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萊布尼茨 數(shù) 學(xué) 微積分 1666年，萊布尼茨寫成“論組合術(shù)”(De ArtCombinatoria)一文，討論了平方數(shù)序列 0，1，4，9 16，… 的性質(zhì)，例如它的第一階差為 1，3，5，7，…， 第二階差則恒等于 2，2，2，… 等．他注意到，自然數(shù)列的第二階差消失，平方序列的第三階差消失，等等．同時(shí)他還發(fā)現(xiàn)，如果原來的序列是從0開始的，那么第一階差之和就是序列的最后一項(xiàng)，如在平方序列中，前5項(xiàng)的第一階差之和為 1＋3＋5 +7=16，即序列的第5項(xiàng)．他用X表示序列中項(xiàng)的次序，用Y表示這一項(xiàng)的值．這些討論為他后來創(chuàng)立微積分奠定了初步思想，可以看作是他微積分思想的萌芽．“論組合術(shù)”是他的第一篇數(shù)學(xué)論文，使他躋身于組合數(shù)學(xué)研究者之列． 1672年，惠更斯給萊布尼茨出了一道他自己正同別人競賽的題目：求三角級(jí)數(shù)(1，3，6，10，…)倒數(shù)的級(jí)數(shù)之和 萊布尼茨圓滿地解決了這一問題，他是這樣計(jì)算的： 初次成功激發(fā)了他進(jìn)一步深入鉆研數(shù)學(xué)的興趣．通過惠更斯，他了解到B．卡瓦列里(Cavalieri)、I．巴羅(Barrow)、B．帕斯卡(Pascal)、J．沃利斯(Wallis)的工作．于是，他開始研究求曲線的切線以及求平面曲線所圍圖形的面積、立體圖形體積等問題．1674年，他學(xué)習(xí)R．笛卡兒(Descartes)幾何學(xué)，同時(shí)對(duì)代數(shù)性發(fā)生了興趣．這一時(shí)期，他檢索了已有的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)． 對(duì)于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界密切關(guān)注的切線問題和求積問題，萊布尼茨在前人的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)普遍方法．這個(gè)方法的核心是特征三角形(characteristic triangle)．在帕斯卡、巴羅等人討論過的特征三角形的基礎(chǔ)上，他建立了由dx，dy和PQ(弦)組成的特征三角形．其中dx，dy的意義是這樣的：在他1666年“論組合術(shù)”中所考慮的序列中，用dx表示相鄰的序數(shù)之差，dy表示兩個(gè)相鄰項(xiàng)值之差，然后在數(shù)列項(xiàng)的順序中插入若干dx，dy，于是過渡到了任意函數(shù)的dx，dy．特征三角形的兩條邊就是任意函數(shù)的dx，dy；而PQ 則是“P和 Q之間的曲線，而且是T點(diǎn)的切線的一部分”．如圖1，T是曲線y=f(x)上的一點(diǎn)，dx，dy分別是橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的差值． 利用這個(gè)特征三角形，他很快就意識(shí)到兩個(gè)問題： (1)曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值(當(dāng)這些差值變成無窮小時(shí))之比．通過考慮圖1中△PQR和△STU，發(fā)現(xiàn)△PQR∽△STU，從而有dy/dx=Tu/Su．也就是說，曲線y上過T點(diǎn)的切線的斜率是dy/dx． (2)求積(面積)依賴于橫坐標(biāo)的無限小區(qū)間的縱坐標(biāo)之和或無限窄矩形之和． 有了這些思想，他很快就推導(dǎo)出了一大批新結(jié)論．用他自己的話說就是，從特征三角形出發(fā)，“毫不費(fèi)力，我確立了無數(shù)的定理”． 根據(jù)萊布尼茨留下的遺稿可以判定，他是在1673年建立起特征三角形思想的．他將圖1中特征三角形的斜邊PQ用“dS”表示，這樣特征三角形又稱為微分三角形(differential triangle)如圖2，其中 ds2=dx2+dy2． 利用特征三角形，萊布尼茨早在1673年就通過積分變換，得到了平面曲線的面積公式 這一公式是從幾何圖形中推導(dǎo)出來的，經(jīng)常被他用來求面積． 1673—1674年，他給出了求一條曲線y=y(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的表面積A的公式 同時(shí)，他還給出了曲線長度公式 在求面積問題方面，萊布尼茨深受卡瓦列里“線由無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，面由無窮多條線構(gòu)成”思想的影響，認(rèn)為曲線下的面積是無窮多的小矩形之和．1675年10月29日，他用“∫”代替了以前的和符號(hào)“Omn”(“∫”是Sum 和)的第一個(gè)字母“s”的拉長)，用∫ydx表示面積，在這份手稿中，他還從求積出發(fā)，得到了分部積分公式 1676年11月，他得出了公式 其中n是整數(shù)或分?jǐn)?shù)(n≠-1)． 萊布尼茨的積分方面的工作是與微分方面的工作交叉進(jìn)行的． 由于研究巴羅的著作，以及引入特征三角形，萊布尼茨越來越強(qiáng)烈地意識(shí)到，微分(主要是導(dǎo)數(shù)、求切線)與積分(求和)必定是相反的過程．在1675年10月29日的手稿中，他就注意到，面積被微分時(shí)必定給出長度，因此他開始探討“∫”的運(yùn)算(積分)和“d”的運(yùn)算(微分)之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到要從y回到dy，必須做出y的微差或者取y的微分．經(jīng)過這種不充分的討論，他斷定一個(gè)事實(shí)：作為求和的過程的積分是微分的逆．