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魏爾斯特拉斯 沈永歡 (北京工業(yè)大學(xué)) 魏爾斯特拉斯，K．W．T．(Weierstrass，Karl WilhelmTheodor)1815年10月31日生于德國(guó)威斯特伐利亞地區(qū)的奧斯登費(fèi)爾特；1897年2月19日卒于柏林．?dāng)?shù)學(xué)． 魏爾斯特拉斯的父親威廉(Wilhelm)是一名政府官員，受過高等教育，頗具才智，但對(duì)子女相當(dāng)專橫．魏爾斯特拉斯11歲時(shí)喪母，翌年其父再婚．他有一弟二妹；兩位妹妹終身末嫁，后來一直在生活上照料終身未娶的魏爾斯特拉斯． 由于其父多次遷居，魏爾斯特拉斯上過幾所小學(xué)．1829年，他考入帕德博恩的天主教文科中學(xué)．該校創(chuàng)建于公元820年，歷史悠久．他成績(jī)優(yōu)異，年年得獎(jiǎng)，在拉丁文、希臘文、德文和數(shù)學(xué)四科中，表現(xiàn)尤其出色．1834年夏畢業(yè)時(shí)，他是獲得甲等畢業(yè)文憑的三人之一． 威廉要孩子長(zhǎng)大后進(jìn)入普魯士高等文官階層，因而于1834年8月把魏爾斯特拉斯送往波恩大學(xué)攻讀財(cái)務(wù)與管理，使其學(xué)到充分的法律、經(jīng)濟(jì)和管理知識(shí)，為謀得政府高級(jí)職位創(chuàng)造條件． 魏爾斯特拉斯不喜歡父親所選專業(yè)，于是把很多時(shí)間花在大學(xué)生自由自在的放縱生活上，例如擊劍、宴飲、夜游．他在這些方面也是首屈一指的．他的專業(yè)興趣在于數(shù)學(xué)．當(dāng)時(shí)J．普呂克(Plücker)在波恩執(zhí)教，但他忙于各種事務(wù)，不可能抽暇進(jìn)行個(gè)別教學(xué)，所以魏爾斯特拉斯從他那里獲益不多． 在校期間，魏爾斯特拉斯研讀過P．S．拉普拉斯(Laplace)的《天體力學(xué)》(Mecanique céleste)和C．G．J．雅可比(Jacobi)的《橢圓函數(shù)新理論基礎(chǔ)》(Fundamenta nova the orie functionumellipticarum)．前者奠定了他終生對(duì)于動(dòng)力學(xué)和微分方程論感興趣的基礎(chǔ)；后者對(duì)他當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平稍難了些．他還鉆研過J．斯坦納(Steiner)的一些論文．事實(shí)上，后來他成為斯坦納數(shù)學(xué)論著的編纂者．不過，這段時(shí)間中N．H．阿貝爾(Abel)是他最大的鼓舞泉源．他在晚年致S．李(Lie)的信中曾說，在1830年的《克雷爾雜志》(Journal für die Reine und Angewandte Mathema-tik)上讀到阿貝爾致A．M．勒讓德(Legender)的信，“在大學(xué)生涯中對(duì)我無比重要．從確定λ(x)(這是阿貝爾引進(jìn)的函數(shù))滿足的微分方程來直接導(dǎo)出該函數(shù)的表示形式，這是我為自己確立的第一個(gè)數(shù)學(xué)課題；我有幸得到了這個(gè)問題的解，這促使我下定決心獻(xiàn)身數(shù)學(xué)．我是在第7學(xué)期作出這個(gè)決定的．”[20]這就是說，約在1837年底，他立志終生研究數(shù)學(xué)．1838年秋，他令人驚訝地放棄成為法學(xué)博士候選人，因此在離開波恩大學(xué)時(shí)，他沒有取得學(xué)位． 4年大學(xué)，耗費(fèi)巨大，未得學(xué)位而歸，自然使父親極度不滿．幸虧父親的一位愛好數(shù)學(xué)的朋友出來調(diào)解，建議把魏爾斯特拉斯送到明斯特附近的神學(xué)哲學(xué)院，然后參加中學(xué)教師任職資格國(guó)家考試．魏爾斯特拉斯遂于1839年5月22日在該院注冊(cè)．他在該院遇見了使他終身銘記的Ch．古德曼(Gudermann)．古德曼熱衷于研究橢圓函數(shù)，其基本思想是把函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，這正是魏爾斯特拉斯的解析函數(shù)論的基石．1839—1840學(xué)年上學(xué)期，聽古德曼第一堂課的有13人，可第二堂起只剩下魏爾斯特拉斯一人，師生促膝談心，相處融洽．古德曼還為這位唯一的學(xué)生講授解析球面幾何學(xué)． 1840年2月29日，魏爾斯特拉斯報(bào)名參加國(guó)家考試，考試分筆試、口試兩部分．他有半年時(shí)間就主考指定的3個(gè)論題寫作論文．古德曼應(yīng)魏爾斯特拉斯的請(qǐng)求為筆試出了一個(gè)很難的數(shù)學(xué)問題：求橢圓函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式．他對(duì)自己學(xué)生所寫的論文給予高度評(píng)價(jià)，說所提問題對(duì)“一位年輕的分析學(xué)者來說是很難的”，但論文表明作者“足以列入戴以榮譽(yù)桂冠的發(fā)現(xiàn)者隊(duì)伍之中”，“為作者本人，也為科學(xué)進(jìn)展著想，我希望他不會(huì)當(dāng)一名中學(xué)教師，而能獲得更為有利的條件，……以使他得以進(jìn)入他命定有權(quán)躋身其中的著名科學(xué)發(fā)現(xiàn)者隊(duì)伍之中．”