柯西不等式的一般證法有以下幾種：

■①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數(shù)分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.

我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)

則我們知道恒有 f(x) ≥ 0.

用二次函數(shù)無(wú)實(shí)根或只有一個(gè)實(shí)根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.

于是移項(xiàng)得到結(jié)論。

■②用向量來(lái)證.

m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)

mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．

因?yàn)閏osX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)

這就證明了不等式．

柯西不等式還有很多種，這里只取兩種較常用的證法．

柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重視。

■巧拆常數(shù)：

例：設(shè)a、b、c 為正數(shù)且各不相等。

求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)

分析：∵a 、b 、c 均為正數(shù)

∴為證結(jié)論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又 9=(1+1+1)(1+1+1)

證明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9　

又 a、b 、c 各不相等，故等號(hào)不能成立

∴原不等式成立。

像這樣的例子還有很多，詞條里不再一一列舉，大家可以在參考資料里找到柯西不等式的證明及應(yīng)用的具體文獻(xiàn)．

卡爾松不等式

琴生不等式

均值不等式

絕對(duì)值不等式

權(quán)方和不等式

赫爾德不等式

閔可夫斯基不等式

貝努利不等式

排序不等式

基本不等式

柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國(guó)波旁王朝的官員，在法國(guó)動(dòng)蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠(chéng)的天主教徒。

1805年柯西進(jìn)入高等工業(yè)學(xué)校學(xué)習(xí)，安培是他的一位老師。他原來(lái)打算成為土木工程師，但是他的身體很差，他的朋友拉格朗日和拉普拉斯勸他轉(zhuǎn)向搞不要求身體特別好的純粹數(shù)學(xué)。在大學(xué)畢業(yè)后當(dāng)土木工程師，因數(shù)學(xué)上的成就被推薦為科學(xué)院院士，同時(shí)任工科大學(xué)教授。后來(lái)在巴黎大學(xué)任教授，一直到逝世。他信仰羅馬天主教，追隨?；庶h，終生堅(jiān)守氣節(jié)。他在學(xué)術(shù)上成果相當(dāng)多，他的研究是多方面的。在代數(shù)學(xué)上，他有行列式論和群論的創(chuàng)始性的功績(jī)；在理論物理學(xué)、光學(xué)、彈性理論等方面，也有顯著的貢獻(xiàn)。他的特長(zhǎng)是在分析學(xué)方面，他對(duì)微積分給出了嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他還證明了復(fù)變函數(shù)論的主要定理以及在實(shí)變數(shù)和復(fù)變數(shù)的情況下微分方程解的存在定理，這些都是很重要的。他的全集26卷，僅次于歐拉，居第二位。

柯西是歷史上有數(shù)的大分析學(xué)家之一。幼年時(shí)在父親的教導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父親交往，曾預(yù)言柯西日后必成大器。1815年柯西入理工科大學(xué)，1816年成為那里的教授。1830年法王查理十世（他封柯西為男爵）被逐，路易·菲利普稱帝?？挛饔捎诰芙^作效忠宣誓，被革去職位，出走國(guó)外。

1838年柯西返回法國(guó)，法蘭西學(xué)院給他提供了一個(gè)要職，但是宣誓的要求仍然成為接納他的障礙。1848年路易。菲利普君主政體被推翻，拿破侖一世的侄子路易·拿破侖掌了權(quán)成立了法蘭西第二共和國(guó)，宣誓的規(guī)定被廢除，柯西終于成為理工科大學(xué)的教授。1852年發(fā)生政變，共和國(guó)又變成帝國(guó)，恢復(fù)了宣誓儀式，唯獨(dú)柯西和阿拉果（D.Arago,1786－1853，法國(guó)物理學(xué)家）可以免除。

1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓勵(lì)下，柯西出版了《分析教程》、《無(wú)窮小計(jì)算講義》、《無(wú)窮小計(jì)算在幾何中的應(yīng)用》這幾部劃時(shí)代的著作。他給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義?？挛鞯臉O限定義至今還在普遍使用，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)的和等概念也建立在較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。

現(xiàn)今所謂的柯西定義或ε－δ方法是半個(gè)世紀(jì)后經(jīng)過(guò)維爾斯特拉斯的加工才完成的?？挛鲿r(shí)代實(shí)數(shù)的嚴(yán)格理論還未建立起來(lái)，因此極限理論也就不可能完成?？挛髟?821年提出ε方法（后來(lái)又改成δ），即所謂極限概念的算術(shù)化，把整個(gè)極限過(guò)程用一系列不等式來(lái)刻畫，使無(wú)窮的運(yùn)算化成一系列不等式的推導(dǎo)。后來(lái)維爾斯特拉斯將ε和δ聯(lián)系起來(lái)，完成了ε－δ方法。

他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當(dāng)深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理和公式也都以他的名字來(lái)稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式...在數(shù)學(xué)寫作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經(jīng)典之作，不過(guò)并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此他還曾被人批評(píng)高產(chǎn)而輕率，這點(diǎn)倒是與數(shù)學(xué)王子相反，據(jù)說(shuō)，法國(guó)科學(xué)院''會(huì)刊''創(chuàng)刊的時(shí)候，由于柯西的作品實(shí)在太多，以致于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費(fèi)用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來(lái)規(guī)定論文最長(zhǎng)的只能夠到四頁(yè)，所以，柯西較長(zhǎng)的論文只得投稿到其他地方。

柯西在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、誤差理論以及天體力學(xué)、光學(xué)、彈性力學(xué)諸方面都有出色的工作。特別是，他弄清了彈性理論的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，為彈性力學(xué)奠定了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。