這樣，萊布尼茨就第一次表達(dá)出了求和(積分)與微分之間的關(guān)系． 萊布尼茨于1675—1676年給出了微積分基本定理(后來又稱為牛頓-萊布尼茨公式) (A為曲線f下的圖形的面積，圖3．) 于1693年給出了這個(gè)定理的證明．以前，微分和積分作為兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算、兩類數(shù)學(xué)問題，是分別地加以研究的．卡瓦列里、巴羅、沃利斯等許多人得到了一系列求面積(積分)、求切線斜率(導(dǎo)數(shù))的重要結(jié)果，但這些結(jié)果是孤立、不連貫的．雖然他們已開始考慮微分和積分之間的關(guān)系，然而只有萊布尼茨和牛頓(各自獨(dú)立地)將微分和積分真正溝通起來，明確地找到了兩者的內(nèi)在的直接聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運(yùn)算．而這正是建立微積分學(xué)的關(guān)鍵所在．只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學(xué)．并從對(duì)各種函數(shù)的微分和求積公式中，總結(jié)出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號(hào)表示的微積分運(yùn)算法則． 萊布尼茨于1684年10月發(fā)表在《教師學(xué)報(bào)》(Acta erudito-rum)上的論文，題目是“一種求極大值與極小值和求切線的新方法，它也適用于無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算”(Nova Methodus pro Maximis et Minimis，itemque tangentibus，quae necfractas，necirrationales quantitates moratur，et singularepro illis Calculi genus)，在數(shù)學(xué)史上被公認(rèn)為是最早發(fā)表的微積分文獻(xiàn)． 早在1677年7月11日前后及11月左右，萊布尼茨明確定義了dy為函數(shù)微分，給出了dy的演算規(guī)則： “如果a是給定的常數(shù)，則da=0，dax=adx； 加法和減法 v=z—y＋w＋x，dv=dz-dy+dw＋dx； 乘法 y=vx，dy=vdx+xdv 在1676—1677年的手稿中，他利用特征三角形分析了曲線切線的變化情況：對(duì)于曲線v=v(x)，當(dāng)dv與dx之比為無窮大時(shí)，切線垂直于坐標(biāo)軸(x軸)．當(dāng)dv與dx之比等于0時(shí)，切線平行于x軸，當(dāng)dv=dx≠0時(shí)，則切線與坐標(biāo)軸成45°角，他指出，對(duì)于曲線v，當(dāng)dv=0時(shí)，“在這個(gè)位置的v，明顯地就是極大值(或極小值)”，他詳細(xì)討論了當(dāng)dv＜0，而變成dv=0后又dv＜0時(shí)取極大值，反之則取極小值的情形．他還給出了拐點(diǎn)——曲線的凹凸情況發(fā)生變法的條件是d2v=0． 以后，萊布尼茨具體求出了各種各樣復(fù)雜函數(shù)的微商(導(dǎo)數(shù))．1686年，給出了對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的微商．1695年求出了y=xx的微商dy=xx(1+lnx)，等等． 他引入了n階微分的符號(hào)dn，并且給出了高階微分的“萊布尼茨法則”： 其中 n！=1×2×3×…×(n-1)×n． 萊布尼茨在積分方面的成就，后來比較集中地寫在1686年5月發(fā)表在《教師學(xué)報(bào)》上的一篇論文中，題為“潛在的幾何與不可分量和無限的分析”(De Geometria recondita et Analysi Indivisi-bilium atque Infinitorum)． 品中出現(xiàn)了積分符號(hào)．同年，他引入了空間曲線的“密切”(osculating)這一術(shù)語，并給出了曲率ρ公式： 其中R為曲率半徑． 1692年和1694年，他給出了求一族曲線 f(x，y，α)=0(α為曲線族參數(shù))包絡(luò)的普遍方法：在 中消去α．實(shí)際上，用微積分方法研究幾何在微積分奠基者(牛頓、萊布尼茨等)那里已經(jīng)開始了．切線、包絡(luò)等幾何問題在萊布尼茨手中是與微積分連在一起的． 無窮級(jí)數(shù) 在微積分的早期研究中，有些函數(shù)如指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)的處理相當(dāng)困難，然而人們發(fā)現(xiàn)，若用它們的級(jí)數(shù)來處理，則非常有成效．因此，無窮級(jí)數(shù)從一開始就是萊布尼茨、牛頓等人微積分工作的一個(gè)重要部分．有時(shí)使用無窮級(jí)數(shù)是為了計(jì)算一些特殊的量，如萊布尼茨曾用無窮級(jí)數(shù)表達(dá)式計(jì)算π(圓周率)． 在求面積的過程中，通過無窮級(jí)數(shù)表示圓在第一象限的面積，他得到了π的一個(gè)十分漂亮的表達(dá)式(圖4)： 1673年左右，他獨(dú)立地得到了sinx，cosx和arctgx等函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)展開式．還得到了圓面積和雙曲線面積的具體展開式，并且將這些展開式與反正切、余割、正弦函數(shù)、自然對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來了．他經(jīng)常利用級(jí)數(shù)展開式研究超越函數(shù)．有時(shí)還將多項(xiàng)式定理用于分式函數(shù)或超越函數(shù)的展開式． 