折優(yōu)惠”（即按票價的60%收費）．現(xiàn)在全票價為240元，學(xué)生人數(shù)為5人，請算一下哪家旅行社優(yōu)惠？你喜歡哪家旅行社？如果是一位校長，兩名學(xué)生呢？

例6.已知有兩個大小相等的正方形內(nèi)緊排著九個等圓和十六個等圓，你認為這兩個正方形內(nèi)空隙哪個大？

為什么？ 

例7.某服裝店售出甲、乙兩件衣服，各得款120元，其中甲種衣服盈利20%，乙種衣服虧損20%，問這兩次買賣盈虧情況．

例8.一商店把某種品牌彩電按標價的八折出售，仍可獲利20%，（進價的20%），已知該品牌彩電每臺進價為1998元，求該品牌彩電每臺的標價為多少元？

例9.宏達百貨商店2011年全年營業(yè)額如下：第一季度40萬元，第二季度35萬元，第三季度45萬元，第四季度60萬元，回答下面問題．

(1)這一年平均每季度營業(yè)額是多少萬元？     (2)這一年平均每個月營業(yè)額是多少萬元？

(3)第四季度比第一季度增加百分之幾？       (4)第三季度的營業(yè)額比第四季度少百分之幾？   

通過剛才的解題，可以看出我們每個人離不開數(shù)學(xué)，而且整個人類、整個社會也離不開數(shù)學(xué)，

小結(jié)：生活中充滿了數(shù)學(xué)，人類離不開數(shù)學(xué)。學(xué)數(shù)學(xué)，更是為了用數(shù)學(xué)。應(yīng)用數(shù)學(xué)，首先是要有用數(shù)學(xué)的意識，其次是要學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法去看待問題、解決問題。

三、過關(guān)精練

1.猜謎語：（1）各打數(shù)學(xué)中常用字：① 千人分在北上下；② 1人立在口上邊.

（2）打一成語：2、4、6、8、10、…

2.下列圖形中，小正方形的邊長都為1cm，則圖中陰影部分的面積相等的是              

3.三個連續(xù)奇數(shù)的和是21，它們的積為                

4.計算：7+27+377+4777=            

5. 找規(guī)律，在括號里填上合適的數(shù)

(1)1，2，4，5，7，8，10，(    )，(    )      (2)19，9，17，8，15，7，(    )，(    )

6.只允許添兩個“-”、一個“+”和一個“（ ）”，不改變數(shù)字順序，把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字連成結(jié)果為100的算式：

1   2   3   4  5  6  7  8  9  =100

7.有一個正方形池塘如圖，在它的四個角上有四棵大樹，現(xiàn)在為了擴大池塘，要把池塘面積擴大一倍，但是，這四棵樹不便搬動，也不能使它淹在水里，而且擴大后的池塘還是正方形，請在圖中直接標出。

8.在操場上，小華遇到小馮，交談中順便問道：“你們班有多少學(xué)生？”小馮說：“如果我們班上的學(xué)生像孫悟空那樣一個能變兩個，然后再來這么多學(xué)生的，再加上班上學(xué)生的，最后連你也算過去，就該有100個了．”那么小馮班上有多少學(xué)生？

9. 傳說有一個叫巴霍姆的人想到草原上買一快地.他問：“價錢如何？”賣主答：“一天1000盧布。”意思是如果你愿出1000盧布，那么你從日出始至日落止，走過的路所圍住的土地就歸你所有；倘若你在日落之前回不到出發(fā)的地方，你的錢就白花了。巴霍姆覺得很合算，于是他就給賣地人1000盧布。第二天，太陽剛剛從地平線露面，他就立即在大草原上狂奔起來。他奔的路線大致如下圖。為了不使自己的1000盧布白費，他用盡全身力氣，總算在太陽全部消失前的一剎那，趕到了出發(fā)地點（A點），可是還沒站穩(wěn)，就口吐鮮血，向前一撲，再也站不起來了。計算其面積.若周長不變,你能圍住更大的面積嗎？ 

10.計算：（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）=              .

11.計算：1+2+3+…+2003+2004+2003+…+3+2+1=             ．

12.今有一塊正方形土地，要在其上修筑兩條筆直的道路，使道路把這片土地分成形狀相同且面積相等的4部分，若道路的寬度忽略不計，請你設(shè)計三種不同的修筑方案．（只需畫簡圖）

13.已知等式（1）a＋a＋b=23，（2）b＋a＋b=25。如果a和b分別代表一個數(shù)，那么a＋b是（     ）

A.2              B.16               C.18               D.14

14.用如圖所示，大小完全相同的兩個直角三角形紙片，若將它們的某條邊重合，能拼成幾種不同形狀的平面圖形？請你畫出拼成的圖形．

15.計算： 

16．汽車上有男乘客45人，若女乘客人數(shù)減少10％，恰好與男乘客人數(shù)的相等,汽車上女乘客有多少人？

17．在一個停車場，共有24輛車，其中汽車是4個輪子，摩托車是3個輪子，這些車共有86個輪子，那么三輪摩托車有多少輛？

18．自然數(shù)如下表的規(guī)則排列：（1）求上起第10行，左起第13列的數(shù)；

（2）數(shù)127應(yīng)排在上起第幾行，左起第幾列？

第一章  豐富的圖形世界

課題2    生活中的立體圖形

一、【學(xué)習(xí)目標】

1.能從現(xiàn)實世界中抽象出立體圖形；     2.能區(qū)分常見的立體圖形，并說明它們的特征；

3.理解點、線、面體之間的關(guān)系.

