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拉馬努金 陳一心 (湖南科學(xué)技術(shù)出版社) 拉馬努金，S．A．(Ramanujan，Srinivasa Aaiyangar)1887年12月12日生于印度馬德拉斯省坦焦?fàn)柕貐^(qū)貢伯戈訥姆(Kumbakonam，Tanjore district，Madras province)附近的埃羅得(Erode)；1920年4月26日卒于印度馬德拉斯(Madras)附近的切特普特(Chetput)．?dāng)?shù)學(xué)． 拉馬努金出生于印度的一個(gè)貧窮的信奉婆羅門教的家庭，他是長(zhǎng)子，還有兩個(gè)弟弟．他的父親是一家布店的小職員，收入微薄．全家老小共7口人，就靠他每月20盧比的薪水生活．拉馬努金5歲開始上學(xué)，讀了兩年小學(xué)后，便升入貢伯戈訥姆的中學(xué)念書．1897年，即他10歲時(shí)，在初級(jí)考試中名列全坦焦?fàn)柕貐^(qū)第一名．他喜歡動(dòng)腦筋想問題．有一次，他的老師講課講到零的性質(zhì)：“零被任何數(shù)除，其得數(shù)均為零．”拉馬努金覺得有些疑惑，便站起來問老師：“零被零除是不是也得零？”這時(shí)，數(shù)學(xué)的奇妙性質(zhì)已引起了他的注意． 12歲時(shí)，高班的同學(xué)借給他一本朗內(nèi)(Loney)寫的《三角學(xué)》(Trigonometry)，他在短時(shí)間里自學(xué)完全書，并解答出書中所有的問題，還獨(dú)立推導(dǎo)出重要的數(shù)學(xué)公式 eix=cosx+isinx． 1903年，他通過中學(xué)第一次分配考試，進(jìn)入貢伯戈訥姆公立學(xué)院學(xué)習(xí)．在學(xué)院圖書館，他借到卡爾(Carr)的《純粹數(shù)學(xué)概要》(Synopsis of pure mathematics)．這是一本英文版教材，書中陳述了6000多個(gè)公式，但幾乎都沒有證明．從1903年到1907年，拉馬努金仔細(xì)研讀這本書，證明并推廣了書中的結(jié)果．1904年，他因數(shù)學(xué)等課程學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)異獲得學(xué)院的獎(jiǎng)學(xué)金，學(xué)年終，因英語等科成績(jī)不佳而失掉獎(jiǎng)學(xué)金．最后，又因文科考試成績(jī)太差未能升級(jí)，被迫中途輟學(xué)．他在馬德拉斯的一所學(xué)院學(xué)習(xí)了短暫的一段時(shí)間，其后又返回貢伯戈訥姆公立學(xué)院，但因偏科又未能畢業(yè)． 自1907年到1911年，他一直沒有固定的職業(yè)，但生活的不安定并不能使他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣稍減．這段時(shí)期，他研究了幻方、連分?jǐn)?shù)、超幾何級(jí)數(shù)、素?cái)?shù)和合成數(shù)、橢圓積分等．他把研究得出的結(jié)論記錄在筆記本上．幾年下來，筆記本記了足足三大本．這些數(shù)學(xué)結(jié)論都沒有給出證明過程． 1909年，拉馬努金結(jié)婚，妻子詹基·安馬(Janki Amma)當(dāng)時(shí)才9歲．成家以后，必須出外謀生．1910年，他打聽到蒂魯戈伊盧爾(Tirukoyilur)一個(gè)小鎮(zhèn)的鎮(zhèn)長(zhǎng)R．艾亞爾(Aiyar)是一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者，不久前還創(chuàng)立了印度數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)．拉馬努金帶著自己的研究成果去找他，要求能有一份糊口的小差使．艾亞爾要S．阿亞(Aayar)幫助辦理．阿亞曾是拉馬努金的老師．在他那里，拉馬努金找到一份代理公務(wù)員的工作．干了幾個(gè)月，他又被介紹給R．拉奧(Rao)．