無窮級(jí)數(shù)展開式，得到了如下的式子： 誤的．直到1734—1735年，L．歐拉(Euler)才得到 在1713年10月25日寫給約翰·伯努利(John Bernoulli)的信中，萊布 “萊布尼茨判別法”，但他當(dāng)時(shí)的證明卻錯(cuò)了．在考慮級(jí)數(shù) 還相當(dāng)混亂． 微分方程 微分方程在微積分創(chuàng)立之初就為人們所關(guān)注．1693年，萊布尼茨稱微分方程為特征三角形的邊(dx，dy)的函數(shù)．在微分方程方面，他進(jìn)行了一系列工作．其中有些工作是十分獨(dú)特的． 1691年，他提出了常微分方程的分離變量法，解決了形如 型方程的求解問題．方法是，先寫成 然后兩邊積分． 這一年，他還提出了求解一次齊次方程 的方法： 因此經(jīng)過這種變換，原來的一次齊次方程就變成了 1694年，他證明了把一階線性常微分方程y′＋P(x)y=Q(x)化成積分方程的正確方法，他的方法使用了因變量替換．同時(shí)，他還給出了(y′)2+p(x)y′＋q(x)=0的解法．1694年，他和約翰·伯努利引進(jìn)了找等交曲線或曲線族的問題，并求出了一些特殊問題的解． 1696年，他證明了，利用變量替換z=y1-n，可以將伯努利方程 變換x=P11u+P12v，y=P21u+P22v可以將微分方程 a00＋a10x＋(a01＋a11x)y′=0 進(jìn)行簡化． 通過求解微分方程，萊布尼茨解決了許多具體問題．例如，1686年，他解決了這樣的問題：求一條曲線，使得一個(gè)擺沿著它作一次完全振動(dòng)，都用相等的時(shí)間，而無論擺所經(jīng)歷的弧長怎樣(即等時(shí)問題)．他指出， 證明，并認(rèn)識(shí)到了圓函數(shù)、三角函數(shù)的超越性，弄清了許多超越函數(shù)的基本性質(zhì)．此外，他還考慮過概率方程．這一時(shí)期，他還求出了十分重要的曳物線方程： 1691年，他給出了自達(dá)·芬奇(L．Da Vinci)時(shí)代就考慮過的懸鏈線(catenary，這個(gè)名稱是萊布尼茨給出的)方程為 1696年，約翰·伯努利提出了著名的最速降線問題： 求從一給定點(diǎn)到不是在它垂直下方的另一點(diǎn)的一條曲線，使得一質(zhì)點(diǎn)沿這條曲線從給定點(diǎn)P1下滑所用的時(shí)間最短(圖5)；其中摩擦和空氣阻力都忽略． 這是約翰·伯努利向全歐洲數(shù)學(xué)家發(fā)出的挑戰(zhàn)．1697年，萊布尼茨和I．牛頓(Newton)、G．F．A．洛比達(dá)(L’Hospital)、約翰·伯努利分別解決了最速降線問題，指出這是由方程 表示的上凹的旋輪線，并由此開始了變分法的研究． 數(shù)學(xué)符號(hào)、代數(shù) 萊布尼茨在微積分方面的貢獻(xiàn)突出地表現(xiàn)在他發(fā)明了一套適用的符號(hào)系統(tǒng)．1675年引入dx表示x的微分，“∫”表示積分，ddv，dddy表示二階、三階微分．1695年左右用dmn表示m階微分．他比別人更早更明確地認(rèn)識(shí)到，好的符號(hào)能大大節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一．他自覺地和格外慎重地引入每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，常常對(duì)各種符號(hào)進(jìn)行長期的比較研究，然后再選擇他認(rèn)為最好的、富有啟示性的符號(hào)．他創(chuàng)設(shè)的符號(hào)還有 此外還有對(duì)數(shù)符號(hào)、函數(shù)符號(hào)、行列式符號(hào)等等．很多符號(hào)的普遍使用與他的提倡和影響密切相關(guān)．他還引入了“函數(shù)”(function)、“常量”(constant quantity)、變量”(variate)、“參變量”(para-meter)等術(shù)語． 在代數(shù)學(xué)方面，萊布尼茨不僅強(qiáng)調(diào)引入符號(hào)的重要性，而且還討論了負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的性質(zhì)，認(rèn)為復(fù)數(shù)的出現(xiàn)是無害的，斷言復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)是不存在的，為此曾在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場關(guān)于負(fù)數(shù)、虛數(shù)的對(duì)數(shù)之爭論．在研究復(fù)數(shù)時(shí)，他還得出過這樣的結(jié)論：共軛復(fù)數(shù)的和是實(shí)數(shù) 用一般的復(fù)數(shù)表示．他把虛數(shù)看作是存在(being)與非存在(not-being)的中介． 在1678年以前，萊布尼茨就開始了對(duì)線性方程組、行列式的研究，對(duì)消元法從理論上進(jìn)行了探討．在1693年4月28日致洛比達(dá)的信中他提出了行列式概念：“我引進(jìn)方程： 此處，在兩個(gè)數(shù)碼中，前者表示此數(shù)所屬的方程式，后者代表此數(shù)所屬的字母(未知數(shù))．”這樣，他創(chuàng)設(shè)了采用兩個(gè)數(shù)碼的系數(shù)記號(hào)，相當(dāng)于現(xiàn)在的aik，為矩陣和行列式一般理論的發(fā)展提供了方便的工具． 二進(jìn)位制 萊布尼茨發(fā)明二進(jìn)位制的時(shí)間，大約是在1672—1676年的巴黎時(shí)期．1679年3月15日，萊布尼茨寫了題為“二進(jìn)位算術(shù)”(De I’arthmetique binaire)的論文．