二、【知識梳理】

1.幾種常見的幾何體:

（1）說岀下列幾何體的名稱； 

（2）面和面相交得到       ，線與線相交得到       .

（3）點動成        ，線動成         ，面動成         .

2.有關(guān)概念：

（1）柱體 

① 棱柱體：〔如圖（1)(2）〕，圖中上下兩個面稱棱柱的底面，周圍的面稱棱柱的側(cè)面，面與面的交線是棱柱的棱．其中側(cè)面與側(cè)面的交線是側(cè)棱，棱與棱的交點是頂點．

點撥：正方體和長方體是特殊的棱柱，它們都是四棱柱．正方體是特殊的長方體．

② 圓柱：圖（3）中上下兩個圓面是圓柱的底面，這兩個底面是半徑相同的圓，周圍是圓柱的側(cè)面．

 點撥：棱柱和圓柱統(tǒng)稱柱體．

（2）錐體

① 圓錐：〔如圖（4）〕圖中的圓面是圓錐的一個底面，中間曲面是圓錐的側(cè)面，圓錐只有一個頂點． 

② 棱錐：〔如圖（5）〕圖中下面多邊形面是棱錐的一個底面，其余各三角形面是棱錐的側(cè)面．

 點撥：棱錐和圓錐統(tǒng)稱錐體．

（3）臺體 

① 圓臺：〔如圖（6）〕圖中上下兩個大小不同的圓面是圓臺的底面，中間曲面是圓臺的側(cè)面．

② 棱臺：〔如圖（7）〕圖中上下兩個大小不同的多邊形是棱臺的底面，其余四邊形是棱臺的側(cè)面． 

 （4）球體：〔如圖（8）〕圖中半圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)而成的幾何體，球體表面是曲面．

三、【典例精析】

例1.下列說法中，正確的是（    ）.

①柱體的兩個底面一樣大；②圓柱、圓錐的底面都是圓；③棱柱的底面是四邊形；④長方體一定是柱體；⑤正棱柱的側(cè)面一定是長方形.

A.2個       B.3個       C.4個       D.5個

例2.觀察下圖，請把左邊的圖形繞著給定的直線旋轉(zhuǎn)一周后可能形成的幾何體是（    ） 

A           B             C               D

例3.一個長方形的長為4，寬為3，分別以它的長、寬所在直線為軸，把長方形旋轉(zhuǎn)一周后，得到不同的圓柱體，分別求出它們的體積.

例4.用數(shù)學(xué)知識解釋：

⑴.一只螞蟻行走的路線；    ⑵.汽車雨刮器的運動；    ⑶.一個圓沿著它的一條直徑旋轉(zhuǎn).

例5.生活中的物體：足球、鉛筆、掛衣櫥、漏斗、磚塊、魔方、西瓜、蘋果、六角螺母等類似于哪些幾何體？

小結(jié)：1.幾何體是由點、線、面構(gòu)成的；

2.生活中的點動成線，線動成面，面動成體；

3.生活中的幾何體很多，我們可以把幾種常見的幾何體進行如下分類：

四、【過關(guān)精練】

1.判斷正誤：

（1）棱柱側(cè)面的形狀可能是一個三角形（     ）

（2）棱柱的每條棱長都相等.  （     ）

（3）正方體和長方體是特殊的四棱柱，也是特殊的六面體. （     ）

2.長方體共有（   ）個面.

A.8      B.6       C.5       D.4

3.六棱柱共有（   ）條棱.

A.16     B.17     C.18      D.20

4.下列說法，不正確的是（  ）

A、圓錐和圓柱的底面都是圓.

B、棱錐底面邊數(shù)與側(cè)棱數(shù)相等.

C、棱柱的上、下底面是形狀、大小相同的多邊形.

D、長方體是四棱柱，四棱柱是長方體.

5.下面的幾何體是棱柱的是（   ）

       A                  B                 C                 D

6.（1）正方體有    個面，    個頂點，經(jīng)過每個頂點有    條棱，這些棱的長度     （填相同或不同），棱長為的正方體的表面積為       .

（2）長方體有    個頂點，    條棱，    個面.

（3）五棱柱是由     個面圍成的，它有     個頂點，有     條棱.

（4）一個六棱柱共有      條棱，如果六棱柱的底面邊長都是2，側(cè)棱長都是4，

那么它所有棱長的和是       .

（5）如圖所示的幾何體是由一個正方體截去后而形成的，這個幾何體是由     個面圍  

成的，其中正方形有    個，長方形有    個.

7.將下面的幾何體進行分類，并寫出簡單理由。

      ①                  ②               ③                   ④             ⑤           

8.至少找出下列幾何體的4個共同點。

9.在正方體的六個面上分別涂上紅、黃、藍、白、黑、綠六種顏色，現(xiàn)有涂色方式完全相同的四個正方體，如圖拼成一個長方體，請判斷涂紅、黃、白三種顏色的對面分別涂著哪一種顏色？

10.如圖，已知一個正方體的六個面上分別寫著六個連續(xù)的整數(shù)，且每兩個相對面上的兩個數(shù)的和都相等，圖中所能看到的數(shù)是16，19和20，求這6個整數(shù)的和.

11.畫出下列圖形繞著虛線旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體.