拉奧是馬德拉斯以北150公里的內(nèi)洛爾地方的征收員，對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣，也是印度數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的創(chuàng)建人之一．拉馬努金翻開揉破了的筆記本，向他解說自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)．拉奧十分憐惜這個(gè)年輕人的才能，并認(rèn)為讓他干辦事員的工作不能解除他的麻煩．他要拉馬努金回到馬德拉斯去，并愿意按時(shí)給他一些錢，維持他一段時(shí)期的生活，同時(shí)向有關(guān)方面為拉馬努金爭(zhēng)取研究津貼，以使他能安心從事研究． 一天，拉馬努金碰到一位老朋友．談到他的研究工作時(shí)，這位老朋友對(duì)他說：“人們稱贊你有數(shù)學(xué)的天才！”拉馬努金聽了笑道：“天才？！請(qǐng)你看看我的肘吧！”只見他肘上的皮膚又黑又厚．他解釋他日夜在石板上計(jì)算，用破布來擦石板上的字太花時(shí)間，于是每幾分鐘就用肘直接擦石板上的字．朋友問他既然要作這么多計(jì)算為何不用紙來寫？拉馬努金說他連吃飯都成問題，哪里有錢去買這么多的紙． 原來，研究津貼沒能申請(qǐng)到手，拉馬努金又不愿意成為別人經(jīng)濟(jì)上的包袱，已有一個(gè)月沒到拉奧那里去拿錢了．幸好經(jīng)拉奧及其他人介紹，他于1912年在馬德拉斯港務(wù)局找到一份工作，月薪為每月25盧比．在海港，他經(jīng)常拾一些包裝紙來做草稿，有時(shí)利用工間休息在辦公室里做計(jì)算．由于心不在焉，他曾幾次把算稿夾在工作文件中一起送交上級(jí)，惹出一些麻煩．這段時(shí)期，拉馬努金在數(shù)學(xué)上已初露頭角，在《印度數(shù)學(xué)會(huì)雜志》(Journal of the IndianMathematical Society)上發(fā)表了他的第一篇論文“伯努利數(shù)的一些性質(zhì)”(Some properties of Bernoulli’s numbers)，稍后，又發(fā)表了一批關(guān)于級(jí)數(shù)、無窮積、π的幾何近似構(gòu)造的文章． 在一些朋友的鼓動(dòng)下，拉馬努金于1913年1月16日給英國(guó)劍橋大學(xué)的著名數(shù)學(xué)家G．H．哈代(Hardy)寫了一封信，信中談到他對(duì)素?cái)?shù)分布的研究，并附上他在各個(gè)數(shù)學(xué)分支中發(fā)現(xiàn)的120個(gè)定理和公式．這些定理和公式都沒有給出證明過程．哈代認(rèn)真審查了這些結(jié)論，認(rèn)為拉馬努金是一個(gè)人才，便及時(shí)給他回了信，邀他來劍橋一起作研究．作為虔誠(chéng)的婆羅門教徒，拉馬努金對(duì)離開印度有所顧慮．于是，由馬德拉斯大學(xué)為他安排了兩年的獎(jiǎng)學(xué)金，以供他從事數(shù)學(xué)研究． 哈代頗覺失望，但仍繼續(xù)為此尋找機(jī)會(huì)．正好他的一個(gè)同事E．H．內(nèi)維爾(Neville)在馬德拉斯講學(xué)，哈代委托他勸說這個(gè)年輕人，最后終于成功了．1914年，拉馬努金從印度來到三一學(xué)院，得到劍橋大學(xué)給予的很優(yōu)厚的獎(jiǎng)學(xué)金．哈代和J．E．李特爾伍德(Littlewood)為他安排了一定的進(jìn)修課程，以彌補(bǔ)他在基礎(chǔ)知識(shí)上的不足．在哈代和李特爾伍德的幫助下，他的研究工作進(jìn)展迅速．在歐洲的5年里，他在英國(guó)、法國(guó)、德國(guó)的數(shù)學(xué)雜志上共發(fā)表了21篇論文(其中有幾篇是與哈代合作的)，此外，在《印度數(shù)學(xué)會(huì)雜志》還發(fā)表了多篇論文、注記等．由于研究成果卓著，拉馬努金于1918年被推選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員及三一學(xué)院的研究員．這些榮譽(yù)可說是一個(gè)數(shù)學(xué)家渴望的最高榮譽(yù)，而拉馬努金在30歲左右就都得到了，這是值得自豪的一方面．但是另一方面，由于他過度勞累，對(duì)身體也造成了一定的危害．又由于他是虔誠(chéng)的婆羅門教徒，絕對(duì)奉行素食主義，在英國(guó)的這段時(shí)期，他總是自己煮食，且常常因研究而忘記吃飯．