文中對(duì)二進(jìn)位制進(jìn)行了相當(dāng)充分的討論，與十進(jìn)位制進(jìn)行了比較： 給出了將二進(jìn)位數(shù)改寫成十進(jìn)位制數(shù)的法則： 1011000(二進(jìn)位制)寫成十進(jìn)位制數(shù)就是 26+0+24+23＋0＋0＋0 =64＋16＋8 =88． 下面就是1679年3月15日手稿的一頁(見183頁)． 萊布尼茨不僅完整地解決了二進(jìn)位制的表示問題，而且給出了正確的二進(jìn)位制加法與乘法規(guī)則．例如，他給出以下這類實(shí)例： 1695年5月萊布尼茨與魯?shù)婪颉W古斯特(Rudolphus Au-gustus)大公的一次談話中，大公對(duì)他的二進(jìn)位制非常感興趣，認(rèn)為一切數(shù)都可由0與1創(chuàng)造出來這一點(diǎn)，為基督教《圣經(jīng)》所講的創(chuàng)世記提供了依據(jù)．這是因?yàn)槲ㄒ煌昝赖纳系凼菑臒o到有創(chuàng)造了世界，這與一切數(shù)的根源來自0與1的這種體系是對(duì)應(yīng)的．萊布尼茨由此激起熱情，試圖以大公的這一想法來爭取人們對(duì)他的二進(jìn)位制的關(guān)注．1697年他在致大公的信函中，就將他創(chuàng)造設(shè)計(jì)的象征二進(jìn)位制的紀(jì)念章圖章當(dāng)作新年禮品奉獻(xiàn)給大公．紀(jì)念章正面是大公圖象，背面的設(shè)計(jì)是這樣的(見圖7)：水面上籠罩著一片黑暗，頂部光芒四射——象征創(chuàng)世的故事；中間排列著二進(jìn)位、十進(jìn)位制數(shù)字對(duì)照表，兩側(cè)是加法與乘法的實(shí)例． 萊布尼茨希望能用二進(jìn)位制證明圓周率π的超越性． 1701年，萊布尼茨將自己的二進(jìn)制數(shù)表給了法國在中國的傳教士白晉(F．J．Bouvet)，同時(shí)又將自己關(guān)于二進(jìn)制的論文送交巴黎科學(xué)院，但要求暫不發(fā)表．同年11月白晉把宋代邵雍(1011—1077)的伏羲六十四卦次序和伏羲六十四方位兩個(gè)圖給了萊布尼茨．萊布尼茨對(duì)白晉提供的材料欣慰異常，發(fā)現(xiàn)中國古老的易圖可以解釋成0—63的二進(jìn)制數(shù)表．萊布尼茨因?yàn)閺亩M(jìn)制數(shù)學(xué)理解了六十四卦圖(邵雍的六十四卦方圓圖，圖8)而高興地說：“幾千年來不能很好被理解的奧秘由我理解了，應(yīng)該讓我加入中國籍吧！”1703年，他將修改補(bǔ)充的論文“關(guān)于僅用0與1兩個(gè)記號(hào)的二進(jìn)制算術(shù)的說明，并附其應(yīng)用以及據(jù)此解釋古代中國伏羲圖的探討”(Explication de l’arthmetique binaire，quise sent des seuls caracteres 0 et 1，avec des remarques Surson utilite，et Sur ce quelle donne Le Sens des aneiennes fi-gures Chinoises Fohy，1703)再送巴黎科學(xué)院，要求公開發(fā)表．自此二進(jìn)制公之于眾了． 根據(jù)上述歷史事實(shí)，表明萊布尼茨并不是受易圖的啟發(fā)而發(fā)明二進(jìn)制的，而是他發(fā)現(xiàn)了易圖結(jié)構(gòu)可以用二進(jìn)制數(shù)學(xué)予以解釋．應(yīng)該說，萊布尼茨的二進(jìn)制數(shù)學(xué)能被用來理解古老的中國文化．自他發(fā)現(xiàn)了二者之間的這種關(guān)系后，在世界范圍內(nèi)興起了對(duì)易學(xué)的數(shù)理研究，使人們對(duì)易學(xué)的興趣日增． 萊布尼茨所進(jìn)行的計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)，程序自動(dòng)化、程序設(shè)計(jì)的思想，再加上二進(jìn)制，為計(jì)算機(jī)的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)． 盡管萊布尼茨本人為計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)、二進(jìn)制的發(fā)明感到自豪，但他卻沒有將二進(jìn)制用于計(jì)算機(jī)，沒有使二者結(jié)合起來．在當(dāng)時(shí)條件下，一個(gè)二進(jìn)位制的機(jī)器只會(huì)增加技術(shù)上的困難，只有隨著電子技術(shù)的發(fā)展，人們才能將二者有效地結(jié)合起來．那種認(rèn)為他是為計(jì)算機(jī)而引進(jìn)二進(jìn)位制的說法是違背歷史事實(shí)的． 邏輯學(xué) 萊布尼茨的邏輯學(xué)研究包括兩個(gè)方面：數(shù)理邏輯與形式邏輯． 數(shù)理邏輯 萊布尼茨決心構(gòu)造一門基本學(xué)科，這門學(xué)科在某些方面象數(shù)學(xué)，但也包括傳統(tǒng)邏輯中一些尚未發(fā)展的研究內(nèi)容．他注意到了傳統(tǒng)邏輯與數(shù)學(xué)的共性，發(fā)現(xiàn)邏輯及其詞項(xiàng)、命題和三段論與代數(shù)中的字母、方程式和變換，具有某種形式上的相似，因此他決心把邏輯表示成一種演算，這種演算研究非數(shù)量的抽象關(guān)系或形式關(guān)系，他曾稱之為普遍數(shù)學(xué)．他希望建立一種哲學(xué)語言(lingua philosophica)或普遍語言(characteristica universalis)，這種語言不僅有助于思想交流，而且有利于思想本身．萊布尼茨力圖發(fā)明一種對(duì)概念進(jìn)行演算的理論，使得概念也能象數(shù)一樣進(jìn)行代數(shù)演算． 