 （1）        （2）        （3）         （4）        （5）      

12.已知一個五棱柱，請?zhí)羁眨?nbsp;                          

（1）這個棱柱的上下底面是____邊形，有_____個側(cè)面；      

（2）這個棱柱有_____條側(cè)棱，共有_______條棱；

（3）這個棱柱共有_____個頂點．

13. 十八世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中的頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式，請觀察下列幾種簡單多面體模型，并解答下列問題：

（1）完成下表中的空格：

你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是               

（2）通過以下多面體檢驗?zāi)惆l(fā)現(xiàn)的關(guān)系式是否正確？

（3）一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大8，且有30條棱，求這個多面體的面數(shù).

（4）某個玻璃鈽品的外形是簡單多面體，它的外殼表面是由三角形和八邊形垪接而成，且有24個頂點，毎個頂點處都有3條棱，設(shè)該多面體外表面三角形的個數(shù)為個，八邊形個數(shù)為個，求的值.

課題3   展開與折疊

一、【學(xué)習(xí)目標】

1.能進行圖形的分割組合；

2.會判斷正方體的相對面；

3.能區(qū)分幾何體的表面展開圖，會判斷最短路線.

二、【知識梳理】

1. 圓柱、圓錐、正三棱錐、正四棱錐、正五棱錐、正三棱柱的展開圖：

2. 正方體的平面展開圖： 

（1）設(shè)法將一個正方體展開，需要剪開幾條棱？幾條棱沒剪開?

（2）你能將正方體展開成下列形式嗎？

（3）正方體的展開圖有哪些？（用邊長為1厘米的正方形畫）

①最多4個面連在一起的情況

②最多3個面連在一起的情況

③最多2個面連在一起的情況

3.總結(jié)：正方體的展開圖如下：

三、【典例精析】

例1.常見幾何體的展開圖問題

（1）下列展開圖中，不能圍成幾何體的是（     ）.

（2）下列各個平面圖形中，屬于圓錐的表面展開圖的是(    )

A                        B                   C                D

例2.正方體的展開圖問題

如下圖是個正方體的展開圖，圖中已標出三個面在正方體中的位置，F(xiàn)表示前面,R表示右面,D表示下面, 試判斷另外三個面A,B,C在正方體中的位置.

例3.最短距離問題

如圖1的正方體盒子中，一只螞蟻從B點沿正方體的表面爬到D1點，畫出螞蟻爬行的最短線路.共有幾條最短路線？

例4.如圖：正五棱柱底面邊長都是5㎝，側(cè)棱長為6㎝，回答下列問題：

⑴ 它有多少個面？哪些面的形狀、面積完全相同？

⑵ 它有多少條棱？長度分別是多少？

⑶ 沿一條側(cè)棱將其側(cè)面全部展開成一個平面圖形，畫出示意圖，并計算其面積.

四、【過關(guān)精練】

1.如圖1是一個小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從圖2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，這時小正方體朝上一面的字是（   ）

A．奧             B．運               C．圣               D．火

2．如圖，下列圖形經(jīng)過折疊不能圍成棱柱的是（   ）

A                 B                   C                D

3.如下左圖是一個正四面體，它的四個面都是正三角形，現(xiàn)沿它的三條棱AC、BC、CD剪開展成平面圖形，則所得的展開圖是（     ）

4..如下圖，哪個是正方體的展開圖（      

5.如圖所示的立方體，如果把它展開，可以是下列圖形中的（   ）

[來源:Zxxk.Com]

6.將圖（1）中的圖形折疊起來圍成一個正方體，應(yīng)該得到圖（2）中的（     )[來源:Z+xx+k.Com]

7.從棱柱的折疊過程可以知道：

（1）棱柱的表面展開圖是兩個______的多邊形作底面，幾個_______作側(cè)面；

(2) 棱柱的底面邊數(shù)與側(cè)面數(shù)_______；

(3) 棱柱的兩個底面要分別在側(cè)面展開圖的_______．

8.部分幾何體的平面展開圖：

（1）圓柱的表面展開圖是_________作底面；和______________作側(cè)面．

（2）圓錐的表面展開圖是___________作底面；和_______________作側(cè)面

9.下圖所示的平面圖形是由哪幾種幾何體的表面展開的？

10.在4×4的方格中，取適當?shù)南噙B的5個小正方形可折疊成無蓋的正方體盒子，請你在圖由中畫岀這樣的相連的5個正方形，在圖中最多能剪折多少個？

11.小華用如下圖所示的膠滾沿從左到右的方向?qū)D案滾涂到墻上，則符合膠滾涂出的

一個正確圖案是（   ） 

13.如下圖是一食品包裝盒側(cè)面展開圖. 

（1）指出這個包裝盒的多面體形狀的名稱；

（2）計算出這個多面體的側(cè)面積（單位：）

14.如下圖是一張鐵皮.

（1）計算鐵皮的面積；

（2）它能否做成一個長方體的盒子？若能，求出它的體積；

若不能，請說明理由.

