|
格拉斯曼 吉安師范?？茖W(xué)校 陳竹如 格拉斯曼，H．G．(Grassmann，Hermann Günther) 1809年4月15日生于德國波美拉尼亞的斯德丁(今波蘭什切青)；1877年9月26日卒于斯德丁．?dāng)?shù)學(xué)． 格拉斯曼出生于一個(gè)知識(shí)分子家庭，父親賈斯特斯(Justus)研究過神學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)．母親J．美登沃爾德(Medenwald)是一位牧師的女兒．在他們家的12個(gè)孩子中，格拉斯曼排行第三．他40歲才結(jié)婚，妻子M．T．納普(Knappe)是一個(gè)地主的女兒，生有11個(gè)孩子，其中盧多爾夫(Ludolf)成為物理學(xué)家，赫爾曼(Hermann)成為數(shù)學(xué)家，其他人也多有成就． 格拉斯曼最初的教育來自母親和一所私立學(xué)校．18歲時(shí)他通過了中等學(xué)校的最后考試，隨后與他的長兄古斯塔夫(Gustav)一起在柏林大學(xué)學(xué)了三年神學(xué)和古典語言文學(xué)． 1830年秋，格拉斯曼回到斯德丁，開始自學(xué)數(shù)學(xué)和物理．1832年在斯德丁得到一個(gè)大學(xué)預(yù)科助教的職位． 1834年通過斯德丁的教會(huì)代表會(huì)議主持的第一級(jí)神學(xué)考試，這年秋天到柏林的格沃貝舒里學(xué)校當(dāng)副校長，1835年又被派到斯德丁新成立的奧托學(xué)校任教．他教過數(shù)學(xué)、物理、德語、拉丁語和宗教等課程．同時(shí)，在任教期間仍進(jìn)行神學(xué)、數(shù)學(xué)和自然科學(xué)等方面的研究．1839年，他在斯德丁通過了第二級(jí)神學(xué)考試．次年又在柏林通過了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和礦物學(xué)方面的考試，從而取得了擔(dān)任中等學(xué)校各級(jí)教學(xué)工作的資格．此后，格拉斯曼在教學(xué)上花了較大的精力，編寫了幾本中學(xué)課本．1852年，他接替父親的工作，在斯德丁大學(xué)預(yù)科做了四級(jí)教師，這是一個(gè)可以獲得教授頭銜的職位． 格拉斯曼興趣廣泛，多才多藝，早在青年時(shí)期就在多方面取得成績．1846年，他的《解析幾何》(Geometrische，Analyse)得到公眾好評(píng)，并獲得萊比錫科學(xué)協(xié)會(huì)的最高獎(jiǎng)賞．1845年，他出版了《電動(dòng)力學(xué)理論》(Neue Theorie der Elektrodynamik)，書中以新的定律取代了安培關(guān)于兩個(gè)極小的電流元件相互作用的基本定律．1853年又發(fā)表文章“混色理論”(Zur Theorie der Farben－mischung)．1864年，他因物理方面的成績被選為利奧波德學(xué)會(huì)會(huì)員．另外，他還是梵文權(quán)威，也曾努力學(xué)習(xí)過哥德語、立陶宛語、古波斯語、俄語和教會(huì)斯拉夫語，并在此基礎(chǔ)上研究比較語言學(xué)．1860年，他開始對(duì)吠陀經(jīng)典贊美詩進(jìn)行深入研究， 此書至今仍在廣泛應(yīng)用。1876—1877年間，他又寫成贊美詩的德文譯本．他的這些成績得到學(xué)術(shù)界的好評(píng)，很快為學(xué)者們所接受，使他在1876年成了美國東方學(xué)會(huì)的成員．蒂賓根大學(xué)哲學(xué)系授予他名譽(yù)博士學(xué)位． 格拉斯曼的數(shù)學(xué)成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在他那個(gè)時(shí)代的前面．他是一位自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家，1832年就開始了一種新的幾何演算法的研究．他意識(shí)到自己工作的深遠(yuǎn)意義，到1840年已把全部精力集中到數(shù)學(xué)方面的研究．1843年秋，他完成了名著《線性擴(kuò)張論》(Die lineare Ausaenuangslehre)的第1卷，于1844年發(fā)表．可惜的是它的基本意義沒有被當(dāng)時(shí)人們所領(lǐng)會(huì)，因?yàn)槠鋬?nèi)容實(shí)在比當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平深得多，而且敘述抽象，在文中還夾雜著哲學(xué)理論和神秘的教義．1845年以后他又寫了很多書和文章，將他的理論應(yīng)用到物理及代數(shù)曲線和曲面上，但也沒有獲得人們的理解．