1679年，萊布尼茨開始進(jìn)行了這方面的研究．他的思想是：每一個(gè)簡單的詞項(xiàng)用一個(gè)素?cái)?shù)表示，每一個(gè)合成詞項(xiàng)用素?cái)?shù)乘積來表示．如用3表示“能思維的”，7表示動(dòng)物，人是能思維的動(dòng)物則可用21表示，寫成21=3.7．一個(gè)全稱肯定命題，如果主項(xiàng)的數(shù)能被謂項(xiàng)的數(shù)整除，則該命題為真． 1686年，萊布尼茨發(fā)展了關(guān)于概念相等和概念包含的理論，其中引入了詞項(xiàng)a，b，c，…，運(yùn)算符號(hào)—(non，表示“非”)．四個(gè)關(guān)系 利用這種演算，他成功地將亞里士多德的四種類型的一般命題，表示成了符號(hào)公式形式，從而使得用符號(hào)表示邏輯命題成為可能．他所考慮的方案和表達(dá)方式是： 萊布尼茨認(rèn)為，有可能構(gòu)造一種符號(hào)系統(tǒng)，這種系統(tǒng)可以作內(nèi)涵的解釋也可以作外延的解釋．1690年他已經(jīng)引入了概念的加、減法，用以表示邏輯概念演算及逆運(yùn)算．他用 表示逆運(yùn)算，例如A—B=C，當(dāng)且僅當(dāng)A=B＋C，且B和C沒有共同的東西． 意義．以此為基礎(chǔ)，他建立了一套全新的理論體系．他的體系要點(diǎn)主要是公式及一套關(guān)于詞項(xiàng)、命題的定義與演算規(guī)則，如A=B的定義：詞項(xiàng)是同一的或一致的，就是說它們能在任何地方，以一個(gè)代之以另外一個(gè)而不改變?nèi)魏蚊}的真值．A=B表示A和B是同一的． 這種體系在邏輯上是從未有過的，直到約一個(gè)世紀(jì)以后才由G．布爾(Boole)重新給出．可惜的是，萊布尼茨沒有發(fā)展和寫出系統(tǒng)的著作，只留下了大批手稿，其中還有許多是斷簡殘篇，但D．希爾伯特(Hilbert)依然說：“數(shù)理邏輯的思想首先是萊布尼茨明顯說出的．”而這種數(shù)理邏輯還僅僅只是萊布尼茨符號(hào)語言的一部分． 萊布尼茨符號(hào)語言的理想是，使一切推理過程、思維過程、爭論過程都像數(shù)學(xué)一樣能夠計(jì)算，甚至能夠交給機(jī)器完成．為此，他做了很多工作． 形式邏輯 萊布尼茨在形式邏輯方面的主要工作是，關(guān)于判斷的分析理論，在此基礎(chǔ)上的復(fù)合概念理論和關(guān)于偶然命題的理論，以及“充足理由律”的提出． 他不相信一切論證都可以納入三段論式，因?yàn)樗私獾綏l件論證和析取論證不能還原為三段論形式．對(duì)于形式證明，他承認(rèn)經(jīng)院哲學(xué)爭論中使用三段論可能墮落為蠢笨迂腐的學(xué)究，但他認(rèn)為不能沒有形式化，否則就會(huì)喪失嚴(yán)格性．但對(duì)亞里士多德的推崇妨礙了他在這方面取得更大的成就． 區(qū)分和研究兩類真理：理性的真理(必然性命題)與事實(shí)的真理(偶然性命題)是萊布尼茨整個(gè)科學(xué)思想體系特別是他的哲學(xué)認(rèn)識(shí)論的核心內(nèi)容．從邏輯方面他又把必然真理分成原始的真理和推理的真理，并且指出：“推理的真理是必然的，它們的反面是不可能的，事實(shí)的真理是偶然的，它們的反面是可能的．”他又認(rèn)為推理是建立在兩大原則上的：(1)矛盾原則，憑著這個(gè)原則，我們判定包含矛盾者為假，與假的相對(duì)立和相矛盾者為真；(2)充足理由原則，憑著這個(gè)原則，任何一件事如果是真實(shí)的或?qū)嵲诘?，任何一個(gè)陳述如果是真的，就必須有一個(gè)為什么這樣而不那樣的充足理由，也許這些理由常常不知道．因此他在邏輯學(xué)中引入了“充足理由律”，使之成為與傳統(tǒng)的同一律、矛盾律、排中律相并列的一條基本思維定律． 物理學(xué)、力學(xué)、光學(xué) 1671年，萊布尼茨寫下了《物理學(xué)新假說》(Hypothesisphysica noua)，其中包括兩個(gè)部分：具體運(yùn)動(dòng)原理(Theoriamotus Concreti)，是奉獻(xiàn)給倫敦英國皇家學(xué)會(huì)的；抽象運(yùn)動(dòng)原理(Theoria motus Abstracti)，是奉獻(xiàn)給巴黎科學(xué)院的．他的具體原理是試圖從較簡單現(xiàn)象的角度來解釋最重要的復(fù)雜現(xiàn)象的一種假說，這種原理建立在以太的相對(duì)循環(huán)的基礎(chǔ)上，以太則是通過圍繞地球的最初組成狀態(tài)的物質(zhì)才起作用的．他認(rèn)為物體的全部內(nèi)聚力依靠構(gòu)成這些物體的微粒的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的起因是以太微粒的碰撞，它是物體的全部特性的終極原因．萊布尼茨的抽象原理來源于他對(duì)連續(xù)體的研究和對(duì)運(yùn)動(dòng)定律的看法，他認(rèn)為物質(zhì)的微粒完全處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，對(duì)一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)不存在阻力，只有當(dāng)微粒構(gòu)成部分的內(nèi)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體才具有阻力或內(nèi)聚力．他認(rèn)為，運(yùn)動(dòng)著的物體，不論多么微小，它將帶著處于完全靜止?fàn)顟B(tài)的物體的部分一起運(yùn)動(dòng)． 他的物理學(xué)研究計(jì)劃是：根據(jù)一個(gè)審慎的計(jì)劃和規(guī)模，進(jìn)行某些實(shí)驗(yàn)，借以在其上建立一個(gè)穩(wěn)定的和論證的物理學(xué)堡壘．