[20]可惜學(xué)院負(fù)責(zé)人十分保守，對(duì)這一評(píng)價(jià)未予重視． 1841年4月，魏爾斯特拉斯通過口試；1841年秋至1842年秋在明斯特文科中學(xué)見習(xí)一年．1840至1842年間，他寫了4篇直到他的全集刊印時(shí)才問世的論文“關(guān)于模函數(shù)的展開”[2]、“單復(fù)變量(其絕對(duì)值介于給定的兩個(gè)界限之間)解析函數(shù)的表示”[3]、“冪級(jí)數(shù)論”[4]和“借助代數(shù)微分方程定義單變量解析函數(shù)”[5]．這些早期論文已顯示了他建立函數(shù)論的基本思想和結(jié)構(gòu)，其中有用冪級(jí)數(shù)定義復(fù)函數(shù)，橢圓函數(shù)的展開，圓環(huán)內(nèi)解析函數(shù)的展開[早于P．A．洛朗(Laurent)兩年]，冪級(jí)數(shù)系數(shù)的估計(jì)[獨(dú)立于A．L．柯西(Cauchy)]，一致收斂概念以及解析開拓原理． 1842年秋，魏爾斯特拉斯轉(zhuǎn)至西普魯士克隆的初級(jí)文科中學(xué)．除數(shù)學(xué)、物理外，他還教德文、歷史、地理、書法、植物，1845年還教體育！繁重的教學(xué)工作使他只能在晚上鉆研數(shù)學(xué)．科研條件極差：鄉(xiāng)村中學(xué)沒有象樣的圖書館；校內(nèi)沒有可以與之討論的同事；經(jīng)濟(jì)拮據(jù)，無力訂閱期刊，甚至付不出郵資．或許這對(duì)他這樣自強(qiáng)不息的人也有好處，可以潛心錘煉自己獨(dú)特的觀念和方法．他曾在學(xué)?？锷习l(fā)表“關(guān)于解析因子的注記”．此文表明以前研究同一問題的數(shù)學(xué)家未能洞察問題癥結(jié)何在．但這種刊物上的文章當(dāng)然不會(huì)引起世人注意． 1848年秋，魏爾斯特拉斯轉(zhuǎn)至東普魯士布倫斯堡的皇家天主教文科中學(xué)．該校擁有較好的圖書館，校長(zhǎng)也很友善．魏爾斯特拉斯在該校年鑒(1848／49)上發(fā)表了“關(guān)于阿貝爾積分論”，這是一篇?jiǎng)潟r(shí)代的論文，可惜仍然無人覺察． 1853年夏，魏爾斯特拉斯在父親家中度假，研究阿貝爾和雅可比留下的難題，精心寫作關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文．這就是1854年發(fā)表于《克雷爾雜志》上的“阿貝爾函數(shù)論”[6]．這篇出自一個(gè)名不見經(jīng)傳的中學(xué)教師的杰作，引起數(shù)學(xué)界矚目．A．L．克雷爾(Crelle)說它表明作者已可列入阿貝爾和雅可比的最出色的后繼者行列之中．J．劉維爾(Liouville)稱它為“科學(xué)中劃時(shí)代工作之一”，并立即把它譯為法文刊載于他創(chuàng)辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上．雅可比的繼任者、柯尼斯堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授F．里歇洛(Richelot)說服校方授予魏爾斯特拉斯名譽(yù)博士學(xué)位，并親赴布倫斯堡頒發(fā)證書．當(dāng)時(shí)任《克雷爾雜志》主編的C．W．博爾夏特(Borchardt)趕赴布倫斯堡向魏爾斯特拉斯致賀，從此開始了兩人長(zhǎng)達(dá)20多年的友誼，直至博爾夏特謝世． 1855年秋，魏爾斯特拉斯被提升為高級(jí)教師并享受一年研究假期．1856年6月14日，柏林皇家綜合工科學(xué)校任命他為數(shù)學(xué)教授；在E．E．庫默爾(Kummer)的推薦下，柏林大學(xué)聘任他為副教授，他接受了聘書．11月19日，他當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士．1864年成為柏林大學(xué)教授． 在柏林大學(xué)就任以后，魏爾斯特拉斯即著手系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)分析(包括復(fù)分析)基礎(chǔ)，并進(jìn)一步研究橢圓函數(shù)論與阿貝爾函數(shù)論．這些工作主要是通過他在該校講授的大量課程完成的．幾年后他就名聞遐邇，成為德國(guó)以至全歐洲知名度最高的數(shù)學(xué)教授．G．米塔-列夫勒(Mittag－Leffler)于1873年從瑞典去巴黎，想在Ch．埃爾米特(Hermite)指導(dǎo)下研究分析．可是埃爾米特對(duì)他說：“先生，你錯(cuò)了！你應(yīng)當(dāng)?shù)桨亓秩ヂ犖籂査固乩怪v課．他比我們都強(qiáng)．”果然，米塔-列夫勒抵柏林后不久就作出了關(guān)于亞純函數(shù)的重要發(fā)現(xiàn)． 魏爾斯特拉斯于1873年出任柏林大學(xué)校長(zhǎng)，從此成為大忙人．除教學(xué)外，公務(wù)幾乎占去了他全部時(shí)間，使他疲乏不堪．緊張的工作影響了他的健康，但其智力未見衰退．