課題4  截一個幾何體

一、【學(xué)習(xí)目標】

1.了解用平面截幾何體出現(xiàn)的截面形狀，體會面與體的轉(zhuǎn)換，提高動手操作能力；

2.會從不同方向觀察同一個物體，能識別簡單物體的三種視圖；

3.會畫用若干個小正方體搭成的幾何體的三種視圖。

二、【知識梳理】

1.用平面截一個幾何體出現(xiàn)的截面形狀

（1）用一個平面去截正方體，可能出現(xiàn)下面幾種情況：

  三角形     正方形    長方形          梯形      五邊形      六邊形

點撥：用平面去截幾何體，所得的截面就是這個平面與幾何體每個面相交的線所圍成的圖形．正方體只有六個面，所以截面最多有六條邊，即截面邊數(shù)最多的圖形是六邊形．

（2）用平面截圓柱體，可能出現(xiàn)以下的幾種情況．

點撥：用平面去截圓柱體，可以與圓柱的三個面(兩個底面，一個側(cè)面)同時相交，由于圓柱側(cè)面為曲面，相交得到是曲線，無法截出三角形．

（3）用平面去截一個圓錐，能截出圓和三角形兩種截面(還有其他截面，初中不予研究)

（4）用平面去截球體，只能出現(xiàn)一種形狀的截面

結(jié)論：①正方體的截面可能是                                           

②圓柱的截面可能是                                        

③圓錐的截面可能是                           ④球的截面是        

2．識別物體的三視圖

（1）主視圖、左視圖、俯視圖的定義

從不同方向觀察同一物體，從正面看圖叫主（正）視圖，從左面看圖叫左（側(cè)）視圖，從上面看圖叫做俯視圖．

（2）幾種幾何體的三視圖

①正方體：三視圖都是              

②球  體：三視圖都是              ．

③圓柱體：主視圖是         ；左視圖是         ；俯視圖是         。

④圓錐體：主視圖是         ；左視圖是         ；俯視圖是         。

點撥：圓錐的主視圖、左視圖都是三角形，而俯視圖的圖中有一個點表示圓錐的頂點，因為從上往下看圓錐時先看到圓錐的頂點，再看到底面的圓．

三、【典例精析】

例1．用平面截下列幾何體，找出相應(yīng)的截面形狀．[來源:學(xué)科網(wǎng)]

例2．用平面截幾何體可得到平面圖形，在表示幾何體的字母后填上它可截出的平面圖形的號碼。

A（       ）；B（       ）；C（       ）；D（       ）；E（       ）.

思考：用一個平面去截一個幾何體，截面形狀有圓、三角形，那么這個幾何體可能是                      。

例3．畫出下列立方體的三視圖：

點撥：注意主視圖與俯視圖列數(shù)相同,左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同. 

四、【過關(guān)精練】

1.一個正方體的截面不可能是（    ）

A.三角形          B.梯形         C.五邊形            D.七邊形

2.有下列幾何體：（1）圓柱；（2）正方體；（3）棱柱；（4）球；（5）圓錐；（6）長方體。則這些幾何體中截面可能是圓的有（    ）

A.2種            B.3種           C.4種             D.5種

3.如圖：用一個平面去截一個圓柱，則截面形狀是（    ）

4.正方體被一個平面所截，所得邊數(shù)最多的多邊形是（    ）

A.四邊形    B.五邊形    C.六邊形    D.七邊形

5.物體的形狀如圖所示，則此物體的俯視圖是（    ）             

6.在一個倉庫里堆積著正方體的貨箱若干，這堆貨物的三種視圖如下

        這些正方體貨箱的個數(shù)為（    ） 

A、5             B、6            C、7           D、8

7.用一個平面去截五棱柱，邊數(shù)最多的截面是_       _____形．

8.如果用一個平面去截一個幾何體，所得任意截面都是圓，則這個幾何體是__ ____.

9.用一個平面去截幾何體，若截面是三角形，這個幾何體可能是__                              ___

課題5   平面圖形與基本的推理

一、【學(xué)習(xí)目標】

1.能從現(xiàn)實生活中抽象岀平面圖形；     2.能利用多邊形進行拼圖；

3.會判斷多邊形及扇形，并能進行簡單的計算；    4.掌握基本的推理、論證的方法.

二、【知識梳理】

1．多邊形的定義：

定義1：三角形、四邊形、五邊形等都是多邊形，它們都是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形．多邊形可分為凸多邊形與凹多邊形兩類，若無特別說明均指凸多邊形.

定義2：邊長與角都相等的多邊形叫正多邊形．

定義3：把多邊形的一個頂點與其余的不相鄰的頂點連接起來的線段叫做這個多邊形的對角線.

2．多邊形的分割：提問：從多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線有多少條？這些對角線將多邊形分割成多少個三角形？

定理：從n邊形的一個頂點出發(fā)有條對角線，這些對角線又把這個n邊形分割成個三角形；n邊形共有條對角線.

3．扇形與弧的定義及區(qū)別：

(1)?。簣A上                叫弧．

(2)扇形：由            和經(jīng)過                      所組成的圖形叫扇形．

(3)扇形與弧的區(qū)別:弧是一段曲線，而扇形是一個面．

4.推理的依據(jù)是學(xué)過的定義、公理和定理。推理時一定要做到言必有據(jù).

（1）定義：對于一個名詞或術(shù)語的意義的說明就叫做定義。比如：

定義1：直線上一點和它一旁的部分叫做射線.這就是射線的定義；射線可由線段向一方無限延長而得.

定義2：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.這就是角的定義。 

（2）公理：被人類長久以來的實踐所證實，作為推理依據(jù)的事實叫做公理。比如：

公理1：經(jīng)過兩點有且只有一條直線.

公理2：在所有連接兩點的線中，線段最短。

（3）命題：可以判斷真假的語句叫命題. 命題分為“真命題”與“假命題” 兩類.

