題目　已知橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的取值范圍是　　　　，直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)是　　.

這是2010年高考湖北卷文科第15題，本題是一道涉及到點(diǎn)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定的考題．從高等幾何的觀點(diǎn)知，這里的點(diǎn)和直線就是橢圓的一對極點(diǎn)與極線，本題第二問實際上是：已知橢圓的極點(diǎn)在橢圓內(nèi)，判斷極線與橢圓的位置關(guān)系．據(jù)筆者之前發(fā)表的文章中圓錐曲線極點(diǎn)和極線的幾何性質(zhì)可得如下結(jié)論：

定理　已知點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對極點(diǎn)與極線．（1）若極點(diǎn)在曲線上，則極線與曲線的相切于點(diǎn)；（2）若極點(diǎn)在曲線內(nèi)，則極線與曲線的相離；（2）若極點(diǎn)在曲線外，則極線與曲線的相交．

由該定理不難知道，考題中的直線與橢圓相離，故公共點(diǎn)個數(shù)為0．若運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行實驗操作動態(tài)演示，不僅可以驗證確認(rèn)該結(jié)論，而且還可獲得直觀感知從而加深印象強(qiáng)化理解．本文將借用判別式法給出該定理的另一種證明．

為了表達(dá)方便我們給出圓錐曲線內(nèi)部和外部的定義．圓、橢圓是封閉圖形其內(nèi)部和外部不言而喻，拋物線、雙曲線不是封閉的是開的，我們參考一些雜志專著，對雙曲線和拋物線的內(nèi)部和外部給出如下定義：焦點(diǎn)所在的平面區(qū)域稱為該曲線的內(nèi)部，不含焦點(diǎn)的平面區(qū)域稱為曲線的外部，曲線上的點(diǎn)既不在內(nèi)部也不在外部．關(guān)于點(diǎn)與圓錐曲線位置關(guān)系我們有如下結(jié)論（這里證明從略）．

引理1　已知點(diǎn)和拋物線．則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外．

引理2　已知點(diǎn)和橢圓（或圓）．則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外．

引理3　已知點(diǎn)和雙曲線．則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外．

圓錐曲線把平面上的點(diǎn)分成三個部分：曲線上的點(diǎn)、曲線內(nèi)的點(diǎn)和曲線外的點(diǎn)，每一部分的點(diǎn)的坐標(biāo)對于曲線方程的左右兩邊的值具有相同的大小關(guān)系，真是“物以類集，人以群分”．下面將圓錐曲線分為拋物線、橢圓（圓）和雙曲線三種情形，借用判別式法對定理給出如下證明．

定理1　已知點(diǎn)和直線是拋物線的一對極點(diǎn)與極線．則（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．

證明　由得，，將其代入拋物線方程得，，所以．所以，（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．

定理2　已知點(diǎn)和直線是橢圓（圓）的一對極點(diǎn)與極線．則（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．

證明　當(dāng)時，．則（1）點(diǎn)在直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．

當(dāng)時，，將其代入曲線方程整理得，．所以．所以，

（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．

綜上所述，命題結(jié)論正確．同理可證如下如下結(jié)論：

定理3　已知點(diǎn)和直線是雙曲線的一對極點(diǎn)與極線．則（1）點(diǎn)在上直線與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線與相離；（3）點(diǎn)在外直線與相交．

下面舉例說明極點(diǎn)、極線與圓錐曲線位置關(guān)系在解題中的應(yīng)用．

1.判斷點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系

例1　若直線和沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的公共點(diǎn)（  ）

至少有一個  有兩個    只有一個   不存在

解　顯然點(diǎn)和直線恰好是的一對極點(diǎn)和極線，又極線與圓沒有公共點(diǎn)，所以極點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，所以，所以，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)（實際上，由圖形可知圓上除兩個點(diǎn)在橢圓上外，其余點(diǎn)均在橢圓內(nèi)，因點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)必在橢圓內(nèi)），故過點(diǎn)的直線與橢圓相交有兩個公共點(diǎn)，故應(yīng)選．

例2　已知直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是　　　　．

解　因為極線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，所以對應(yīng)極點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，所以有，故的取值范圍是．

2.判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

例3　若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，直線是以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線的方程為，則（  ）

，且與相離      ，且與相交 

 ，且與相離    ，且與相交   

解　顯然點(diǎn)和直線恰好是的一對極點(diǎn)和極線，因極點(diǎn)在圓內(nèi)，所以極與圓相離．又是直線的一個法向量，所以，而直線是以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線，所以，所以．故應(yīng)選．

例4　已知曲線，過點(diǎn)能否作一條直線，與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？

解　假設(shè)存在這樣的直線．設(shè)，則 ，兩式相減得，．因點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，代入上式可得．若則有，于是兩點(diǎn)重合不合題意，所以，所以，即直線的斜率為，故直線的點(diǎn)斜式方程為，即．將直線方程化為雙曲線的極線方程形式得，因直線對應(yīng)的極點(diǎn)為，而 ，所以極點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，從而直線與雙曲線相離沒有公共點(diǎn)，這與假設(shè)矛盾，故不存在這樣的直線．