他的70華誕慶典規(guī)模頗大，遍布全歐各地的學(xué)生趕來向他致敬．10年后80大壽慶典更加隆重，在某種程度上他簡(jiǎn)直被看作德意志的民族英雄． 魏爾斯特拉斯與C．B．科瓦列夫斯卡婭(Кοвaлевскaя)的友誼，是他后期生活中的一件大事．科瓦列夫斯卡婭于1869年秋 拉斯早期弟子之一，又善于宣揚(yáng)其師的講授，這促使科瓦列夫斯卡婭大膽決定直接求助魏爾斯特拉斯．1870年秋，年方20、聰慧美麗的科瓦列夫斯卡婭見到了55歲的魏爾斯特拉斯．后者發(fā)現(xiàn)了她的優(yōu)異天賦，試圖說服柏林大學(xué)評(píng)議會(huì)同意她聽課，但遭拒絕．于是他就抽出業(yè)余時(shí)間為她免費(fèi)授課，每周兩次，一直持續(xù)到1874年秋．這期間他待她親如子女，并幫助她以關(guān)于偏微分方程的著名論文在格丁根取得學(xué)位．1888年，科瓦列夫斯卡婭以剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的研究獲得巴黎科學(xué)院大獎(jiǎng)，對(duì)他是極大慰藉．兩年后她的去世則是對(duì)他的一個(gè)沉重打擊，以致他燒毀了她寫給他的全部信件以及他收到的不少其他書信． 1897年初，魏爾斯特拉斯染上流行性感冒，后轉(zhuǎn)為肺炎，終至不治，于2月19日溘然長(zhǎng)逝，享年82歲． 除柏林科學(xué)院外，魏爾斯特拉斯還是格丁根皇家科學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)員(1856)、巴黎科學(xué)院院士(1868)、英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員(1881)． 魏爾斯特拉斯生前便決定在其學(xué)生協(xié)助下出版他本人的論著，1894和1895年分別出版了他的全集[1]的第1，2兩卷．按照他的遺愿，1902年首先出版了關(guān)于阿貝爾函數(shù)論的第4卷，1903年出了第3卷．第5卷是《橢圓函數(shù)論講義》，第6卷是《橢圓函數(shù)論在幾何與力學(xué)中的應(yīng)用》，出版于1915年．1927年出版了第7卷《變分法講義》．原定第8—10卷是他關(guān)于超橢圓函數(shù)的工作、《橢圓函數(shù)論講義》第2版和函數(shù)論，但迄今仍未問世．全集前3卷共收論文(其中有一部分講演)60篇．他致P．杜布瓦-雷蒙(Du Bois－Reymond)、 L．富克斯(Fuchs)和柯尼斯伯格的一些信件，發(fā)表于《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》(Acta Math．，1923)． 數(shù)學(xué)分析算術(shù)化的完成者 魏爾斯特拉斯在數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域中的最大貢獻(xiàn)，是在柯西、阿貝爾等開創(chuàng)的數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化潮流中，以ε－δ語言，系統(tǒng)建立了實(shí)和復(fù)分析的嚴(yán)謹(jǐn)基礎(chǔ)，基本上完成了分析的算術(shù)化．然而，由于他是通過課堂講授完成這一任務(wù)的，沒有發(fā)表有關(guān)論著，所以對(duì)研究他在這一領(lǐng)域的工作帶來了困難． 實(shí)數(shù)論 魏爾斯特拉斯很早就認(rèn)識(shí)到，為使分析具備牢靠的基礎(chǔ)(例如無懈可擊地證明連續(xù)函數(shù)的性質(zhì))，必須建立嚴(yán)格的實(shí)數(shù)論．他于1857年開始講授的解析函數(shù)論等課程，總要在第一階段花很多時(shí)間闡明他關(guān)于實(shí)數(shù)的理論． 為從自然數(shù)定義正有理數(shù)，他引進(jìn)正整數(shù)的“恰當(dāng)部分”的概念．例如，1的恰當(dāng)部分是滿足n·en=1的元素en．?dāng)?shù)a是數(shù)b的一個(gè)“恰當(dāng)部分”，如果b是由等于a的一些元素構(gòu)成的集合．正有理數(shù)定義為單位的恰當(dāng)部分的有限整線性組合，或有限集．通過定義“容許變換”，他使同一有理數(shù)的不同表示式得以化歸為相同的分母，然后他引進(jìn)由無窮多個(gè)元素構(gòu)成的集合，通過引進(jìn)“部分”概念定義這類集合之間的相等．這就是他的無理數(shù)概念的基點(diǎn)．由此他定義實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算與次序關(guān)系，證明它們所滿足的規(guī)律以及實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)表示式． 稍后，H．C．R．梅雷(Méray)、G．康托爾(Cantor)、R．戴德金以及E．海涅(Heine)分別于1869，1871，1872，1872年各自獨(dú)立地給出了無理數(shù)定義，建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)論． ε－δ語言 H．A．