于是他把《線性擴(kuò)張論》修改加工，更名《擴(kuò)張論》(Die Ausaenuang－slehre)，于1862年在柏林出版．但此書還是沒有用具體明確的例子說明他的新概念，仍然十分難懂，沒有受到學(xué)術(shù)界重視．連續(xù)幾次失敗使他失望，53歲以后逐漸離開數(shù)學(xué)，專門研究梵文． 直到格拉斯曼晚年的時(shí)候，人們才注意到他的數(shù)學(xué)著作的價(jià)值．1871年，他被選為哥丁根科學(xué)院的通訊會(huì)員．這時(shí)他已年老體弱，但一直堅(jiān)持工作．在他去世后，專家們努力把他的《擴(kuò)張論》向數(shù)學(xué)界介紹，還有人為他寫了傳記，在他一百歲誕辰時(shí)出版了他的論著全集． 格拉斯曼在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)表現(xiàn)在他對(duì)多維空間的研究．多維空間產(chǎn)生的原因之一，是在解決代數(shù)和分析的問題時(shí)試圖利用幾何方法．當(dāng)時(shí)已有用幾何方法解決純代數(shù)問題的先例．但是如果未知數(shù)多于三個(gè)，三維空間就不夠用了。為了保留有效的幾何思想方法，就需要引入抽象的n維空間概念。這種空間的點(diǎn)由n個(gè)坐標(biāo)決定，從而把在三個(gè)變數(shù)時(shí)起作用的幾何方法應(yīng)用到任意個(gè)變數(shù)的情形． 在解析幾何與綜合幾何的基礎(chǔ)上，G．W．萊布尼茲(Leibniz)曾設(shè)想過這種幾何分析，但他沒有深入闡述自己的觀點(diǎn)．格拉斯曼首次提出了多維歐幾里得空間的系統(tǒng)理論．1844年他在《線性擴(kuò)張論》中引入歐幾里得n維空間概念，研究了點(diǎn)、直線、平面和兩點(diǎn)間的距離，并推廣到n維空間，研究了抽象幾何空間中的n階曲線，發(fā)展了萊布尼茲把代表幾何實(shí)體的符號(hào)按一定規(guī)則來處理的代數(shù)思想． 《線性擴(kuò)張論》所論述的幾何分析，是一個(gè)介于解析幾何與綜合幾何的邊緣領(lǐng)域．幾何分析的所有體系具有共同特點(diǎn)，它們的基本成分是有向線段的幾何加法，并且借助于復(fù)數(shù)的平面幾何描述．在《線性擴(kuò)張論》中格拉斯曼融合坐標(biāo)、向量及復(fù)數(shù)等概念于n維空間，大膽地開拓了數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域． “向量空間”概念在以前數(shù)學(xué)家的論著中是不夠明確的，格拉斯曼第一個(gè)明白地解釋了“n維向量空間”的概念，他把n維向量空間的向量和與積用純幾何方法來定義，發(fā)展了通用的向量演算法． 格拉斯曼與W．R．哈密頓(Hamilton)同時(shí)分別建立了超復(fù)數(shù)，格拉斯曼還引入了超復(fù)數(shù)的兩類乘法(內(nèi)積和外積)，從而建立了一種有n個(gè)分量的超復(fù)數(shù)幾何學(xué)，所以他是復(fù)抽象幾何學(xué)的奠基人． 由于坐標(biāo)選擇帶有任意性，可能使問題復(fù)雜化．人們希望把幾何學(xué)和物理學(xué)上確實(shí)重要的部分，與由坐標(biāo)的選擇額外產(chǎn)生的部分分開，于是便產(chǎn)生了張量概念．用張量來描述的物理定律和幾何定理所得到的結(jié)果，在任何坐標(biāo)系下都具有不變的形式． 這是一種有n個(gè)分量的趨復(fù)數(shù)，下面用n=3的情況為例來說明他的思想．設(shè)兩個(gè)超復(fù)數(shù)α=α1e1＋α2e2＋α3e3，β=β1e1+β2e2+β3e3，其中αi和βi是實(shí)數(shù)，而e1，e2和e3是原始的或定性的單元．α和β都是空間中的一個(gè)有向線段，αi和βi分別是α和β在各軸上的投影長度．其加減法由下式定義， α＋β=(α1＋β1)e1＋(α2＋β2)e2＋(α3+β3)e3． 對(duì)超復(fù)數(shù)的內(nèi)積，他假設(shè)ei|ei=1，ei|ej=0，i≠j，α和β的內(nèi)積α 間的夾角，則 (a，b分別是α，β的線向量)． 對(duì)超復(fù)數(shù)的外積P，他假設(shè)[eiej]=-[ejei]=eij(1＜i＜j ≤n)，[eiei]=0(1≤i≤n)， P=[αβ]=(α2β3-α3β2)[e2e3]＋(α3β1-α1β3)[e3e1]＋(α1β2-α2β1)[e1e2]， 且有αβ=-βα． 所以|P|就是一個(gè)平行四邊形的面積．如果兩個(gè)向量位于同一直線，則它們的積是0；否則它們張成一個(gè)位于某一平面并有一確定面積的平行四邊形． 對(duì)兩個(gè)積ab和cd相等，格拉斯曼解釋為：它們位于平行平面之中，張成的面積相同，并且從c到d和從a到b有相同的旋向．至于三個(gè)向量的積，則可構(gòu)成一個(gè)有向平行六面體．他還考慮了高階乘積．