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馬爾科夫 劉鈍 蘇淳 (中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所)(中國(guó)科技大學(xué)) 馬爾科夫， A． A．(Мa(chǎn)pKOB，AHдpeй AHдpeeBич)1856年6月14日生于俄國(guó)梁贊市；1922年7月20日卒于彼得格勒．?dāng)?shù)學(xué)． 馬爾科夫的父親原先是梁贊省林業(yè)廳的一個(gè)低級(jí)官員，后來在官場(chǎng)遭到傾軋，只好帶領(lǐng)全家遷居彼得堡.(彼得堡(пeTepбypr)，1914-1924年改稱彼得格勒(пeTpoгpaд)，)他自己在一個(gè)有錢的寡婦家里擔(dān)任管家．大約在此同時(shí)，馬爾科夫腿部患了骨結(jié)核，直到10歲左右方經(jīng)手術(shù)治療好轉(zhuǎn)，但是仍然留有一點(diǎn)后遺癥，這段痛苦的經(jīng)歷對(duì)他的早年意志是一個(gè)很好的磨煉． 中學(xué)時(shí)代，馬爾科夫喜歡閱讀Н．Г．車爾尼雪夫斯基(ЧepHь- IшeBCKий)、Н．?。挪_留波夫(ДoбpoлюбOB)等進(jìn)步作家的作品，因此屢屢遭到東正教會(huì)控制的學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)的警告．有一次由于他在祈禱儀式上心不在焉，被學(xué)監(jiān)斥責(zé)為無神論者和無政府主義者，只是考慮到他在數(shù)學(xué)方面的才華和父親再三賠禮道歉之后，校方才保留了他的學(xué)籍． 馬爾科夫在中學(xué)時(shí)就開始自學(xué)微積分，有一次他獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了一種常系數(shù)線性常微分方程的解法，因此寫信給俄國(guó)當(dāng)時(shí)最有資望的數(shù)學(xué)家В．Я．布尼亞科夫斯基(БyHOBCKий)，信被轉(zhuǎn)到彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系的?。茽柦?KopKиH)和Е．Н．佐洛塔廖夫(ЗoлoTap B)手里，從此馬爾科夫與彼得堡大學(xué)的數(shù)學(xué)家建立了聯(lián)系． 1874年，馬爾科夫考入彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系．1878年畢業(yè)并留校工作，他的畢業(yè)論文“以連分?jǐn)?shù)解微分方程”(Oб иHTeгpиpoBa- Hии ДиффepeHциaлHьI(lǐng)X ypaBHeHий пpи пoMo-щи HeпpepьI(lǐng)BHьI(lǐng)X дpoбeй，1878)獲得當(dāng)年系里頒發(fā)的金質(zhì)獎(jiǎng)．1880年，馬爾科夫完成了“關(guān)于雙正定二次型”(O биHap- HьI(lǐng)X KBaдpaTичHbIX фOPMax пoлoжиTeлbHoгo oпpeдeлиTeHия，1880)的碩士論文；從這一年起，他正式給學(xué)生開課．1883年，馬爾科夫與М．И．瓦里瓦契耶瓦婭(BaльBaT-ъeBaя)結(jié)為伉儷，新娘的母親正是他父親當(dāng)年的女雇主．1884年，馬爾科夫以“關(guān)于代數(shù)連分?jǐn)?shù)的某些應(yīng)用”(O HeKoTopьI(lǐng)X пpи-лoжeHия aлгeбpaичecKиX HeпpepьI(lǐng)BHьI(lǐng)X дp- oбeй，為題通過了博士論文的答辯． 1886年，經(jīng)П．Л．