（4）定理：用邏輯推理的方法證明為正確的命題叫做定理。比如：

定理1：三角形內(nèi)角和為180°。其證明需要用到平行線的相關(guān)性質(zhì).

定理2：三角形兩邊之和大于第三邊。其證明需要用到以上公理2.

5.為何要推理、論證？

（1）請量一量、拼一拼，找出規(guī)律.

提問：在測量三角形的內(nèi)角和時，你真能測量得絕對精確、沒有一點誤差嗎？在把三角形的內(nèi)角拼接為一個平角時，你真的認為能拼成一個平角嗎？會不會只是很接近平角呢？    

（2）請擺一擺，找出規(guī)律.

提問：在用三根小棍擺三角形時，你發(fā)現(xiàn)了兩邊之和必須要大于第三邊。這個結(jié)論對所有長度的小棍都成立嗎？你沒有擺的其他長度也是這樣嗎？

（3）請看一看，你能得出什么結(jié)論：

圖（1）中，線段AB、CD哪一條長？        圖（2）中，線段AB、AC哪一條長？

圖（3）中，兩個帶陰影的橢圓哪一個大？     圖（4）中，兩條直線之間一樣寬嗎？

提問：你相信“眼見為實”嗎？再量一量看看.

總結(jié)：測量有誤差，觀察不可靠，唯有推理、論證才信服于人。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，一定要養(yǎng)成“講道理”的習(xí)慣。

6.三角形的外角

（1）定義：三角形一條邊的延長線與其相鄰的一條邊組成的角，叫做三角形的外角。

（2）定理：關(guān)于三角形的外角有如下定理：

定理1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

定理2：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角。

定理3：三角形的外角和為（每個頂點處的外角只取其中一個）。

在中學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)們一定不能只注重結(jié)論，還必須弄清楚其來源和推理過程。

三、【典例精析】

例1．正方形通過剪切可以拼成三角形，方法如圖（1）所示，仿照圖示方法解答下列問題：

（1）如圖（2），對直角三角形，設(shè)計一種方案將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩形；

（2）如圖（3），對任意三角形，設(shè)計一種方案將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩形；

例2.已知：如圖，D是AB中點，E是AC中點，且AB＝AC。   

求證：AD＝AE。

例3.已知：如圖，在中，，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的  

高，H是BE和CF的交點。求的度數(shù)。

點撥：有的同學(xué)認為只有證明題才需要推理依據(jù)，計算題與證明題不同，只要算出得數(shù)即可。這個觀念是極其錯誤的，計算題在計算過程中也存在著推理論證，也要求言必有據(jù)！

四、【過關(guān)精練】

1.如圖，圖中三角形的個數(shù)為（    ）

A. 2              B. 18              C. 19            D. 20

                   [來源:學(xué)科網(wǎng)]

     第1題圖                           第2題圖

2.將兩個完全相同的三角形，如圖，拼在一起成為四邊形，使它們有一條相等的邊完全重合，則能拼出不同的平 面圖形（     ）種

A. 2       B. 4        C. 6      D. 8

3.下列說法中正確說法的個數(shù)是（     ）

①鈍角三角形有兩條高在三角形內(nèi)部；

②三角形三條高至多有兩條不在三角形內(nèi)部；

③三角形三條高的交點不是在三角形內(nèi)部，就是在三角形外部；

④鈍角三角形三個內(nèi)角的平分線的交點一定不在三角形內(nèi)部。

A.1個      B.2個      C.3個     D.4個

4.如果三角形三邊長分別為、、，則的取值范圍是（    ）

A.         B.         C.           D.

5.一個等腰三角形的周長是11，其中一邊長是3，則其他兩邊長是（     ）

A.3和5           B.4和4          C.3和5或4和4      D.不能確定

6.五條線段的長分別為1，2，3，4，5，以其中三條線段為邊長可以構(gòu)成的三角形的個數(shù)為（    ）

A.3個      B.4個       C.5個       D.6個

7.如圖，如果OA,OB,OC是圓的三條半徑，那么圖中有     個扇形.

8.如果從一個多邊形的一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各

頂點，可將這個多邊形分割成2012個三角形，那么此多邊形的邊數(shù)為         

9.（1）若在n邊形內(nèi)部任意取一點P，將P與各頂點連接起來，則可將多邊形分割成     個三角形.

（2）若點P取在多邊形的一條邊上（不是頂點）,在將P與n邊形各頂點連接起來，則可將多邊形分割成     個三角形.

10.如圖，圖中共有         個梯形。     

11.平面內(nèi)有5個點，過毎兩個點作直線，則最多可得      條直線，最少可得     條直線。

12.平面內(nèi)三條直線把平面分割成最少     塊，最多     塊。

13..已知扇形弧上連同兩個端點共有4個點，將這4點與圓心連接，則共可得     個扇形。

14.已知：如下左圖，中，OA、OB分別平分、，若，則        ；

15.已知：如上右圖，AD、AE分別是的高和角平分線，若，，則        ，         ，         ； 

16.已知中，，，垂足為D、E，AD＝6，BC＝10，BE＝8。則AC的長為______________；

17.已知：如圖，中，，，AE平分。

求證：。

20.已知：中，D為AB邊上一點，且AD＝AC，            

求證：。

課題6   直線、線段、射線、角

一、【學(xué)習(xí)目標】

1.理解線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系；

2.理解“兩點之間線段最短”和“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”；

3.理解角的有關(guān)定義、表示方法、會計算角度數(shù)和進行簡單的換算。

二、【知識梳理】

1.線段：直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段；線段有兩個端點；可以測量長度和比較大小；.