施瓦茲(Schwarz)、G．黑特納(Hettner)和G．蒂姆(Thieme)分別整理的魏爾斯特拉斯于1861年講授的《微分學(xué)》、1874年講授的《解析函數(shù)論導(dǎo)引》和1886年講授的《函數(shù)論選題》的筆記，呈現(xiàn)了他用ε-δ語言定義分析基本概念與論證分析基本定理的輪廓． 魏爾斯特拉斯說，對(duì)于函數(shù)f(x)，“如果能確定一個(gè)界限δ，使對(duì)其絕對(duì)值小于δ的所有h值，f(x+h)－f(x)小于可以小到人們意愿的任何程度的一個(gè)量ε，則稱所給函數(shù)對(duì)應(yīng)于變量的無窮小改變具有無窮小改變．”他由此給出函數(shù)連續(xù)的定義，證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性質(zhì)和有界性質(zhì)．在定義微分學(xué)基本概念時(shí)，他還以 f(x+h)=f(x)＋h·f′(x)+h(h) 給出導(dǎo)數(shù)的另一種定義．他嚴(yán)格證明了帶余項(xiàng)的泰勒公式，稱它為“整個(gè)分析中名副其實(shí)的基本定理”．對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，他引進(jìn)了極其重要 闡述并證明了關(guān)于連續(xù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性以及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分的定理，幾乎與現(xiàn)在分析教科書中所寫內(nèi)容完全一 在建立分析基礎(chǔ)過程中，魏爾斯特拉斯引進(jìn)了R與Rn中一系列度量和拓?fù)涓拍?，如有界集、無界集，點(diǎn)的鄰域，集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)，集和序列的極限點(diǎn)，連通性等．他證明了有界無限集必有極限點(diǎn)(現(xiàn)稱為波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理)，并通過極限點(diǎn)證明了有界數(shù)集上、下確界的存在性與數(shù)列上、下極限的存在性． 在1886年的授課中，他還指出G．F．B．黎曼(Riemann)關(guān)于定積分的定義限制過多，并把積分概念推廣到在一個(gè)可數(shù)集上不連續(xù)的有界函數(shù)．這是走向具有完全可加性的現(xiàn)代積分概念的一個(gè)正確嘗試． 魏爾斯特拉斯的嚴(yán)格性 引進(jìn)一致收斂概念，是魏爾斯特拉斯的嚴(yán)格性的一個(gè)例證．海涅于1869年說，在此以前，人們(包括柯西在內(nèi))對(duì)收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分都深信不疑，“是魏爾斯特拉斯先生首次注意到，這條定理的證明……還基于一致收斂性”．G．H．哈代(Hardy)在分析了G．G．斯托克斯(Stokes)、P．L．賽德爾(Seidel)與魏爾斯特拉斯的一致收斂概念后說，“只有魏爾斯特拉斯清楚地、自覺地看出了一致收斂作為分析基本概念的極端重要性”． 對(duì)于狄利克雷原理的批評(píng)，是其嚴(yán)格性的又一例證．該原理斷定： 連續(xù)函數(shù)中，存在使得狄利克雷積分 達(dá)到最小值的函數(shù)u0(x，y)，而u0必在D內(nèi)調(diào)和，從而是狄利克雷問題的解．1870年，魏爾斯特拉斯在柏林科學(xué)院發(fā)表題為“關(guān)于所謂狄利克雷原理”的講演[7]，一針見血地指出 [u]構(gòu)成的集具有下確界并不蘊(yùn)涵在所考慮的函數(shù)集中存在u0使D［u0］等于這個(gè)下確界．他還舉出了一個(gè)令人信服的簡(jiǎn)單例子． 給出處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)的例子，也是其嚴(yán)格性的一個(gè)突出例證．魏爾斯特拉斯于1872年在柏林科學(xué)院的一次演講中提出了函數(shù) 子告訴了杜布瓦-雷蒙，后者于次年在《克雷爾雜志》上發(fā)表了這個(gè)例子，從而引出了以后一系列關(guān)于函數(shù)具有“反?！毙詰B(tài)的發(fā)現(xiàn)． 魏爾斯特拉斯在分析中的另一重大工作是證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以用多項(xiàng)式一致逼近和周期為2π的連續(xù)函數(shù)可以用三角多項(xiàng)式一致逼近．這兩條定理后來有許多推廣． 毫無疑義，魏爾斯特拉斯的嚴(yán)格性最突出的表現(xiàn)是通過ε－δ建立整個(gè)分析體系．隨著他的講授和他的學(xué)生的工作，他的觀點(diǎn)和方法傳遍歐洲，他的講稿成為數(shù)學(xué)嚴(yán)格化的典范．F．克萊因(Klein)在1895年魏爾斯特拉斯80大壽慶典上談到那些年分析的進(jìn)展時(shí)說，“我想把所有這些進(jìn)展概括為一個(gè)詞：數(shù)學(xué)的算術(shù)化”，而在這方面“魏爾斯特拉斯作出了高于一切的貢獻(xiàn)”．D．