切比雪夫(ЧeбьI(lǐng)шeB)提名，馬爾科夫獲得彼得堡科學(xué)院聯(lián)絡(luò)成員資格，1890年成為候補(bǔ)院士，1896年升為正院士．他積極地參加了科學(xué)院數(shù)理學(xué)部的學(xué)術(shù)和組織活動(dòng)． 馬爾科夫從1880年開始，先是擔(dān)任助教和講師，1886年成為副教授，1893年成為正教授，1905年退休并獲榮譽(yù)教授稱號(hào)．二十五年來，他在彼得堡大學(xué)先后講授過微積分、數(shù)論、函數(shù)論、矩論、計(jì)算方法、微分方程、概率論等課程，培養(yǎng)了大批出色的數(shù)學(xué)人才．1917年9月，因?yàn)楸说酶窭找褵o正常的工作秩序，馬爾科夫自愿來到梁贊省薩蘭斯克城，無償?shù)貫楫?dāng)?shù)刂袑W(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)教師．十月革命后的1918年秋，馬爾科夫重返彼得格勒，并為彼得格勒大學(xué)開設(shè)概率論講座． 1921年秋，馬爾科夫的健康開始惡化，只得離開母校．在生命的最后一年里，他還在抓緊時(shí)間對(duì)匯集了生平心血的《概率演算》(Иcч-иcлeHиe BepoяTHOCTeй，CПБ，1900，изд．，2-e-1908，3-e-1912，4-e-1924)一書進(jìn)行修改． 在馬爾科夫從事科學(xué)活動(dòng)的時(shí)代，一個(gè)以彼得堡大學(xué)為中心的俄羅斯數(shù)學(xué)學(xué)派正在逐步形成，切比雪夫是這一學(xué)派當(dāng)之無愧的領(lǐng)袖，科爾金、佐洛塔廖夫、Ю．Ь．索霍茨基(CoxoцKий)、K．A．波瑟(Пocce)、?。钛牌罩Z夫(ЛяпyHOB)和馬爾科夫本人都是這一學(xué)派的重要成員．正是在這些人的共同努力下，俄國(guó)數(shù)學(xué)開始擺脫落后局面，并在數(shù)論、函數(shù)論、概率論等分支里出現(xiàn)了具有世界意義的成果． 馬爾科夫的碩士論文是關(guān)于代數(shù)數(shù)論中雙正定二次型的極值問題的，他推進(jìn)和完善了科爾金和佐洛塔廖夫不久前得到的結(jié)果，并建立了二次型表示論與丟番圖分析之間的聯(lián)系．在這項(xiàng)工作中，馬爾科夫已表現(xiàn)出了善于聯(lián)系經(jīng)典問題、充分利用初等工具、追求解的精確性和實(shí)用性以及不畏繁復(fù)計(jì)算的典型的“彼得堡風(fēng)格”．由切比雪夫所開拓的這種獨(dú)特風(fēng)格正是使俄羅斯數(shù)學(xué)走向世界并引起法、德等傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大國(guó)刮目相看的主要原因．的確，在切比雪夫眾多的弟子們之中，沒有人比馬爾科夫更加“彼得堡化”了，多年以后有人向他請(qǐng)教數(shù)學(xué)的定義，他不無驕傲地說：“數(shù)學(xué)，那就是C．F．高斯(Gauss)、切比雪夫、李雅普諾夫、斯捷克洛夫和我所從事的事業(yè)．” 1901年以后，馬爾科夫又一再回到二次型這一課題上來，并得到關(guān)于三元、四元二次型的較好結(jié)果．他也曾致力于理想素因子的分解研究， 理想素因子的當(dāng)時(shí)最好結(jié)果，并算出了A≤70的所有數(shù)據(jù)． 切比雪夫曾將力學(xué)中矩的概念應(yīng)用于證明概率論中的極限定理，他以連分?jǐn)?shù)形式給出了某些極值不等式，但是沒有提供證明．1884年，馬爾科夫在“某些切比雪夫積分的證明”(Démonstrationde certaines inégalités de M．Tchebycheff， 1884)一文中給出了證明，又在同年通過的博士論文的第三部分給出了切比雪夫問題的完整解答．這一研究導(dǎo)致了馬爾科夫關(guān)于矩論的一系列論文，后來他在概率論的研究中對(duì)切比雪夫的矩問題作了許多深入的拓廣．