性質(zhì)：兩點之間線段最短。

2.射線：射線只有一個端點,另一邊可以無限延伸；不可測量長度和比較大小。

3.直線：經(jīng)過兩點有且只有一條直線；直線沒有端點；可以向兩端無限延伸；不可測量長度。

點撥：線段和射線都是直線的一部分.

4.線段、射線、直線的表示方法：

①一條線段可用表示兩個端點的大寫字母來表示，如線段AB或BA．或一個小寫字母表示。

②一條射線可用端點和射錢上的另一點表示，規(guī)定把表示端點的字母寫在前面．

③一條直線可用兩個大寫字母表示，這兩個大寫字母代表直線上的兩個點，如直線AB或BA；

另外直線還可用一個小寫字母表示。

5.角：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點是這個角的頂點。角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的。

6.角通常有四種表示方法：

（1）角可以用三個字母及符號“∠”表示，其中表示頂點的字母寫在中間。

（2）角可以用一個數(shù)字和符號“∠”表示。

（3）角可以用希臘字母（α、β、γ）和符號“∠”表示。

（4）如果一個角的頂點上只有一個角，那么也可以用這個頂點字母和符號“∠”表示。

7.角的度數(shù)與換算：在測量角時，有時以度為單位還不夠，我們需要用比1°更小的單位，稱之為分和秒，

把1°的角等分成60份，每一份是1分，記做1'，把1分的角再等分成60份，每份就是1秒，記做1"，

即1周角=360°；1°=60'；1'=()°；1'=60"；1"=()'；

8.角的分類：

三、【典例精析】

例1.判斷正誤：

（1）直線AB與直線BA是同一條直線；（  ）

（2）射線AB與射線BA是同一條射線；（  ）

（3）線段AB與線段BA是同一條線段；（  ）

（4）線段有兩個端點,射線有一個端點,直線沒有端點.（  ）

例2.圖中給出的直線、射線、線段,根據(jù)各自的性質(zhì),能相交的是(   )

例3.已知A、B、C、D在一條直線上，線段AD＝6cm，BD＝2cm，C是線段AD的中點，求線段BC的長度。

例4.如圖：作出三角形ABC的三個內(nèi)角的平分線．觀察它們是否交于一點，如果交于一點，則交點的位置在哪里？

例5.如圖,AOB為一直線，OC、OD、OE是射線，則圖中大于0°小于180°的角有多少個？

例6.如圖.∠AOB=35°40＇，∠BOC=50°30＇，∠COD=21°18＇，OE平分∠AOD，求∠BOE.

點撥：利用圖形中的角的位置關(guān)系，求出已知角的和差，再利用角的平分線定義求出角的大小。

例7.如圖：AC為一條直線，O是AC上一點，，OE、OF分別平分∠AOB和∠BOC，

（1）當∠AOB＝120°時，求∠EOF的大?。?/p>

（2）當OB繞O旋轉(zhuǎn)任意角度時，問：∠EOF的大小發(fā)生變化嗎？你能否用一句話概括出這個命題．

四、【過關(guān)精練】

1.如右圖所示，已知平面上四個點

（1）畫直線AB；（2）畫線段AC；（3）畫射線AD、DC、CB；

（4）指出圖中有_____條線段，有___  條射線，

2. 已知A、B、C在一條直線上，且線段AB=5 cm，BC=3 cm，求線段AC的長.

3.如下圖，點C分AB的比為2∶3，點D分AB的比為1∶4，若AB為10 cm,則AC=_______cm；BD=_______cm；CD=_______cm.

4.如下圖，∠AOB為平角，且∠AOC=∠BOC，則∠BOC的度數(shù)是（  ）

A.100°        B.135°       C.120°       D.60°

5.計算(1)57.32°=___度_____分____秒.(2)27°14′24″=      _度.

6. 如下左圖：AB的長為m，BC的長為n，M、N分別是AB，BC的中點，則MN=_____

7.如上右圖：用“＞”、“＜”或“＝”連接下列各式，并說明理由．AB＋BC_____AC；

AC＋BC_____AB；BC_____AB＋AC；理由是_______        _ 

8..一個人從A點出發(fā)向北偏東60°的方向走到B點，再從B點出發(fā)向南偏西15°方向走到C點，那么∠ABC的度數(shù)是(    )

A.75°           B.105°          C.45°          D.135°

9.如右圖，直線AB、CD相交于O，∠COE是直角，∠1=57°，則∠2=____.

10．如下圖，點O在直線AC上，畫出∠COB的平分線OD。若∠AOB＝55°，  

求∠AOD的度數(shù).

11.在直線l上任取一點A，截取AB=16 cm，再截取AC=40 cm，求AB的中點D與AC的中點E之間的距離. 