他的最終的奮斗目標(biāo)是為物理學(xué)建立一個(gè)類似歐氏幾何的公理系統(tǒng)． 萊布尼茨在物理學(xué)上最重要的工作是對(duì)笛卡兒提出的動(dòng)量守恒原理進(jìn)行了認(rèn)真的探討，提出了能量守恒原理的雛型． 1686年，萊布尼茨在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了反對(duì)笛卡兒關(guān)于力的度量的文章“關(guān)于笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯(cuò)誤的簡短證明”(Breuis demonstratio erroris memorabilis Cartesii et aliorum circa Legem naturae)，提出了運(yùn)動(dòng)的量的問題，從而開始了與笛卡兒學(xué)派關(guān)于運(yùn)動(dòng)度量的長期爭論，并發(fā)展成了力學(xué)中的兩個(gè)派別． 萊布尼茨指出，如果只用動(dòng)量(mv，m為物體質(zhì)量，v為物體運(yùn)動(dòng)速度)度量運(yùn)動(dòng)，那么“力”(mv2)在自然界不斷增加或減少時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致動(dòng)量(mv)不守恒，因此他認(rèn)為動(dòng)量(mv)不能做為運(yùn)動(dòng)的度量單位． 他把力分為“死力”和“活力”，“死力”是靜止物體的“壓力”或“拉力”，這種力是外來的，其度量是物體的質(zhì)量和物體由靜止?fàn)顟B(tài)到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)具有的速度的乘積，即動(dòng)量mv．“活力”(vis viva)是內(nèi)在于物體的力，是物體的真運(yùn)動(dòng)． 在他看來，“活力”應(yīng)該由物體的質(zhì)量和該物體所能上升的高度來測量(mh)，按照伽利略落體定律，萊布尼茨成功地計(jì)算出高度h與速度v的平方成正比，“活力”保持不變m1v21=m2v22．因此，1695年他正式稱mv2為“活力”(vis viva)，并以mv2作為運(yùn)動(dòng)的度量單位，動(dòng)能的概念就這樣被引入到物理學(xué)中來了．這是他在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表的“動(dòng)力學(xué)實(shí)例”(Specimen dynamium)中提出的，這篇論文是萊布尼茨力學(xué)的結(jié)晶，包含了他的大部分研究成果．萊布尼茨第一次認(rèn)為“活力”mv2是物理學(xué)上的終極因，因而可以轉(zhuǎn)化為各種各樣的形式，同時(shí)還第一次認(rèn)為mv2的守恒是一個(gè)普遍的物理原理，這樣他就有充分的理由證明“永動(dòng)機(jī)是不可能”這樣的觀點(diǎn)．究竟應(yīng)該以mv2，還是以mv，作為運(yùn)動(dòng)的量度，經(jīng)過長達(dá)半個(gè)世紀(jì)的爭論，直到1743年J．R．達(dá)朗貝爾(d’Alembert)指出兩者都是正確的，不過各自所著眼的角度不同罷了，爭論才平息． 萊布尼茨反對(duì)牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀，與牛頓的學(xué)生S．克拉克(Clarke)進(jìn)行了長時(shí)期的辯論．在萊布尼茨看來，時(shí)空與運(yùn)動(dòng)、物質(zhì)是密不可分的，認(rèn)為“沒有物質(zhì)也就沒有空間，空間本身不是絕對(duì)的實(shí)在性”，“空間和物質(zhì)的區(qū)別就象時(shí)間和運(yùn)動(dòng)的區(qū)別一樣．可是這些東西雖有區(qū)別，卻是不可分離的”．這些思想后來引起了A．愛因斯坦(Einstein)等人的關(guān)注． 在材料力學(xué)方面，萊布尼茨支持馬里奧特關(guān)于梁受力性質(zhì)的思想．1684年，他在“固體受力的新分析證明”(Demonstratonsnovae de Resistentia Solidorum)一文中指出，纖維是可以延伸的，它們的拉力與伸長成正比．因此，他提出將胡克定律F=-kx應(yīng)用于單根纖維，這一假說后來在材料力學(xué)中被稱為馬里奧特-萊布尼茨理論． 在光學(xué)方面，萊布尼茨利用微積分中的求極值方法，推導(dǎo)出了折射定律： 并嘗試用求極值的方法解釋光學(xué)基本定律． 地質(zhì)學(xué) 1693年，萊布尼茨在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一篇論述地球起源的文章，后來擴(kuò)充為《原始地球》(Protogaea)一書．他認(rèn)為，地球在早期是一個(gè)均勻的、灼熱的熔融球體，形成之后開始逐漸冷卻、收縮．當(dāng)外表層冷卻到一定程度后，一方面形成了原始的大氣，另一方面形成一種玻璃質(zhì)和熔洼質(zhì)所組成的波質(zhì)地殼，地殼由于收縮而形成褶皺．隨著地球的進(jìn)一步冷卻，在這些褶皺的地殼上面，周圍的水蒸汽便冷凝成汪洋大海，而由于水蒸汽融解了地殼表面的鹽，因此海水就變咸了．引起這些地質(zhì)大變化的原因，有些是地球內(nèi)部的氣體爆發(fā)使地殼破裂，有些是地球表面洪水泛濫所起的作用．前一種原因的作用結(jié)果形成火成巖，后一種原因的作用結(jié)果產(chǎn)生的是沉積巖層． 萊布尼茨進(jìn)一步認(rèn)為，在地殼不斷變化，厚度增加的過程中，地表下形成了大量的氣泡和空穴，當(dāng)這些氣泡和空穴由于重力等的作用而使其頂部發(fā)生坍陷時(shí)，地面上的水注入地下洞穴，從而使得原始海洋的水平面降低，因此就出現(xiàn)了山脈，地殼表面上也就有了大陸和海洋之分．