這些拓廣的一個(gè)重要方面的內(nèi)容是：若前n+1個(gè)矩為已知的非負(fù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上滿足不等式0 ≤ f(x)≤ L(L為一給定常數(shù))，又設(shè)g 能的f(x)的最大值和最小值，并分別確定使其達(dá)到極值的兩個(gè)具體的函數(shù)f1(x)和f2(x)．這里已經(jīng)出現(xiàn)了泛函的雛形，馬爾科夫在假定了g(x)前n+1階導(dǎo)數(shù)存在且它本身在(a，b)上不變號(hào)的條件下解決了這個(gè)問題，這使他得以建立起一種相當(dāng)簡(jiǎn)單而又帶有修正項(xiàng)的新的求積公式．他的這些工作，最初見于1896年發(fā)表的“連分?jǐn)?shù)的一些新應(yīng)用”(HoBьI(lǐng)eпpилoжeHияHeпpepьI(lǐng)BHьI(lǐng)Xдpoбeй，1896)一文，而后又在1897年的一系列論文中作了進(jìn)一步的闡述，其中最為重要的一篇是“關(guān)于矩的L問題”(L-пpoблeMa MOMeHTOB，1897)． 馬爾科夫的這一系列工作幾乎是與荷蘭數(shù)學(xué)家Th．J．斯蒂爾吉斯(Stieltjes)的工作同時(shí)而獨(dú)立地進(jìn)行的，但是后者更關(guān)心積分形式的意義，而不是其估值的結(jié)果，從而導(dǎo)致了一類應(yīng)用廣泛的積分的出現(xiàn)，為實(shí)變函數(shù)論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)．斯蒂爾吉斯于去世前不久發(fā)表的綜述性論文中，解決了無窮區(qū)間(0，∞)上的矩問題，并且給出了所要尋找的函數(shù)的一切整數(shù)階矩的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式．作為回答與對(duì)這位學(xué)術(shù)知己的紀(jì)念，馬爾科夫于1895年發(fā)表了“關(guān)于某些連分?jǐn)?shù)收斂性的兩個(gè)證明”(Deux démonstrationsde la convergence de certaines fractions continues， 1895)一文，文中給出了斯蒂爾吉斯連分?jǐn)?shù)收斂的充分條件． 馬爾科夫?qū)?shí)際問題具有濃厚興趣．1889年，他在“關(guān)于一個(gè)門捷列夫問題”(Oб OдHOM BOпpoce Д．И．MeHдeлeeBa，1889)一文中，解決了由彼得堡大學(xué)著名化學(xué)家д．И．門捷列夫(MeHдeлeeB)提出的一個(gè)問題，從數(shù)學(xué)上來說這一問題相當(dāng)于找出定義在閉區(qū)間[a，b]上的n次多項(xiàng)式f(x)之導(dǎo)數(shù)f′(x)在某種條件下的最大值，它與切比雪夫所開創(chuàng)的對(duì)偏離零點(diǎn)的多項(xiàng)式的最大偏差的估計(jì)有關(guān)．三年之后，馬爾科夫的同父異母弟弟弗拉基米爾(Bлaди- Mиp)將這一問題推廣到求導(dǎo)數(shù)多項(xiàng)式的上確界的情況，可惜他這位頗具數(shù)學(xué)才華的弟弟26歲時(shí)便死于肺結(jié)核．馬爾科夫還研究過空間曲面的投影轉(zhuǎn)換、鐵路彎道的曲率等實(shí)際問題．在微分方程領(lǐng)域，他致力于G．拉梅(Lamé)方程和超幾何方程的研究，其成果包括確定了一個(gè)超幾何方程的兩個(gè)解的乘積可為整函數(shù)的條件，以及這類函數(shù)與拉梅函數(shù)的零點(diǎn)分布問題． 馬爾科夫?qū)?shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是在概率論領(lǐng)域作出的．