12.如下圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，若∠AOC=70°，∠COE=40°,

求∠BOD的度數(shù)。

13.如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝4，P是BC上任意一點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，若△ABC的面積為6，求PD＋PE的值。

14.已知：如圖，中，AD是角平分線，，。

求的度數(shù)。

第二章    有理數(shù)

課題7  數(shù)怎么不夠用了—負數(shù)

一、【學(xué)習(xí)目標】

1．了解正數(shù)與負數(shù)是從實際需要中產(chǎn)生的；

2．理解正數(shù)與負數(shù)的概念，并會判斷一個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)；

3．初步會用正負數(shù)表示具有相反意義的量；

4．在負數(shù)概念的形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納與概括的能力．

5．理解有理數(shù)的意義，并能將給出的有理數(shù)進行分類；

二、【知識梳理】

1.小學(xué)里已經(jīng)學(xué)過哪些類型的數(shù)？            ；             ；              

點撥：小學(xué)里學(xué)過的數(shù)可以分為三類：自然數(shù)(正整數(shù))、分數(shù)和零(小數(shù)包括在分數(shù)之中)，它們都是由于實際需要而產(chǎn)生的．

為了表示一個人、兩只手、……，我們用到整數(shù)1，2，……

為了表示“沒有人”、“沒有羊”、……，我們要用到0．

但在實際生活中，還有許多量不能用上述所說的自然數(shù)，零或分數(shù)、小數(shù)表示．例如：

（1）某市某一天的最高溫度是零上5℃，最低溫度是零下5℃．要表示這兩個溫度，如果只用小學(xué)學(xué)過的數(shù)，都記作5℃，就不能把它們區(qū)別清楚．“零上5℃”和“零下5℃”它們是具有相反意義的兩個量．

（2）珠穆朗瑪峰高于海平面8848米，吐魯番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意義是相反的．

“運進”和“運出”，其意義是相反的．同學(xué)們能舉例子嗎？提出：怎樣區(qū)別相反意義的量才好呢？

點撥：（1）用不同顏色來區(qū)分，比如，紅色5℃表示零下5℃，黑色5℃表示零上5℃；

（2）在數(shù)字前面加不同符號來區(qū)分，比如，△5℃表示零上5℃，×5℃表示零下5℃．

其實，中國古代數(shù)學(xué)家就曾經(jīng)采用不同的顏色來區(qū)分，古時叫做“正算黑，負算赤”．如今這種方法在記賬的時候還使用．所謂“赤字”，就是這樣來的．[來源:學(xué).科.網(wǎng)Z.X.X.K]

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)中采用符號來區(qū)分，規(guī)定零上5℃記作+5℃(讀作正5℃)或5℃，把零下5℃記作-5℃(讀作負5℃)．

點撥：只要在小學(xué)里學(xué)過的數(shù)前面加上“+”或“-”號，就把兩個相反意義的量簡明地表示出來了．

2. 什么是正、負數(shù)？

點撥：像5，1.2，＋3.14…這樣的數(shù)叫做       ，它們都比0     ；在正數(shù)前面加上     號叫做負數(shù)，它們都比0      ；0既不是       也不是         

3.什么是整數(shù)？什么是分數(shù)？什么是有理數(shù)？舉出若干數(shù)寫在下面相應(yīng)的大括號內(nèi)：

⑴自然數(shù)集：｛                      ｝；⑵正整數(shù)集：｛                     ｝；

⑶負整數(shù)集：｛                      ｝；⑷正分數(shù)集：｛                     ｝；

⑸正分數(shù)集：｛                      ｝；⑹有理數(shù)集：｛                     ｝.

4.有理數(shù)的分類：

點撥：分類可以根據(jù)不同需要，用不同的分類標準，但必須對討論對象不重不漏地分類．

（1）按定義分:                              （2）按有理數(shù)的符號：

有理數(shù)       有理數(shù)

三、【典例精析】

例1.先將下列數(shù)按一定標準分類：再把它們填寫在相應(yīng)集合圈內(nèi)

0.618，+3.14，2012，19‰，0，－648，－39.11，＋512，π，－

例2.如果我們把海平面以上記為正，用有理數(shù)表示下面問題．

（1）一架飛機飛行高于海平面9630米；記作：          （2）潛艇在水下60米深．記作：         

例3. 體育課上全班女生進行百米測驗達標成績?yōu)?font face="Times New Roman">18秒,下面是第一小組8名女生的成績

記錄, 

其中“+”表示成績大于18秒,“—”表示成績小于18秒?這個小組女生的達標率是(   ) 

A．25%         B．37.5%      C．50%        D．75%

例4.七名同學(xué)的體重以48kg為標準,超過記為正,不足記為負,記錄如下

（1）最接近標準體重的學(xué)生體重是多少?并說明這個有理數(shù)的意義.

（2）按體重的輕重排列時,恰好居中的是哪位同學(xué)? 

總結(jié)：由于實際生活中存在著許多具有相反意義的量，因此產(chǎn)生了正數(shù)與負數(shù)．正數(shù)是大于0的數(shù)，負數(shù)就是在正數(shù)前面加上“-”號的數(shù)．0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，0可以表示沒有，也可以表示一個實際存在的數(shù)量，如0℃．

四、【過關(guān)精練】

1.任意寫出6個正數(shù)與6個負數(shù)，并分別把它們填入相應(yīng)的大括號里：

正數(shù)集合：｛                      ｝，     負數(shù)集合：｛                      ｝．

2.在下列各數(shù)中，哪些是正數(shù)？哪些是負數(shù)？在括號內(nèi)填上“正”或“負”

