我閑著沒(méi)事的時(shí)候，偶爾會(huì)想到這個(gè)有點(diǎn)蛋疼的問(wèn)題。

前年的某個(gè)學(xué)期，我做過(guò)一次線性代數(shù)1的TA，這個(gè)學(xué)期又做了線性代數(shù)2的TA，改作業(yè)的時(shí)候常常感到胸悶異常以至于想吐血。

我覺(jué)得對(duì)于大一大二的同學(xué)來(lái)說(shuō)，學(xué)數(shù)學(xué)有兩大悲劇：一大悲劇是學(xué)到頭只會(huì)套公式，還經(jīng)常套錯(cuò)公式；另一大悲劇是不會(huì)寫(xiě)證明，甚至不明白要證的是什么。（如果是做數(shù)學(xué)的研究，搞清楚要證什么是最難的一步；但對(duì)于一個(gè)普通的課后習(xí)題，搞明白要證什么還是比較容易的）如果你也改線性代數(shù)的作業(yè)，你就會(huì)知道世間有多少悲劇存在。

之前我也做過(guò)微積分1-2-3的TA，同學(xué)們普遍的感覺(jué)是一元微積分容易搞定，多元微積分非常的不知所云，曲面積分高斯公式要多糊涂有多糊涂。道理其實(shí)蠻簡(jiǎn)單的，多元微積分就是一元微積分 + 線性代數(shù)。所以我覺(jué)得問(wèn)題還是出在線性代數(shù)上邊。

如果你看過(guò)一些數(shù)學(xué)史，比如 Morris Kline (不是哥廷根的Felix Klein) 的古今數(shù)學(xué)思想的第二冊(cè)和第三冊(cè)，就會(huì)知道線性代數(shù)的定型比微積分晚了不少。微積分源起于17世紀(jì)后半期，到了19世紀(jì)已經(jīng)有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，出現(xiàn)了很多成熟的教材。線性代數(shù)的定型則是20世紀(jì)的事情，如果我沒(méi)記得錯(cuò)的話，Paul Halmos 于40年代寫(xiě)的 Finite dimensional vector spaces 是第一本標(biāo)準(zhǔn)的線性代數(shù)教科書(shū)。一個(gè)很有趣的事情是，歷史上是先有行列式的概念，而后才有的矩陣的概念。（我想這是不奇怪的，比如多重積分的變量替換公式就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)行列式的因子）

線性代數(shù)只用到了加減乘除，微積分則用到了極限的概念，為什么線性代數(shù)反而比微積分難學(xué)呢？我覺(jué)得答案在于線性代數(shù)需要學(xué)習(xí)的人有更高的數(shù)學(xué)成熟度。極限的想法在2千多年前就有了，阿基米德算過(guò)拋物線與直線圍成的面積，劉徽也用割圓法算過(guò)pi的近似值，因此我們有足夠的 motivation。以前曲邊梯形的面積不會(huì)算，現(xiàn)在終于會(huì)算了，學(xué)習(xí)的積極性可想而知。線性代數(shù)第一次觸及到數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)這個(gè)問(wèn)題，我們沒(méi)有足夠的 motivation，對(duì)于即將出現(xiàn)的各種精巧的代數(shù)結(jié)構(gòu)（比如特征子空間，Jordan標(biāo)準(zhǔn)型）準(zhǔn)備不足，造成了理解與接受上的困難。我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：一個(gè)人如果講話莫名其妙，我們會(huì)懶得聽(tīng)他啰嗦；同樣，如果跳出來(lái)一個(gè)莫名其妙的定義，我們的大腦會(huì)馬上拒絕思考。

如何獲得 motivation 呢，我覺(jué)得有兩種途徑，一是了解它的歷史，二是了解它的應(yīng)用，可惜我們現(xiàn)在在這兩方面做得都很不足。沒(méi)有人給我們講線性代數(shù)的歷史，要知道它的應(yīng)用則要等到多年之后，也許教材的前言可以寫(xiě)的更好一些。

網(wǎng)上有一個(gè)名為《線性代數(shù)在工程設(shè)計(jì)方法論中的重要性》的文檔，是國(guó)外某個(gè)教授對(duì)他開(kāi)的一門(mén)課的課程說(shuō)明，我覺(jué)得寫(xiě)的很好，值得一讀。

(英文原文) http://www./meetings/la03/proceedings/narayanan.pdf

(中文翻譯) http://211.71.86.13/web/jp/08sb/xxds/files/zw%E8%AF%91%E6%96%875.pdf

我想我們需要一門(mén)更有啟發(fā)性的線代課程，也需要同學(xué)投入更多的時(shí)間與精力。