十九世紀(jì)后二十年，他主要是沿著切比雪夫開創(chuàng)的方向，致力于獨(dú)立隨機(jī)變量和古典極值理論的研究，從而改進(jìn)和完善了大數(shù)定律和中心極限定理．二十世紀(jì)初，他的興趣轉(zhuǎn)移到相依隨機(jī)變量序列的研究上來，從而創(chuàng)立了以他命名的著名概率模型——馬爾科夫鏈． 概率論中的一個(gè)基本問題就是探索概率接近于1時(shí)的規(guī)律，特別是大量獨(dú)立或弱相依因素累積結(jié)果所發(fā)生的規(guī)律，大數(shù)定律就是表達(dá)有關(guān)這種規(guī)律的命題之一．1845年，切比雪夫第一次證明了伯努利形式的大數(shù)定律，次年又把結(jié)果拓廣到泊松形式之上．馬爾科夫不滿意切比雪夫證明中要求隨機(jī)變量的方差值一致有界這一條件，經(jīng)過努力他找到了兩個(gè)更合理的條件，極大地改進(jìn)了切比雪夫的結(jié)果． 中心極限定理是概率論極限理論的又一重要內(nèi)容，它討論隨機(jī)變數(shù)和依分布收斂到正態(tài)分布的條件．在1884年馬爾科夫?qū)胤椒ㄋ婕暗降那斜妊┓虿坏仁浇o出了證明之后，切比雪夫于1887年得到了這一定理 夫提出的命題給出了精確的陳述與證明，文中所使用的改進(jìn)后的矩方法后來被人稱為“切比雪夫-馬爾科夫矩方法”． 1900年前后，馬爾科夫的低班校友李雅普諾夫引入了特征函數(shù)來考察中心極限定理，從而避免了矩方法要求高階矩存在的苛刻條件，并為這一定理的進(jìn)一步精確化準(zhǔn)備了條件．多年來，馬爾科夫力圖在概率論中恢復(fù)矩方法的地位，最后他創(chuàng)造出了一種“截尾術(shù)”，即在適當(dāng)?shù)膮^(qū)域截?cái)嚯S機(jī)變量使之有界，從而在不改變它們和的極限分布的前提下保證任意階矩的存在，他的這一成果發(fā)表在“關(guān)于李雅普諾夫院士情形的概率極限的定理”(TeopeMa Oпpeдeлe Bep- oяTHOCTи для CлyчaeB aKaдeMиKa A．M． ДяпyHoBa，1909)一文中．馬爾科夫的創(chuàng)造克服了特征函數(shù)方法過分依賴獨(dú)立性的弱點(diǎn)，開辟了通向非獨(dú)立隨機(jī)變量研究的道路，并為強(qiáng)極限理論的發(fā)展提供了有力的手段．他與李雅普諾夫關(guān)于方法論的競(jìng)爭(zhēng)，極大地豐富了本世紀(jì)初概率論的內(nèi)容，對(duì)這門學(xué)科的現(xiàn)代化產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響． 出于擴(kuò)大極限定理應(yīng)用范圍的目的，馬爾科夫在本世紀(jì)初開始考慮相依隨機(jī)變量序列的規(guī)律，并從中選出了重要的一類加以研究．1906年，他在“大數(shù)定律關(guān)于相依變量的擴(kuò)展”(PacпpocTpaHeHиe зaKo- HOB бoлbщиX чиCeлHA BeличиHbI，зaBиCяшиe дpyг OT дpyгa，1906)一文中，第一次提到如下一種試驗(yàn)序列：若每次試驗(yàn)?zāi)軌驅(qū)崿F(xiàn)且僅能夠?qū)崿F(xiàn)k件互不相容事件A1s，A2s，…，Aks(s表試驗(yàn)號(hào)碼)中的一件，而在第s+1次試驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)事件Ais+1(i=1，2，…k)的條件概率只與第s次試驗(yàn)中發(fā)生的事件有關(guān)，而與更早的試驗(yàn)中發(fā)生的事件無關(guān)．這就是被后人稱為“馬爾科夫鏈”(嚴(yán)格說是“簡(jiǎn)單馬爾科夫鏈”)的概率模型． 