這就使得他的身體越來越虛弱，后來經(jīng)常感到身上有無名的疼痛，最后才發(fā)現(xiàn)患了重病，可能是肺結(jié)核，這時(shí)是1917年． 拉馬努金在英國(guó)的最后一年幾乎全是在療養(yǎng)院度過的，但他仍全力以赴地從事數(shù)學(xué)研究．也許英國(guó)寒冷的氣候?qū)Ψ尾〔焕?，如果回到印度可能?huì)恢復(fù)健康．于是他決定回國(guó)．但由于第一次世界大戰(zhàn)的影響，他一直難以成行，直到1919年4月才回到印度．馬德拉斯大學(xué)為他安排了5年期每年250英鎊的研究津貼，同時(shí)擬提拔他為教授． 1920年4月26日，拉馬努金病逝于馬德拉斯，年僅33歲．他一生清貧，死后僅留下兩張照片，以及一個(gè)熱敷用的熱水袋和一些書籍文稿．特別值得一提的是他對(duì)無數(shù)貧困孩子所寄予的深切同情和關(guān)心．他在英國(guó)病重時(shí)，曾由哈代寫下他口述給馬德拉斯大學(xué)的回信，對(duì)該大學(xué)給予的獎(jiǎng)金作出如下的安排： “除了一部分錢給我家人外，剩余的請(qǐng)用在教育方面，如減少窮人孩子或孤兒的學(xué)費(fèi)，免費(fèi)供給他們課本．……” 生命不息，戰(zhàn)斗不止，拉馬努金在臨終前，仍以頑強(qiáng)的毅力進(jìn)行數(shù)學(xué)研究．于是，在馬德拉斯的病榻上產(chǎn)生了他的第四本筆記本．該筆記本被稱為“遺失的筆記本”，因?yàn)樵谒篮笠恢辈恢侣溥_(dá)50多年．直到1976年，美國(guó)賓夕法尼亞大學(xué)教授G．安德魯斯(Andrews)訪問劍橋大學(xué)三一學(xué)院時(shí)，在該校的圖書館中發(fā)現(xiàn)．這本筆記本中包含著600余條公式，但都沒給出證明過程． 他的前三個(gè)筆記本已于1967年出版，“遺失的筆記本”也由印度總理于1987年12月22日批準(zhǔn)公諸于世．他的合集已由劍橋大學(xué)出版社出版．作為對(duì)他的紀(jì)念，馬德拉斯大學(xué)建立的一個(gè)高等數(shù)學(xué)研究所，就以他的名字命名． 綜觀拉馬努金的數(shù)學(xué)工作，大致可以分為三個(gè)時(shí)期．第一個(gè)時(shí)期為1907—1911年，即他尚無固定職業(yè)的那段時(shí)期；第二個(gè)時(shí)期為1914—1918年，即他在英國(guó)劍橋大學(xué)的時(shí)期；第三個(gè)時(shí)期為1919—1920年，即他病逝前一年．他在第一個(gè)時(shí)期的工作主要記錄在他的前三個(gè)筆記本中．其中大部分內(nèi)容包含著對(duì)無窮級(jí)數(shù)、定積分、伯努利數(shù)和γ函數(shù)等許多經(jīng)典結(jié)果的重新發(fā)現(xiàn)，這樣說是合情合理的．首先，一個(gè)定理或公式，在不同的時(shí)間不同的地點(diǎn)由不同的人獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)或證明，這在數(shù)學(xué)史上是屢見不鮮的．其次，拉馬努金受到好幾年高等教育，鉆研了高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)．卡爾的《純粹數(shù)學(xué)概要》等書，雖然只羅列了一大堆公式，沒有給出證明過程，十分枯燥無味，但對(duì)拉馬努金來說，卻啟示了研究的路標(biāo)．他是生活在一種貧窮落后的環(huán)境里的學(xué)者，無法得到系統(tǒng)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練或接觸較完備的圖書資料，只是靠著他的敏銳的觀察力和直覺力、強(qiáng)勁的思維力和記憶力，以及勤奮刻苦的精神，這才使得他能夠做出上述那些重新發(fā)現(xiàn)．他后來所做的許多研究，也能夠在前三個(gè)筆記本中發(fā)現(xiàn)它們的痕跡．于是，在拉馬努金這里，可以看到一些不太正常的現(xiàn)象，這都是由于他的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論不夠扎實(shí)而造成的．