希爾伯特(Hilbert)認(rèn)為：“魏爾斯特拉斯以其酷愛批判的精神和深遽的洞察力，為數(shù)學(xué)分析建立了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．通過澄清極小、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等概念，他排除了微積分中仍在涌現(xiàn)的各種異議，掃清了關(guān)于無窮大和無窮小的各種混亂觀念，決定性地克服了起源于無窮大和無窮小概念的困難．……今天……分析達(dá)到這樣和諧、可靠和完美的程度，……本質(zhì)上應(yīng)歸功于魏爾斯特拉斯的科學(xué)活動(dòng)．” 魏爾斯特拉斯的嚴(yán)格化也遭到一些人反對(duì)，最突出的是L．克羅內(nèi)克(Kronecker)．他對(duì)算術(shù)化進(jìn)行了激烈的、刻薄的抨擊，甚至否認(rèn)象處處連續(xù)處處不可導(dǎo)函數(shù)這樣的例子有任何意義． 解析函數(shù)論的奠基人 魏爾斯特拉斯以其富有獨(dú)創(chuàng)性的方法，首次以不依賴于幾何直觀的嚴(yán)格方式闡述和論證了復(fù)變函數(shù)論，使這一19世紀(jì)中成就最輝煌的數(shù)學(xué)分支進(jìn)入了深入發(fā)展的階段．他在這方面的工作不僅見諸論文[2，3，4，5]，而且更多體現(xiàn)在他講授的課程中[12，15，18]． 解析性、解析開拓與完全解析函數(shù) 魏爾斯特拉斯研究解析函數(shù)的出發(fā)點(diǎn)是解析性概念．如果定義于復(fù)平面的區(qū)域D中的復(fù)值函數(shù)f在D的每個(gè)點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)可展開為冪級(jí)數(shù)，則稱f在D內(nèi)解析．這樣的函數(shù)在復(fù)意義下可導(dǎo)．他得到不恒等于零的解析函數(shù)f在其零點(diǎn)a處的分解式 f(z)=(z-a)ng(z)， 其中g(shù)在a的鄰域內(nèi)解析且g(a)≠0．由此得到零點(diǎn)的孤立性和解析函數(shù)的唯一性定理． 他指出，給定以 a為中心、收斂半徑為r(>0)的冪級(jí)數(shù)f，對(duì)圓盤|z-a|<r中的每點(diǎn)b，f可展開為以b為中心、收斂半徑r(b)≥r-|b-a|的冪級(jí)數(shù)．由此可按r(b)> r-|b-a|或r(b)=r-|b-a|把收斂圓盤邊界上的點(diǎn)分為正則點(diǎn)和奇點(diǎn)兩類．前一情形可對(duì)f進(jìn)行解析開拓，后一情形則不能．他證明ρ=inf｛r(b)：|b-a|＜r｝＝0，從而得到冪級(jí)數(shù)收 整數(shù)且滿足ab≥10)表明此邊界可能只含有奇點(diǎn)，他稱之為“自然邊界”；此時(shí)f不可能解析開拓到收斂圓外． 這樣的開拓可能導(dǎo)致回到同一點(diǎn)時(shí)得到不同的函數(shù)值．在1884—1885學(xué)年的講授中，魏爾斯特拉斯引進(jìn)了“解析函數(shù)元素”概念．如果S是以a為中心的具有正收斂半徑的冪級(jí)數(shù)，則稱(a，S)為一個(gè)解析函數(shù)元素，簡(jiǎn)稱元素．給定兩個(gè)元素(a，S)，(b，T)，如果S與T的收斂圓盤之交非空且S與T在此交上相等，則稱這兩個(gè)元素互為直接解析開拓．設(shè)(a0，S0)，(a1，S1)，…，(an，Sn)是一個(gè)元素鏈，如果鏈中任何兩個(gè)相鄰元素互為直接解析開拓，則稱(a0，S0)與(an，Sn)互為解析開拓．從一個(gè)元素出發(fā)進(jìn)行一切可能的解析開拓所得到的元素的全體，就是一個(gè)整體解析函數(shù)，它一般是多值的．這種函數(shù)被稱為完全解析函數(shù)． 整函數(shù)與亞純函數(shù) 魏爾斯特拉斯把只在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處有一個(gè)奇點(diǎn)的解析函數(shù)稱為整函數(shù)，并得到了被R．奈望林納(Nevanlinna)稱為“現(xiàn)代分析中最奇妙的結(jié)果之一”的整函數(shù)分解為素因子的定 在任一|z|≤R上一致收斂，于是整函數(shù) 其中g(shù)是整函數(shù)． 對(duì)于解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，魏爾斯特拉斯區(qū)別了極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)．在1874年12月16日致科瓦列夫斯卡婭的信[21]中，他表述了下述命題：如果a是f(z)的本性奇點(diǎn)，則對(duì)任何復(fù)數(shù)c(可為∞)，存在zn→a，使得f(zn)→ c．根據(jù)F．卡索拉蒂(Casorati)1864年在柏林游學(xué)時(shí)所作的筆記，在當(dāng)時(shí)他與魏爾斯特拉斯等人的多次討論中，已談到這一定理．卡索拉蒂和Ю．B．索霍茨基(Сохопкий)于1868年分別發(fā)表了類似結(jié)果．這一定理以及E．皮卡(Picard)于1879年發(fā)表的著名定理，成為現(xiàn)代亞純函數(shù)值分布論的起點(diǎn)．