例如，一個(gè)受到在t1，t2，t3，…時(shí)刻發(fā)生的隨機(jī)推動(dòng)的影響而沿著一條直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中位于具有整數(shù)坐標(biāo)a，a+1，a+2，…b的點(diǎn)上；在a點(diǎn)和b點(diǎn)上有反射性的壁障．當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不在壁上時(shí)，每次推動(dòng)使該質(zhì)點(diǎn)以概率p向右移動(dòng)而以概率q=1-p向左移動(dòng)；若質(zhì)點(diǎn)在壁上，則任何推動(dòng)使它在兩壁之間移動(dòng)一個(gè)單位．可以看出，該質(zhì)點(diǎn)在ti時(shí)刻以多大的概率在什么位置僅僅與它在ti－1時(shí)刻的位置有關(guān)，而與它在t1，t2，…，ti-2諸時(shí)刻的位置無關(guān)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)徘徊的例子就提供了一個(gè)馬爾科夫鏈的實(shí)例． 在這篇論文中，馬爾科夫證明了：在這種隨機(jī)變量序列中，如果變 些前提下證明了模型的各態(tài)歷經(jīng)性，成為統(tǒng)計(jì)物理中具有重要作用的遍歷理論的第一個(gè)被嚴(yán)格證明的結(jié)果． 馬爾科夫鏈的哲學(xué)意義可用蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家 А．Я．辛欽(XиHч-иH)的一句話來概括，這就是承認(rèn)客觀世界中有一種現(xiàn)象，其未來由現(xiàn)在所決定的程度，使得其關(guān)于過去的知識(shí)絲毫不影響這種決定性．馬爾科夫鏈的建立實(shí)際上是Ch．惠更斯(Huygens)無后效原理的概率推廣，同時(shí)也是對(duì)P．S．拉普拉斯(Laplace)決定論的否定．在后者的宇宙圖景中，任意系統(tǒng)在t＞t0時(shí)的狀態(tài)ξ可由其初始時(shí)刻t0和初始狀態(tài)ξ0唯一決定：ε=f(t0，ξ0，t)，這里f是一個(gè)微分方程．可是在馬爾科夫的概率模型中，代替初始條件t0和ξ0的是一個(gè)條件概率，即在時(shí)刻t0處于狀態(tài)ξi的條件下，于時(shí)刻t出現(xiàn)狀態(tài)ξj的概率p(t0，ξi；t，ξj)對(duì)于三個(gè)相鄰時(shí)刻t0＜t1＜t2之間的條件概率，存在著 這里n表示狀態(tài)的總數(shù)．這一公式與拉普拉斯的微分方程的不同就在于否定了系統(tǒng)中任一狀態(tài)ξ與其初始狀態(tài)ξ0之間的因果必然性． 馬爾科夫是第一個(gè)建立這樣一種服從無后效原理的數(shù)學(xué)模型的人，但是他本人并沒有提到這一模型在物理世界的應(yīng)用．有趣的是，他曾用語言學(xué)方面的材料來驗(yàn)證這一模型．在《概率演算》的第四版中，他以 A． C．普希金(ПyшKиH)的長(zhǎng)詩(shī)《葉甫蓋尼·奧涅金》中元音字母和輔音字母交替變化的規(guī)律，驗(yàn)證了只有兩種狀態(tài)的簡(jiǎn)單馬爾科夫鏈在俄文字母隨機(jī)序列中的存在． 完成了關(guān)于鏈的大數(shù)定律的證明之后，馬爾科夫又在一系列論文中開始研究鏈的中心極限定理．1907年，他在《科學(xué)院通報(bào)》(ИзBT-ияX AkaдeMии HayK)上發(fā)表了“相依試驗(yàn)的一種特殊情況”(ИccлeдoBaHиe зaMeчaTeлbHoгo cлyчaя зaB-иCиMьI(lǐng)X иcпьI(lǐng)TaHий，1907)一文，文中證明了僅有0，1兩種狀態(tài)的齊次馬爾科夫鏈的中心極限定理．