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2012年上海高考理科第17題講評(píng)
大罕
題目：設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5=105．隨機(jī)變量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0．2，隨機(jī)變量ξ2取值(x1+x2)/2、(x2+x3)/2、(x3+x4)/2、(x4+x5)/2、(x5+x1)/2的概率也為0．2．若記Dξ1、Dξ2分別為ξ1、ξ2的方差，則（）．
A.Dξ1>Dξ2 B.Dξ1＝Dξ2
C.Dξ1＜Dξ2
D.Dξ1與Dξ2的大小關(guān)系與x1,x2,x3,x4的取值有關(guān)
講解：要弄清楚本題，首先要復(fù)習(xí)相關(guān)概念．
①一組數(shù)據(jù)的方差：一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為m，則方差
s2=(1/n)[(x1-m)2+(x2-m)2+…+(xn-m)2]
②隨機(jī)變量及分布：若離散型隨機(jī)變量x的概率分布為
ξ x1
x2 … xi…
xn
P p1
p2 … pi…
pn
這個(gè)表稱為隨機(jī)變量的分布表。
③隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：在上述隨機(jī)分布表中，稱x1p1+x2p2+…+xn
pn 為隨機(jī)變量x1, x2
,…,xn的數(shù)學(xué)期望．記為Eξ，即Eξ＝x1p1+x2p2+…+xn
pn．
④隨機(jī)變量的方差：Dξ＝(x1-Eξ)2
p1+(x2-Eξ)2
p2+…+(xn-Eξ)2
pn，其中為隨機(jī)變量ξ的方差．
在弄清楚以上概念及公式后，以下進(jìn)行計(jì)算：
根據(jù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式和隨機(jī)變量ξ1和ξ2的概率均為0.2，有
Eξ1=0.2(x1+x2+ x3
+x4+x5),
Eξ2=0.2[(x1+x2)/2+(x2+x3)/2+(x3+x4)/2+(x4+x5)/2+(x5+x1)/2]
=0.2(x1+x2+x3+x4+x5),
∴Eξ1= Eξ2，并簡(jiǎn)記為E，
再根據(jù)隨機(jī)變量的方差公式，有
Dξ1=0.2[(E-x1)2+(E-x2)2+(E-x3)2+(E-x4)2+(E-x5)2]
=0.2[5E2-2(x1+x2+x3+x4+x5)E+(x12+
x22+x32
+x42+x52)]
=0.2[5E2-10E2+(x12+
x22+x32
+x42+x52)]
=0.2[-5E2+(x12+x22+x32
+x42+x52)]；
Dξ2=0.2{[E-(x1+x2)/2]2+[E-(x2+x3)/2]2+[E-(x3+x4)/2]2+[E-(x4+x5)/2]2+[E-(x5+x1)/2]2}
=0.2{5E2-2(x1+x2 +x3
+x4 +x5) E+(1/4)
[(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x5)2+(x1+x2)2]}
=0.2[-5E2+0.5(x12+x22+
x32+ x42+
x52+x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1)；
Dξ1-Dξ2=0.1(x12+x22+
x32+
x42-x52-x1x2-x2x3-x3x4-x4x5-x5x1)
=0.05[(
x1-x2)2+(x2-x3)2+
(x3-x4)2+
(x4-x5)2+
(x5-x1)2],
注意到x1,x2, x3
,x4,x5互不相等，
∴Dξ1-Dξ2>0，
即
Dξ1>Dξ2. 故選A.
評(píng)論：這道題算得上是中檔題，難在在考生對(duì)概率、數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量、方差等概念普遍不夠熟悉，挖掘得不夠深入.在這種情況下，“意外”地遇到本題，大有措手不及之感.一些同學(xué)在萬(wàn)般無(wú)奈之中，瞎蒙亂猜，其實(shí)都是不靠譜的.
從另一角度講，這題的出現(xiàn)，告訴我們今后的教學(xué)要加強(qiáng)對(duì)新增教材內(nèi)容的講授和訓(xùn)練，對(duì)高考押題不要存僥幸心理.
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