1855年又對(duì)超復(fù)數(shù)給出了16種不同類型的乘積及其幾何意義．并在力學(xué)、磁學(xué)、晶體學(xué)等方面作了應(yīng)用． 與格拉斯曼幾乎同時(shí)而獨(dú)立地用分析方法研究n維幾何的，還有A．凱利(Cayley)和G．黎曼(Riemann)，他們都是通過與普通解析幾何作形式類比而進(jìn)行的，但影響不及格拉斯曼．雖然他的n維超復(fù)數(shù)分析終究未建立起來(因?yàn)闆]有發(fā)現(xiàn)這種分析的應(yīng)用)，但他的思想引導(dǎo)數(shù)學(xué)家進(jìn)入張量理論．張量的引入，使數(shù)學(xué)家們既采用坐標(biāo)又?jǐn)[脫具體坐標(biāo)系的影響，使推導(dǎo)簡化，而且能充分反映事物的屬性．它在力學(xué)、幾何學(xué)、電磁場及相對(duì)論等方面有著廣泛的應(yīng)用．20世紀(jì)80年代歐美國家掀起了學(xué)習(xí)和應(yīng)用張量的熱潮．我國隨著計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，張量理論也受到很多專家的重視． J．吉布斯(Gibbs)和O．希維賽德(Heavislde)創(chuàng)立向量代數(shù)，也受到格拉斯曼的很大影響．向量代數(shù)可以從格拉斯曼和哈密頓的概念中導(dǎo)出，吉布斯曾說過他更喜歡格拉斯曼的限制較少的概念．格拉斯曼的著作還影響著線性矩陣代數(shù)的誕生，在其著作中已有這方面知識(shí)的萌芽．1862年，格拉斯曼提出了矩陣化成三角式的方法，并論述了這種方法與射影變換之間的關(guān)系． 在代數(shù)方面，格拉斯曼的工作遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了哈密頓的四元數(shù)，他不只考慮實(shí)數(shù)有序四元數(shù)組，而且考慮實(shí)數(shù)有序n無數(shù)組．格拉斯曼還發(fā)展了一項(xiàng)他稱為“代數(shù)的”乘法，它遵守定律eiej=ejei，i=1，…，n，并導(dǎo)致了今天的多項(xiàng)式環(huán)． 格拉斯曼和哈密頓、凱利等數(shù)學(xué)家是近世代數(shù)的先驅(qū)，他們推出了不同于普通代數(shù)的、遵守某種結(jié)構(gòu)規(guī)律的代數(shù)方法，具有深遠(yuǎn)的意義．就象羅巴切夫斯基(ЛoбaЧeBCKИй)的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致幾何的解放一樣，格拉斯曼的工作導(dǎo)致了代數(shù)的解放，打開了現(xiàn)代抽象代數(shù)的大門． 格拉斯曼的分析研究還涉及普法夫方程 ω=A1(x1…xn)dx1＋…=An(x1…xn)dxn=0 的積分理論．他提出了一個(gè)重要定理： 如果把k視為ω類——就是說，ω可以變換成交量的極小數(shù)量——那么，當(dāng)k=2h時(shí)，ω可變換成為范式Zn＋1dZ1+…+Z2ndZn，而當(dāng)k=2h-1時(shí)，則可變換成P·(dZh＋Zh＋1dZ1＋…+Z2h-1dZh-1)，這里的P是Z1…Z2h-1的函數(shù)． 格拉斯曼還研究了算術(shù)基礎(chǔ)，他在《算術(shù)教本》(Lehrbuchder Arithmetik，1861)中對(duì)算術(shù)基礎(chǔ)作了科學(xué)論證，給出自然數(shù)加法和乘法的定義，并證明了加法和乘法的基本性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律、分配律等．他的研究以(a＋b)＋1=a＋(b＋1)為依據(jù)． 由于格拉斯曼的貢獻(xiàn)，很多數(shù)學(xué)名詞以他的名字命名，如格拉斯曼坐標(biāo)、格拉斯曼錐體、格拉斯曼平面線性生成等等．他還首創(chuàng)了以坐標(biāo)表示給定空間的子空間的方法，從而導(dǎo)致了稱為格拉斯曼代數(shù)流形的映射點(diǎn)． 數(shù)學(xué)中的形式主義學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)的真實(shí)性必須也只須建立在其公理系統(tǒng)的無矛盾性上．格拉斯曼可以說是這個(gè)學(xué)派的奠基人之一．這種形式主義觀點(diǎn)，后來在D．希爾伯特(Hilbert)的學(xué)派中得到發(fā)展． 在政治上，格拉斯曼有很強(qiáng)的責(zé)任感．他參加了1848年德國的政治革命，并和他的兄弟羅伯特(Robert)辦報(bào)紙，主張形成一個(gè)團(tuán)結(jié)的、在普魯士領(lǐng)導(dǎo)下的德國．格拉斯曼的一生是積極學(xué)習(xí)積極工作的一生，為社會(huì)作出了寶貴的貢獻(xiàn)． |
|
|