1908年，他又在“一個(gè)鏈中變量和的概率計(jì)算極限定理的推廣”(PacпpocTpaHeHиe пpe-дeльHьI(lǐng)X TeopeM иcчилeHия BepoяTHoCTeйHa cy- Mmy BeличиH，CBязaHHbIX B цeпь，1908)一文中將結(jié)果推廣到具有有限狀態(tài)的任意齊次烏爾科夫鏈的情況，在這里轉(zhuǎn)移概率滿足一些特定條件．如同他的其他許多工作一樣，他在這一證明中使用了矩方法．1910年，馬爾科夫發(fā)表了“成連鎖試驗(yàn)的普遍情況研究”(ИccлeдoBaHиe oбщeгo cлyч-aя иcпьI(lǐng)TaHий．CBязaHHьI(lǐng)X B цeпь，1910)一文，文中證明了兩種狀態(tài)的非齊次馬爾科夫鏈的中心極限定理，其中四個(gè)轉(zhuǎn)移概率位于一個(gè)固定的區(qū)間(c1，c2)內(nèi)． 馬爾科夫提出的概念后來被擴(kuò)充到連續(xù)時(shí)間和任意位相空間，按照欣欽的建議被稱為馬爾科夫過程，它是現(xiàn)代概率論中的一個(gè)重要分支——隨機(jī)過程理論中的一部分．馬爾科夫過程的一般理論及其分類是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家?。聽柲缏宸?KoлMoгopoB)于1930年完成的．馬爾科夫所開創(chuàng)的這一研究引起了近代物理學(xué)、化學(xué)、遺傳學(xué)乃至經(jīng)濟(jì)學(xué)與社會(huì)學(xué)觀念上的革命，其真實(shí)性可由下述事實(shí)得到證明：那就是，在馬爾科夫從事他的研究之前或同時(shí)，一些關(guān)于馬爾科夫鏈甚至馬爾科夫過程的實(shí)例就由其他科學(xué)家提供了．例如，1889年英國(guó)遺傳學(xué)家F．高爾頓(Galton)對(duì)一個(gè)家族生存的調(diào)查就可歸為一種具有可數(shù)狀態(tài)的馬爾科夫鏈；另一個(gè)模型于1907年由荷蘭物理學(xué)家P．厄倫費(fèi)斯特(Ehre-nfest)關(guān)于容器中分子擴(kuò)散的實(shí)驗(yàn)提供．1912年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Н．龐加萊(Poincaré)在其《概率演算》第二版(Calcul des probabilités，2nd．ed．，1912)中提出的洗牌問題，涉及到一個(gè)定義在置換群上的鏈的各態(tài)歷經(jīng)性質(zhì)．法國(guó)數(shù)學(xué)家L．巴歇列埃(Bachelier)在1900—1901年的關(guān)于投機(jī)理論的研究中接觸到連續(xù)性的馬爾科夫過程．其后?。異垡蛩固?Einstein)和波蘭物理學(xué)家М．馮·斯莫盧霍夫斯基(Smoluchowski)在對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的研究中也接觸到這一課題．第一個(gè)用馬爾科夫過程來嚴(yán)格地描述布朗運(yùn)動(dòng)的工作是由美國(guó)數(shù)學(xué)家N·維納(Wiener)于1923年給出的． 馬爾科夫關(guān)于鏈的理論在本世紀(jì)得到一大批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的繼承與發(fā)展，他們當(dāng)中有С．Н．伯恩斯坦(БepHшTeйH)、М．弗雷歇(Fréchet)、В．И．羅曼諾夫斯基(PoMaHoBcKий)、柯爾莫哥洛夫、W．費(fèi)勒(Feller)、P．萊維(Lévy)、J．達(dá)布(Doob)等．近年來，中國(guó)數(shù)學(xué)工者作在與馬爾科夫過程論有關(guān)的眾多課題上也取得了令人矚目的成果． 