-3.6（     ），   -4（     ），   9651（     ），   -0.1（     ）．

3.如果-50元表示支出50元，那么+200元表示什么？

4.河道中的水位比正常水位低0.2米記作-0.2米，那么比正常水位高0.1米記作什么？

5．一物體可以左右移動，設(shè)向右為正，問：

(1)向左移動12米應(yīng)記作什么？記作：                  (2)“記作8米”表明什么？記作：         

6.整數(shù)和分數(shù)合起來叫做______，正分數(shù)和負分數(shù)合起來叫做______．X

7.-100不是（   ）   A．有理數(shù)        B．自然數(shù)       C．整數(shù)       D．負有理數(shù)

8.在以下說法中，正確的是（    ）

A．非負有理數(shù)就是正有理數(shù)           B．零表示沒有，不是有理數(shù)

C．正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)         D．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

9.下面是關(guān)于0的一些說法，其中正確說法的個數(shù)是（    ）

①0既不是正數(shù)也不是負數(shù)；②0是最小的自然數(shù)；③0是最小的正數(shù)；④0是最小的非負數(shù)；⑤0既不是奇數(shù)也不是偶數(shù).

A.0               B.1              C.2           D.3

10.在－11, 0, 0.2, 3, +, , 1, －1各數(shù)，正數(shù)一共有（    ）

A.5個             B.6個           C.4個         D.3個

11.在0，，－，－8，+10，+19，+3，－3.4中整數(shù)的個數(shù)是（    ）

A.6          B.5         C.4          D.3

12..下列各數(shù)中，大于－小于的負數(shù)是（    ）

A.－             B.－           C.            D.0

13.如果提高10分表示+10分，那么下降8分表示_______，不升不降用_______表示.

14.如果向南走5 km記為－5 km，那么向北走10 km記為_______.

15.如果收入2萬元用+2萬元表示，那么支出3000元，用_______表示.

16..某乒乓球比賽用+1表示贏一局，那么輸2局用_______表示，不輸不贏用_______表示.

17.某房地產(chǎn)企業(yè)以2010年的利潤為標準，2011年增加了30%記為+30%，2012年利潤為－5%表示的意義

是__                 __.

18.節(jié)約用水，如果節(jié)約5.6噸水記作+5.6噸，那么浪費3.8噸水，記作_______.

19.大于－5.1的所有負整數(shù)為___        __.

20.請寫出3個大于－1的負分數(shù)_      ____.

21.某旅游景點一天門票收入5000元，記作+5000元，則同一天支出水、電、維修等各種費用600元，應(yīng)記作_____.

22.某縣外貿(mào)局一年出口總額人民幣1300萬元，表示為+1300萬.進口某種原料350萬應(yīng)表示為_____.[來源:學(xué)科網(wǎng)]

23.在“學(xué)雷鋒活動月”活動中，甲乙兩組同學(xué)上街清掃街道，它們分別在街道的兩端同時相向開始打掃，街道總長1200米，兩組會合時甲組向南清掃了500米，記作+500米，則乙組向北清掃了_____米，應(yīng)記作_____.

24.某下崗職工購進一批蘋果，第一天盈利17元，記作+17元，第二天虧損6元應(yīng)記作_____.

25.文具店、書店和玩具店依次座落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店東邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了－60米，此時小明的位置在                ；

26.判斷題

（1）零上5℃與零下5℃意思一樣，都是5℃.               （    ）

（2）正整數(shù)集合與負整數(shù)集合并在一起是整數(shù)集合.         （    ）

（3）若－a是負數(shù)，則a是正數(shù).                          （    ）[來源:學(xué)科

（4）.若+a是正數(shù)，則－a是負數(shù)                         （    ）

（5）收入－2000元表示支出2000元.                      （    ）

27.下面是具有相反意義的量，請用箭頭標出其對應(yīng)關(guān)系

28.某天氣預(yù)報顯示，我國五個地區(qū)的最高氣溫第二天比第一天下降了12℃，這五個地區(qū)第一天最高氣溫如圖所示，請?zhí)顚懙诙斓淖罡邭鉁?/font>

21.比較大?。ㄌ顚憽埃尽被颉埃肌碧枺?font face="Times New Roman">1）－_____|－|；（2）|－|_____0；

（3）|－|_____|－|；       （4）－_____－

22.計算：（1）|－|×5.2=_____；           （2）|－|－=_____；

(3)|-15|-|-6|=       ；           (4)|－0.24|+|－5.06|=       ；

(5)|-3|×|-2|=       ；           (6)|20|÷|-|=         ；

(7)|+4|×|-5|        ；           (8)|-12|÷|+2|          . 

23.判斷題：

(1)任何一個有理數(shù)的絕對值都是正數(shù)； （    ）

(2)若兩個數(shù)不相等，則這兩個數(shù)的絕對值也不相等； （    ）

(3)如果一個數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，這個數(shù)一定是負數(shù)； （    ）

(4)絕對值不相等的兩個數(shù)一定不相等； （    ）

(5)若|a|>|b|時，則a>b; （    ）

(6)當a為有理數(shù)時，|a|≥a； （    ） 

24.比較下列每對數(shù)的大?。?/p>

⑴.與；              ⑵.|2|與；⑶.-與；⑷.與

25.比較下列每對數(shù)的大?。?/p>

⑴.-與-；                   ⑵.-與-；               

 ⑶.-與-；                   ⑷.-與-                 

26.你能說出符合下列條件的字母表示什么數(shù)嗎?

(1)|a|=a；      (2)|a|=-a；      (3)=-1；        (4)a＞-a；

(5)|a|≥a；     (6)-y＞0；       (7)-a＜0；          (8)a+b=0