魏爾斯特拉斯還得到了具有有限個(gè)本性奇點(diǎn)和任意多個(gè)(可為無窮個(gè))極點(diǎn)的解析函數(shù)的一般表示式． 多復(fù)變函數(shù)論 在魏爾斯特拉斯的早期論文中，已引進(jìn)多復(fù)變量?jī)缂?jí)數(shù) 與復(fù)n維空間中的一些拓?fù)涓拍?，定義了多復(fù)變量?jī)缂?jí)數(shù)的收斂多圓柱，他還通過系數(shù)估計(jì)得到由冪級(jí)數(shù)表示的函數(shù) gμ(z1，…，zn)=0(μ=1，…，m；m＜n) 所確定的隱函數(shù)zv=hv(zm+1，…，zn)(v=1，…，m)可展開為冪級(jí)數(shù)的定理． 魏爾斯特拉斯對(duì)多復(fù)變函數(shù)論的最大貢獻(xiàn)，是他于1860年講課中提出并于1879年發(fā)表的“預(yù)備定理”[9]：如果F(z1，…，zn)是原點(diǎn)鄰域內(nèi)的解析函數(shù)，F(xiàn)(0，0，…，0)=0，F(xiàn)(0，…，0，zn) 0，則在原點(diǎn)鄰域中F可表示為 其中k是不小于1的整數(shù)，av(z1，…，zn-1)(v=1，…，k)在原點(diǎn)鄰域內(nèi)解析且在原點(diǎn)處取零值，g在原點(diǎn)鄰域內(nèi)解析且不等于零．這是多復(fù)變函數(shù)論中最早的一條深刻定理，它使得現(xiàn)代解析集的局部研究中應(yīng)用代數(shù)方法成為可能，對(duì)解析集研究具有重要意義． 魏爾斯特拉斯的函數(shù)論 魏爾斯特拉斯與柯西、黎曼同為復(fù)變函數(shù)論的奠基人，但在方法與途徑上并不相同[11]．他建立解析函數(shù)論的原意是作為他關(guān)于阿貝爾積分與阿貝爾函數(shù)一般理論的導(dǎo)引．現(xiàn)在看來，他的主要目標(biāo)反倒退居次要地位，而他的嚴(yán)格的、批判的、犀利的觀念，以及他所提供的一般性理論和方法，則成為他對(duì)這一領(lǐng)域的主要貢獻(xiàn)．在這方面，他與黎曼明顯不同．黎曼以狄利克雷原理為基礎(chǔ)建立他的著名的映射定理，而魏爾斯特拉斯對(duì)狄利克雷原理的批評(píng)使這個(gè)原理和黎曼強(qiáng)有力的方法幾乎一蹶不振．直到1899年，希爾伯特的工作才使它們得以“復(fù)活”．在談到黎曼面時(shí)，魏爾斯特拉斯說他“不能接受這是函數(shù)論真正基礎(chǔ)”的提法，雖然他也承認(rèn)這種方法“具有數(shù)學(xué)想象力”[15]．在一般方法論上，他說：“我越是思考函數(shù)論——這是我不斷研究的領(lǐng)域——的各種原理，就越確信它必須建立在簡(jiǎn)單的代數(shù)真理的基礎(chǔ)上；誰如果不是把它建立于簡(jiǎn)單而基本的代數(shù)命題，而是借助于‘直覺’(我用這個(gè)詞來概括描述)，誰就走上了歧路，不管乍一看它多么有吸引力，例如黎曼那樣，他通過這種方法發(fā)現(xiàn)了代數(shù)函數(shù)那么多重要的性質(zhì)．”不過他也強(qiáng)調(diào)在研究時(shí)可以采用多種渠道，他講的“只是關(guān)于應(yīng)當(dāng)怎樣建立系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)問題”． 克萊因在比較這兩位數(shù)學(xué)家時(shí)說過：“黎曼具有非凡的直觀能力，他的理解天才勝過所有同代數(shù)學(xué)家．……魏爾斯特拉斯主要是一位邏輯學(xué)者，他緩慢地、系統(tǒng)地逐步前進(jìn)．在他工作的分支中，他力圖達(dá)到確定的形式．”H．龐加萊(Poincaré)寫道，魏爾斯特拉斯使“整個(gè)解析函數(shù)論成為冪級(jí)數(shù)理論的一系列推論，因而它就被建立在牢靠的算術(shù)基礎(chǔ)上”，“黎曼的方法首先是一種發(fā)現(xiàn)的方法，而魏爾斯特拉斯的則首先是一種證明的方法”． 到19世紀(jì)末，德文“Funktionenlehre”幾乎已成為按照魏爾斯特拉斯的觀念建立的復(fù)變函數(shù)論的同義詞，但也有人持有異議．S．李(Lie)批評(píng)德國(guó)沒有象樣的幾何學(xué)家，他把這種狀況歸咎于魏爾斯特拉斯學(xué)派占據(jù)統(tǒng)治地位．克萊因在肯定算術(shù)化同時(shí)也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)決不會(huì)由邏輯推導(dǎo)完成，直觀總是具有特殊重要性．康托爾甚至提出人們應(yīng)當(dāng)區(qū)別魏爾斯特拉斯實(shí)際所做的工作與圍繞著他樹立起來的神話． 在數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域中的貢獻(xiàn) 橢圓函數(shù)論與阿貝爾函數(shù)論 魏爾斯特拉斯引進(jìn)函數(shù) Al(u)k(k=1，2，3)與A1(u)，他采用這些記號(hào)顯然是為了紀(jì)念阿貝爾．他通過這些函數(shù)解決了把snu，cnu，dnu表示為冪級(jí)數(shù)之商的問題．后來，他引進(jìn)了在其橢圓函數(shù)論中起核心作用的函數(shù) ，它是第一類橢圓積分的反演，滿足微分方程 并以u(píng)=0為極點(diǎn)．