馬爾科夫生活的時(shí)代，正當(dāng)俄國(guó)民主啟蒙運(yùn)動(dòng)空前高漲和社會(huì)主義革命走向勝利的時(shí)代，他的思想和行為都體現(xiàn)了鮮明的時(shí)代特征．他曾就濫用概率論于“倫理科學(xué)”和用神學(xué)干預(yù)科學(xué)的傾向與布尼亞科夫斯基展開過論戰(zhàn)．在《概率演算》一書中，他針對(duì)后者對(duì)“某些哲學(xué)家以極不體面的方式，試圖把關(guān)于證據(jù)和傳說弱化的概率公式應(yīng)用到宗教信仰上”的攻擊而寫道：“對(duì)不大可能的事件的敘述就仿佛對(duì)久遠(yuǎn)年代以前發(fā)生的事件一樣，顯然應(yīng)該予以極端的懷疑．”1912年2月12日，馬爾科夫致信東正教最高會(huì)議，信中寫道：“我最誠(chéng)摯地請(qǐng)求革除我的教籍．我所寫的《概率演算》一書中的一些言論可以作為開除我的理由，因?yàn)檫@些言論已經(jīng)充分表明我對(duì)成為猶太教和基督教教義基礎(chǔ)的那些傳說所持的否定態(tài)度．”教會(huì)一面在報(bào)紙上對(duì)他組織圍攻，一面派人來勸說他改變初衷，但是馬爾科夫聲稱“只與來人談數(shù)學(xué)”，最后教會(huì)只好開除了他的教籍． 1902年 2月，科學(xué)院文學(xué)部聯(lián)席會(huì)議通過了接納М．高爾基(Гop-ьKий)為名譽(yù)院士的決議，但是很快引來了沙皇?。峁爬?H-иKoлaй Ⅱ)的粗暴干涉，受到壓力的科學(xué)院院務(wù)委員會(huì)只好又發(fā)布了一個(gè)取消高爾基當(dāng)選資格的文告．馬爾科夫同В．Г．科羅連科(KopoлeHKO)、А．П．契訶夫(ЧeXOB)等人一道參加了抗議活動(dòng)．4月6日，他向院務(wù)委員會(huì)遞交了抗議聲明．在公開宣讀這一聲明的要求被拒絕之后，他又于兩天后向院長(zhǎng)遞交了辭去院士稱號(hào)的報(bào)告．直到1905年，他還不忘上書院務(wù)委員會(huì)，提請(qǐng)其撤銷1902年的錯(cuò)誤文告． 1905年的民主革命失敗以后，馬爾科夫抵制了代表沙皇利益的第三屆國(guó)家杜馬的選舉．他在給科學(xué)院的聲明中說：“第三屆國(guó)家杜馬的建立完全違背了憲法，因而它根本不是一個(gè)代表人民意愿的議會(huì)，而只是一個(gè)非法的團(tuán)體，因此我堅(jiān)決請(qǐng)求院務(wù)委員會(huì)不要把我的名字列入選民的名單之中．”針對(duì)國(guó)民教育部1908年關(guān)于重申取消大學(xué)自治的通告，馬爾科夫給教育大臣寫信表示：“我最堅(jiān)決地拒絕在彼得堡大學(xué)充當(dāng)沙皇政府走卒的角色，但我將保留自己開設(shè)概率論講座的權(quán)力．” 1913年，沙皇政府為了轉(zhuǎn)移國(guó)內(nèi)日益高漲的革命情緒并準(zhǔn)備帝國(guó)主義戰(zhàn)爭(zhēng)，決定以1613年全俄貴族會(huì)議選舉M．Φ羅曼諾夫(PoMaHoB)為沙皇這一歷史事件為標(biāo)志舉行羅曼諾夫王朝建立三百周年的慶典．與此針鋒相對(duì)，馬爾科夫以雅格布·伯努利(Bernoulli Jakob)的《猜度術(shù)》(Ars Conjectandi，1713)的出版為標(biāo)志，在科學(xué)界發(fā)起了慶祝大數(shù)定律發(fā)現(xiàn)二百周年的慶?；顒?dòng)． 馬爾科夫去世后，他的遺體被安葬在彼得格勒的米特羅方耶夫斯基公墓．他的墓碑如同他的文章與講課風(fēng)格一樣樸素?zé)o華．他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)和他為了科學(xué)與民主而奮斗的一生是值得后人景仰的． 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