例如，他以模方程和復(fù)數(shù)乘法定理作為研究工具，卻沒有雙周期函數(shù)的概念；他研究解析數(shù)論，而他的復(fù)變函數(shù)概念卻很模糊．引用哈代的話說：“他的構(gòu)成數(shù)學(xué)證明的概念只是一些最模糊的描述．他的全部結(jié)果，新的或老的，對(duì)的或錯(cuò)的，都是靠論證、直覺及歸納的混合處理而達(dá)到的，其中，他全都未能給出任何首尾一致的論據(jù)．”但是，數(shù)學(xué)是一門邏輯性極強(qiáng)、論證要求極嚴(yán)密的科學(xué)，拉馬努金的這種特定的風(fēng)格自然對(duì)他的研究會(huì)帶來一些不良影響．例如，他對(duì)素?cái)?shù)分布的研究尤其因這種弱點(diǎn)而蒙受損害．因此，從上述這種角度來看，他的工作對(duì)一般數(shù)學(xué)理論的發(fā)展貢獻(xiàn)甚微． 對(duì)后來數(shù)學(xué)家的工作影響較大的是他在后兩個(gè)時(shí)期的研究．其主要研究成果是在堆壘數(shù)論(特別是整數(shù)分拆理論)、橢圓函數(shù)、超幾何函數(shù)、模函數(shù)、發(fā)散級(jí)數(shù)等方面．當(dāng)然，如前所述，這其中有許多工作也能夠在他第一個(gè)時(shí)期的筆記本中找到根基．他在歐洲發(fā)表的第一篇論文“模方程和π的近似”(Modular equations andapproximations to π)，給出了π的許多特殊的很好的近似，其中大部分是利用平方根式表出的．他的長(zhǎng)篇學(xué)術(shù)論文“高合成數(shù)”(Highly composite numbers)影響較大，文中論證了高合成數(shù)的一些重要性質(zhì)．在與哈代合寫的一篇論文“整數(shù)n的素因子的范數(shù)”(The normal number of prime factors of a number n)中，拉馬努金研究了一個(gè)整數(shù)的素因子的平均數(shù)問題． 關(guān)于整數(shù)的分拆理論是拉馬努金貢獻(xiàn)最大的一個(gè)領(lǐng)域．他在這方面的成果對(duì)后來數(shù)學(xué)家工作的影響比較其他方面也是最大的．他與哈代在1918年合寫的論文“組合分析的漸近公式”(Asy-mptotic formulae in combinatory analysis)，證明了估計(jì)式 A，B為某兩個(gè)正常數(shù)．并首先提出圓法，用它證明了漸近公式 式 拉馬努金關(guān)于整數(shù)n的分拆函數(shù)P(n)的同余式的研究也相當(dāng)出名．1919年，他仔細(xì)研究了由P．A．麥克馬洪(MacMahon)編造的P(n)(n≤200)的數(shù)值表，發(fā)現(xiàn)這些整數(shù)與某些小素?cái)?shù)及其冪同余．他還利用橢圓函數(shù)理論，證明了一些結(jié)果，得到了P(5n+4)≡0(mod5)，P(7n＋5)≡0(mod7)，P(11n＋6)≡0(mod11)，P(25n+24)≡0(mod25)等，并提出一個(gè)猜想： 若24λ≡1(mod5a7b11c)， 則 P(5a7b11cn+λ)≡0(mod5a7b11c)． (1) 20世紀(jì)30年代，S．喬拉(Chowla)從H．古普塔(Gupta)編制的擴(kuò)大的P(n)值表中發(fā)現(xiàn)： 雖然 24·243≡1(mod73)， 但是 P(243)=1339782593448880 (mod7 3)． 1938年，G．N．沃森(Watson)證實(shí)了拉馬努金猜想(1)的修正命題對(duì)所有5和7的冪是正確的，1967年，A．O．L．阿特金(Atkin)證明了： 若 24λ≡1(mod5a7b11c)， 則 P(5a7b11c+λ)≡0(mod5a7[(b+2)/2]11c)． 由上述可見，拉馬努金猜想(1)拓寬了整數(shù)分拆理論研究的領(lǐng)域，激勵(lì)了許多數(shù)學(xué)家的研究工作． 拉馬努金還發(fā)現(xiàn)并證明了許多與P(n)的同余性有關(guān)的恒等式，例如 這個(gè)恒等式被認(rèn)為是拉馬努金成果的最好代表之一． |
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