他得到了 (u)的加法定理，從而把它解析開拓為全平面上的亞純函數(shù)，并得到展開式 他在“關(guān)于阿貝爾積分論”和1856年發(fā)表的另一論文中研究了超橢圓積分的反演問題：由方程組 確定x1，…，xn作為(u1，…，un)∈Cn的函數(shù)，其中 通過引進(jìn)第一類與第二類完全積分與函Al， Alj，alj=Alj/Al(j=0，1，…，2n)，他得到了問題的解，導(dǎo)出了這些函數(shù)所滿足的偏微分方程組與作為冪級(jí)數(shù)之商的表示式，建立了alj之間的一些代數(shù)關(guān)系式． 魏爾斯特拉斯于1869年完成了關(guān)于阿貝爾積分的一般理論，并在其后的一系列課程中加以闡述．在他的理論中，由一個(gè)不可約代數(shù)方程定 y=ψ(t)是收斂?jī)缂?jí)數(shù)；他稱這樣的集合為“代數(shù)層”．他由此出發(fā)定義虧格(他稱之為“級(jí)”)，證明虧格在雙有理變換下不變．他還定義 定形式關(guān)于一個(gè)代數(shù)層的所有元素的殘數(shù)之和為零，由此得到F(x，y)的分解式．通過研究只有一個(gè)極點(diǎn)的有理函數(shù)，他得到虧格的新的代數(shù)刻畫．他證明用有限個(gè)解析元素即可表示一個(gè)代數(shù)層，這相當(dāng)于證明代數(shù)函數(shù)黎曼面的緊性．他證明了阿貝爾函數(shù)論中的一條基本定理：具有相同周期2p的P+1個(gè)P元阿貝爾函數(shù)之間存在一個(gè)代數(shù)關(guān)系． 變分法 魏爾斯特拉斯關(guān)于變分法的研究最早通過A．克內(nèi)澤爾(Kne-ser)的《變分法教程》(Lehrbuch der Variationsrechung， 1900)得到傳播，該書對(duì)變分法研究有深遠(yuǎn)影響．他關(guān)于變分法的講義是由許多學(xué)生筆錄的．在該講義中，他考察平面變分法問題的參數(shù)形式即積分 假定F在某個(gè)區(qū)域中正則并具有正齊性．第11章中證明了著名的“角條件”：給定的極小化曲線在(t0，t1)中有限個(gè)點(diǎn)處間斷地改變切線方 出可比關(guān)于共軛點(diǎn)命題的嚴(yán)格證明(第16章)．他清晰地表述了曲線C為極值曲線的三個(gè)必要條件：(1)沿此曲線x，y作為t的函數(shù)滿足 其中F1由 確定．(2)如果C為極小(大)化曲線，則F1沿C取正(負(fù))值．(3)從起始點(diǎn)開始，積分區(qū)間至多能達(dá)到起始點(diǎn)的共軛點(diǎn)．他首次敘述并證明了曲線C給出I的極大(小)值的一個(gè)充分條件：設(shè)上述條件(1)，(2)和(3)滿足，F(xiàn)1在[t0，t1]上不為零也不為無窮，該區(qū)間中沒有共軛點(diǎn)對(duì)，如果把曲線的變分限于比較曲線與所給曲線相應(yīng)點(diǎn)之間距離為任意小且切線方向的改變也為任意小的情形(即現(xiàn)稱的弱變分情形)，則當(dāng)F1為正(負(fù))時(shí)C給出極小(大)值(第18章)． 魏爾斯特拉斯認(rèn)為，也應(yīng)考慮比較曲線與給定曲線相應(yīng)點(diǎn)處切線方向不一定相近即現(xiàn)稱的強(qiáng)變分情形．此時(shí)他引進(jìn)函數(shù) 為非負(fù)(非正)(第22章)．為研究充分性，他引進(jìn)現(xiàn)稱的“場(chǎng)”概念，敘述并證明：如果E在位于場(chǎng)內(nèi)且連接參數(shù)為t0，t1的點(diǎn)的任一曲線C上為負(fù)(正)，則I沿滿足微分方程G=0的曲線C0的值大(小)于沿C的值(第23章)．像他的其他工作一樣，他的變分法研究嚴(yán)謹(jǐn)透徹，明顯區(qū)別于在此以前的有關(guān)研究． 代數(shù) 魏爾斯特拉斯對(duì)同時(shí)化兩個(gè)二次型為平方和給出了一般方法．他建立了矩陣的初等因子理論，實(shí)際上比C．若爾當(dāng)(Jordan)早兩年給出了現(xiàn)稱的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；他完成了二次型理論并把它推廣到雙線性型．他于1861年得到了關(guān)于線性結(jié)合代數(shù)的一個(gè)基本結(jié)果(發(fā)表于1884年，)：具有有限個(gè)原始單元的實(shí)或復(fù)線性結(jié)合代數(shù)，如果滿足乘積定律和乘法交換律，就必是實(shí)數(shù)構(gòu)成的代數(shù)或復(fù)數(shù)構(gòu)成的代數(shù)(戴德金約于1870年得到同樣結(jié)果，并于1885年發(fā)表)． 卓越的大學(xué)數(shù)學(xué)教師 刻苦鉆研、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué) 如前所述，在當(dāng)中學(xué)教師的15年中，盡管教學(xué)任務(wù)繁重，工作條件很差，魏爾斯特拉斯仍堅(jiān)韌不拔、孜孜不倦地鉆研數(shù)學(xué)，經(jīng)常達(dá)到廢寢忘食的程度．例如一天早上，他該去上課的教室中起了騷動(dòng)，校長(zhǎng)走去一看，原來是教師未到．