復(fù)數(shù)是指能寫(xiě)成如下形式的數(shù)a+bi,這里a和b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位（即-1開(kāi)根）。 由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過(guò)達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受。 復(fù)數(shù)有多種表示法，諸如向量表示、三角表示，指數(shù)表示等。它滿(mǎn)足四則運(yùn)算等性質(zhì)。它是復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論、傅里葉分析、分形、流體力學(xué)、相對(duì)論、量子力學(xué)等學(xué)科中最基礎(chǔ)的對(duì)象和工具。另外，復(fù)數(shù)還指在英語(yǔ)中與單數(shù)相對(duì)，兩個(gè)及兩個(gè)以上的可數(shù)名詞。

　　16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)（Jerome Cardan1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書(shū)中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱(chēng)之為“卡當(dāng)公式”。他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫(xiě)到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時(shí)，他把答案寫(xiě)成（5+√-15)*(5-√-15)=25-(-15)=40，盡管他認(rèn)為5+√-15和5-√-15這兩個(gè)表示式是沒(méi)有意義的、想象的、虛無(wú)飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數(shù)”這一名稱(chēng)的是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)”與“實(shí)的數(shù)”相對(duì)應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開(kāi)來(lái)。
　　數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星——虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)。德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（1646—1716）在1702年說(shuō)：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉（1707—1783）說(shuō)：“一切形如，√-1，√-2的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈兯硎镜氖秦?fù)數(shù)的平方根。對(duì)于這類(lèi)數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻?！比欢?，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時(shí)間和空間的考驗(yàn)，最終占有自己的一席之地。法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（1717—1783）在1747年指出，如果按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算規(guī)則對(duì)虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么它的結(jié)果總是a+bi的形式（a、b都是實(shí)數(shù)）。法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)了著名的棣莫弗定理（見(jiàn)上文）。歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來(lái)表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號(hào)i作為虛數(shù)的單位?！疤摂?shù)”實(shí)際上不是想象出來(lái)的，而它是確實(shí)存在的。挪威的測(cè)量學(xué)家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋?zhuān)⑹紫劝l(fā)表其作法，然而沒(méi)有得到學(xué)術(shù)界的重視。
　　德國(guó)數(shù)學(xué)家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實(shí)數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個(gè)平面上的點(diǎn)來(lái)表示。在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a的點(diǎn)A，縱軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)b的點(diǎn)B，并過(guò)這兩點(diǎn)引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點(diǎn)C就表示復(fù)數(shù)a+bi。象這樣，由各點(diǎn)都對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來(lái)又稱(chēng)“阿甘得平面”。高斯在1831年，用實(shí)數(shù)組（a，b）代表復(fù)數(shù)a+bi，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也象實(shí)數(shù)一樣地“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個(gè)名詞，還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法——直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合。統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來(lái)了。
　　經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來(lái)面目，原來(lái)虛數(shù)不虛。虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實(shí)數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集。
　　隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來(lái)越顯出它的重要性，它不但對(duì)于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問(wèn)題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)。復(fù)數(shù)理論在生活中也有。

　　復(fù)數(shù)
　　數(shù)集拓展到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，仍有些運(yùn)算無(wú)法進(jìn)行。比如判別式小于0的一元二次方程仍無(wú)解，因此將數(shù)集再次擴(kuò)充，達(dá)到復(fù)數(shù)范圍。
　　形如z=a+bi的數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)（complex number)，其中規(guī)定i為虛數(shù)單位，且i^2=i×i=－1（a，b是任意實(shí)數(shù)）
　　我們將復(fù)數(shù)z=a+bi中的實(shí)數(shù)a稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的實(shí)部（real part)記作Rez=a
　　實(shí)數(shù)b稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的虛部（imaginary part）記作 Imz=b.
　　已知：當(dāng)b=0時(shí)，z=a，這時(shí)復(fù)數(shù)成為實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；
　　當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，z=bi，我們就將其稱(chēng)為純虛數(shù)。
　
　　將復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和的正的平方根的值稱(chēng)為該復(fù)數(shù)的模，記作∣z∣.
　　即對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi，它的模
　　∣z∣=√（a^2+b^2)
　　復(fù)數(shù)的集合用C表示，實(shí)數(shù)的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。
　　復(fù)數(shù)集是無(wú)序集，不能建立大小順序?！　?fù)數(shù)是指能寫(xiě)成如下形式的數(shù)a+bi,這里a和b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位（即-1開(kāi)根）。 由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過(guò)達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受。 復(fù)數(shù)有多種表示法，諸如向量表示、三角表示，指數(shù)表示等。它滿(mǎn)足四則運(yùn)算等性質(zhì)。它是復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論、傅里葉分析、分形、流體力學(xué)、相對(duì)論、量子力學(xué)等學(xué)科中最基礎(chǔ)的對(duì)象和工具。另外，復(fù)數(shù)還指在英語(yǔ)中與單數(shù)相對(duì)，兩個(gè)及兩個(gè)以上的可數(shù)名詞。