同時(shí)，地殼表面由于海水的運(yùn)動(dòng)就形成了大規(guī)模的洪水，洪水對(duì)巖石造成了浸蝕，在沖刷、浸蝕的過程中，使得海水越來越咸，巖石碎片逐漸堆積，形成沉積巖．這種過程在地球的歷史中多次進(jìn)行，造成了各種沉積巖石和火成巖石交互出現(xiàn)的現(xiàn)象．在每一次大的運(yùn)動(dòng)之后，這些作用又達(dá)到新的平衡，從而又開始一個(gè)新的穩(wěn)定時(shí)期．用這種觀點(diǎn)，萊布尼茨成功地解釋了巖石中含有動(dòng)物遺跡以及含有年代不同的巖石碎塊的沉積物這一現(xiàn)象． 對(duì)于石煤、合硫物質(zhì)、石油等易燃物質(zhì)，萊布尼茨認(rèn)為火山爆發(fā)與地震是形成的原因．對(duì)于地層中的生物化石，有些甚至在今天的生物界中還沒有找到與這些化石相應(yīng)的生物，他認(rèn)為，這些化石反映了生物的不斷發(fā)展，這種現(xiàn)象的最終原因是自然界的變化而非偶然的神跡． 他的地球成因?qū)W說，尤其是他的宇宙進(jìn)化和地球演化的思想啟發(fā)了J．B．拉馬克(Lamarck)、C．賴爾(Lyell)等人，促進(jìn)了19世紀(jì)的地質(zhì)學(xué)理論的新進(jìn)展． 其他領(lǐng)域 萊布尼茨在化學(xué)、生物學(xué)、氣象學(xué)、心理學(xué)等領(lǐng)域也做了重要的工作． 在化學(xué)方面，1677年，他寫成《磷發(fā)現(xiàn)史》(Geschichte derErfindung der phosphois)，對(duì)磷元素的性質(zhì)和提取作了論述，促進(jìn)了磷元素的發(fā)現(xiàn)．他還提出了分離化學(xué)制品和使水脫鹽的技術(shù)． 在生物學(xué)方面，他從哲學(xué)角度提出了有機(jī)論方面的多種觀點(diǎn)，認(rèn)為存在介乎動(dòng)物、植物之間的生物，水螅蟲的發(fā)現(xiàn)證明了他的觀點(diǎn)． 在氣象學(xué)方面，他曾親自組織人力進(jìn)行過大氣壓和天氣狀況的觀察． 1696年，萊布尼茨提出了心理學(xué)方面的身心平行論(para-llelism)．他強(qiáng)調(diào)統(tǒng)覺(apperception)作用，與笛卡兒的交互作用論、B．D．斯賓諾莎(Spinoza)的一元論構(gòu)成當(dāng)時(shí)心理學(xué)三大理論．他還提出了下意識(shí)理論的初步思想． 1691年，他還曾致函D．帕潘(Papin)，提出了蒸汽機(jī)的基本思想． 1700年前后，他最早提出了無液氣壓機(jī)原理，其中完全省掉了液柱． 萊布尼茨一生中，總是希望在學(xué)術(shù)和政治活動(dòng)的各個(gè)領(lǐng)域都出人頭地，他嘔心瀝血地工作和學(xué)習(xí)，善于吸收別人的思想，無論何時(shí)，只要他抓住一個(gè)新課題，就查閱所能找到的與此有關(guān)的一切材料，從不囿于傳統(tǒng)的觀念，而是希望產(chǎn)生與他具有的天才相當(dāng)?shù)膭?chuàng)造性作品．為此，他對(duì)于要發(fā)表的作品總是不厭其煩地反復(fù)推敲． 他善于用訪問和通信的方式與人們討論問題，闡發(fā)自己的觀點(diǎn)，一生中曾與千余人有過書信交往，留下了一萬五千多封信件．與他通信的有各種各樣的人士，既有牛頓、沃利斯、伯努利家族、A．阿爾諾(Arnauld)、N．De馬勒伯朗士(Melebranche)等科學(xué)界、哲學(xué)界的知名學(xué)者，也有歐洲各國的王侯皇妃，距離遠(yuǎn)至遠(yuǎn)東的中國．信件的內(nèi)容廣泛，涉及歷史學(xué)、哲學(xué)、語言學(xué)、數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)、工程技術(shù)等等．這些信件記載著他的思想、見解和各種研究成果，有的信件其實(shí)就是學(xué)術(shù)論文．他的許多著作生前未發(fā)表，大量的手稿和書信現(xiàn)在還存放在漢諾威圖書館中．有許多學(xué)者陸陸續(xù)續(xù)編纂出版過萊布尼茨著作集．第一次世界大戰(zhàn)前，柏林科學(xué)院曾計(jì)劃編萊布尼茨全集四十卷，這一工作至今仍未能完成．法國科學(xué)院則準(zhǔn)備在20世紀(jì)末編輯出版萊布尼茨全集． 萊布尼茨一生涉獵了各個(gè)不同的學(xué)術(shù)領(lǐng)域，都留下了深深的印記，并且對(duì)后世產(chǎn)生了不同程度的影響．他處于文藝復(fù)興時(shí)期的整體主義和活力論的世界觀與18，19世紀(jì)的新原子論和機(jī)械論唯物主義的交接時(shí)期，他的觀點(diǎn)，對(duì)他那個(gè)時(shí)代來說是激進(jìn)的，超前的，許多重要思想以后才為人們所接受和重新發(fā)現(xiàn)，他的有些工作和觀點(diǎn)無疑還包含著至今尚未認(rèn)識(shí)到的潛力．正如他自己所說的那樣：“我有非常多的思想，假如別人比我更深入透徹地研究這些思想，并把他們心靈的美好創(chuàng)造同我的勞動(dòng)結(jié)合起來，那么，這些思想總有一天會(huì)有某些用處的．” 作為哲學(xué)家，他在哲學(xué)史上與亞里士多德齊名，他的學(xué)說與其弟子C．沃爾夫(Wolf)的理論結(jié)合，所形成的萊布尼茨-沃爾夫體系極大地影響了德國哲學(xué)的發(fā)展，尤其是影響了I．康德(Kant)的哲學(xué)思想．他開創(chuàng)了德國的自然哲學(xué)，以后經(jīng)過沃爾夫、康德、J．W．V．哥德(Goethe)，到G．W．F．黑格爾(Hegel)得到了長足的進(jìn)展．萊布尼茨集科學(xué)研究與哲學(xué)研究于一身，科學(xué)思想與哲學(xué)思想相互聯(lián)系和相互促進(jìn)．例如他的單子論與其數(shù)學(xué)研究中的微分概念是相通的，他的單子概念和有機(jī)論自然觀現(xiàn)在仍然受到人們的重視．