校長(zhǎng)趕快去魏爾斯特拉斯的寢室，發(fā)現(xiàn)他還在燭光下苦苦思索，根本不知道天色早已大明．1850年起，他患了眩暈癥，常持續(xù)一小時(shí)以上，直到一陣摧人心肺的嘔吐后才見消退．這種腦痙攣癥折磨了他十余年，但他頑強(qiáng)地堅(jiān)持教學(xué)和研究．實(shí)際上，在當(dāng)中學(xué)教師年代，他是以犧牲健康為代價(jià)從事數(shù)學(xué)研究的． 他在柏林大學(xué)仍承擔(dān)巨大的教學(xué)工作負(fù)荷．1860年3月，在一次講課中他突然暈了過去．1861年底他完全病倒，在近兩年中一直未能回到科學(xué)工作上來．他患有支氣管炎和靜脈炎，經(jīng)常發(fā)作．但只要有可能，他就堅(jiān)持上課，常常只能坐著講授，讓優(yōu)秀學(xué)生書寫黑板． 他總是推遲發(fā)表自己的工作，倒不是因?yàn)閰拹喊l(fā)表，而是力求以嶄新的途徑，使結(jié)論建立在牢固的基礎(chǔ)上．他反復(fù)推敲自己的觀念、理論和方法，直到他認(rèn)為已達(dá)到它們理應(yīng)具有的自然完美的方式為止，所以他正式發(fā)表的論文數(shù)量并不多． 魏爾斯特拉斯富有詩才．他曾說過，如果一個(gè)數(shù)學(xué)家不是某種程度上的詩人，他就永遠(yuǎn)不會(huì)成為一個(gè)完整的數(shù)學(xué)家．但有點(diǎn)奇怪的是，不像很多數(shù)學(xué)家喜歡音樂一樣，他討厭音樂．他是天主教徒，但在宗教觀點(diǎn)上不走極端． 無與倫比的大學(xué)數(shù)學(xué)教師 魏爾斯特拉斯是古往今來最出色的大學(xué)數(shù)學(xué)教師之一．從1856年至1890年的68個(gè)學(xué)期中，他每學(xué)期都有課，其中約有1/4的學(xué)期每周授課2門8學(xué)時(shí)；約有一半學(xué)期講授2門課程．他講授的課程計(jì)有：橢圓函數(shù)論，橢圓函數(shù)論在幾何和力學(xué)中的應(yīng)用，阿貝爾函數(shù)論，解析函數(shù)論，變分法，幾何學(xué)，函數(shù)論選題，用冪級(jí)數(shù)表示解析函數(shù)，分析引論，積分學(xué)，行列式及其應(yīng)用，雙線性型和二次型，齊次函數(shù)論，解析幾何學(xué)，數(shù)學(xué)物理，分析力學(xué)，分析光學(xué)． 從1861年5月起，他還與庫默爾一起創(chuàng)辦了柏林大學(xué)第一個(gè)數(shù)學(xué)討論班，此后持續(xù)不斷，討論他們開創(chuàng)的新觀念和新理論． 當(dāng)然，重要的不在于上了多少課，而在于培養(yǎng)的學(xué)生的狀況．大學(xué)教學(xué)的目的是培育善于思考、富于創(chuàng)造力的人才．在這方面，魏爾斯特拉斯的成功可以說是無與倫比的．他善于用一種不可言傳只能意會(huì)的精神激發(fā)學(xué)生的興趣和創(chuàng)造欲．他講課時(shí)不夸大其辭、嘩眾取寵．他關(guān)心學(xué)生，循循善誘，慷慨地指給學(xué)生論文課題，在討論班上不斷提出富有成果的想法，使之成為學(xué)生研究的主題，甚至把自己尚未發(fā)表也未留紀(jì)要的手稿借給學(xué)生，而有的學(xué)生拿去后竟不再歸還． 魏爾斯特拉斯的受到學(xué)生高度推崇的講授并非一蹴而就而是長(zhǎng)期磨煉形成的．開始時(shí)，他講的課比較混亂，有時(shí)令人費(fèi)解．后來，他的課越講越好，新的思想樸實(shí)無華自然而然地涌現(xiàn)，使他講授新理論的名聲傳遍全歐，聽課人數(shù)激增．1869年講阿貝爾函數(shù)，注冊(cè)時(shí)為107人，但后來聽眾竟達(dá)250人，不少人只得席地而坐．在他的學(xué)生(包括參加討論班的人)中，后來有近100位成為大學(xué)正教授．考慮到當(dāng)?shù)聡?guó)大學(xué)正教授的難度，這實(shí)在是一個(gè)驚人數(shù)字．他的學(xué)生中有一大批后來成為知名數(shù)學(xué)家，其中有P．巴赫曼(Bachmann)、O．博爾查(Bolza)、F．恩格爾(Engel)、G．弗羅貝尼烏斯(Frobenius)、K．亨澤爾 萊因、W．基靈(Killing)、克內(nèi)澤爾、柯尼斯伯格、科瓦列夫斯卡婭、M．萊爾赫(Lerch)、李、F．默滕斯(Mertens)、H．閔科夫斯基(Minkowski)、米塔-列夫勒、E．內(nèi)托(Netto)、A．普林斯海姆(Pringsheim)、C．龍格(Runge)、F．朔特基(Schottky)、施瓦茲、O．斯托爾茨(Stolz)等． 也有少數(shù)人批評(píng)說，在魏爾斯特拉斯討論班上，絕大多數(shù)參加者把他的理論奉為圭臬，很難發(fā)表不同意見．克萊因就說過他與李在討論班上常不得不為捍衛(wèi)自己觀點(diǎn)而戰(zhàn)斗． 龍格說，魏爾斯特拉斯在其連續(xù)性課程中“自下而上地構(gòu)筑了完美的數(shù)學(xué)大廈，其中任何想當(dāng)然的、未經(jīng)證明的東西沒有立足之地”．這是對(duì)魏爾斯特拉斯講授的一個(gè)很好的概括． |
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