他與英國哲學(xué)家J．洛克(Locke)在認(rèn)識(shí)論方面的創(chuàng)造性的辨論以及他的名著《人類理解新論》(Nouveaux Essais Sur L Entendement Humain)豐富了哲學(xué)認(rèn)識(shí)論，同時(shí)也加深了歐洲哲學(xué)兩大派——經(jīng)驗(yàn)主義與理性主義的對(duì)峙，而萊布尼茨則被認(rèn)為是理性主義的重要代表人物之一．V．L．費(fèi)爾巴哈(Feuerbach)曾經(jīng)說：“近代哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)繼笛卡兒和斯賓諾莎之后，內(nèi)容最為豐富的哲學(xué)乃是萊布尼茨．”他的邏輯學(xué)思想直接推動(dòng)了20世紀(jì)B．羅素(Russell)等人對(duì)數(shù)理邏輯的研究和發(fā)展． 作為一位數(shù)學(xué)家，萊布尼茨對(duì)歐洲大陸數(shù)學(xué)的發(fā)展有著直接的重要的影響，突出地表現(xiàn)在歐洲大陸數(shù)學(xué)家寧愿采用他的d符號(hào)(微分符號(hào))而成為“d主義”者，并與英國數(shù)學(xué)家的“點(diǎn)主義”展開了長達(dá)一個(gè)多世紀(jì)的抗?fàn)?，使英國?shù)學(xué)由于長期拒絕運(yùn)用先進(jìn)的符號(hào)和思想而落后于歐洲大陸的數(shù)學(xué)．直到19世紀(jì)英國的C．巴貝吉(Babbage)等青年數(shù)學(xué)家為改變這種狀況而成立了一個(gè)數(shù)學(xué)分析學(xué)會(huì)，為反對(duì)“點(diǎn)主義”擁護(hù)“d主義”而奮斗，終于采用了萊布尼茨的微分符號(hào)． 萊布尼茨建立科學(xué)院的思想，直接促進(jìn)了世界上幾個(gè)著名科學(xué)院的建立；他的關(guān)于所有學(xué)科進(jìn)行綜合研究的觀點(diǎn)，英明地預(yù)見了科學(xué)發(fā)展的趨勢．在他的一生中，關(guān)心過各種各樣的科學(xué)文化和社會(huì)政治問題，鼓吹和平與團(tuán)結(jié)的濟(jì)世胸懷貫穿始終，一刻也不懈怠地致力于旨在推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步的學(xué)術(shù)、文化活動(dòng)． 可以說，當(dāng)今在各個(gè)學(xué)術(shù)領(lǐng)域都或多或少地看到他的影響．不過，許多情況是這樣：只有在他的思想重新被發(fā)現(xiàn)以后，人們才開始注意到他在這些方面的“優(yōu)先權(quán)”． 萊布尼茨一生沒有結(jié)婚，一生沒有在大學(xué)當(dāng)教授．他平時(shí)從不進(jìn)教堂，因此人們送給他一個(gè)綽號(hào)：Lovenix，即什么也不信的人．他去世時(shí)教士以此為借口，不予理睬，而宮庭也不過問，無人前來吊唁．彌留之際，陪伴他的只有所信任的大夫和他的秘書J．G．V．艾克哈特(Eckhark)．艾克哈特發(fā)出訃告后，巴黎科學(xué)院秘書B．L．B．封登納爾(Fontenelle)在科學(xué)院例會(huì)時(shí)向這位外國會(huì)員致了悼詞．1793年左右，在漢諾威為他建立了紀(jì)念碑；1883年，萊比錫的一個(gè)教堂附近豎起了他的一座立式個(gè)人雕像．1983年，漢諾威照原樣重修了被毀于第二次世界大戰(zhàn)中的“萊布尼茨故居”，以供后人瞻仰． 萊布尼茨對(duì)中國的科學(xué)、文化和哲學(xué)思想非常關(guān)注．1689年他在羅馬遇見天主教傳教士C．F．格里馬爾迪(Grimaldi，中文教名為閔明我，其時(shí)是北京清宮廷的傳教士和數(shù)學(xué)家)．從格里馬爾迪那里得知中國的許多情況后，萊布尼茨對(duì)中國發(fā)生了極大的興趣．他曾交給格里馬爾迪一個(gè)希望了解中國情況的提綱，其中開列了30個(gè)條目(包括天文、數(shù)學(xué)、地理、醫(yī)學(xué)、歷史、哲學(xué)、倫理以及火藥、冶金、造紙、紡織、農(nóng)學(xué)等各種技術(shù))．1697年他編輯出版了《中國新事萃編》(Novissima Sinica)一書，內(nèi)容多為在華傳教士的報(bào)告、書信、旅行記略等．在該書的緒論中他寫道：“我們從前誰也不信這世界上還有比我們的倫理更美滿，立身處世之道更進(jìn)步的民族存在，現(xiàn)在從東方的中國，給我們以一大覺醒！東西雙方比較起來，我覺得在工藝技術(shù)上，彼此難分高低；關(guān)于思想理論方面，我們雖優(yōu)于東方一籌，而在實(shí)踐哲學(xué)方面，實(shí)在不能不承認(rèn)我們相形見拙．”他還強(qiáng)調(diào)，中國與歐洲位于世界大陸東西兩端，都是人類偉大燦爛文明的集中地，應(yīng)該在文化、科學(xué)方面互相學(xué)習(xí)，平等交流． 萊布尼茨很注意搜集中國的材料，他收藏了關(guān)于中國的書籍50多冊．在他的信件中有200多封談到了中國．萊布尼茨可謂是第一位全面認(rèn)識(shí)東方文化尤其是中國文化的西方學(xué)者． 萊布尼茨也是受到中國學(xué)術(shù)界重視的人物．在1859年李善蘭和偉烈亞力(A．Wylie)合譯的《代微積拾級(jí)》一書的序言中就說到：“我國康熙時(shí)，西國來本之(即萊布尼茨)、奈瑞(即牛頓)創(chuàng)微分、積分二術(shù)．”1898年清末黃仲駿所編的《疇人傳》中也列有“來本之”．萊布尼茨的主要哲學(xué)著作已陸續(xù)翻譯成中文出版．近些年來，中國和歐洲的學(xué)術(shù)交流，象萊布尼茨曾經(jīng)期望的那樣，正在日趨興旺． |
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