這篇文章是我2009年秋季學(xué)期現(xiàn)當(dāng)代建筑賞析的期末論文。

摘要

在本文中，我將從拓?fù)鋵W(xué)中最基本的多面體歐拉公式展開(kāi)，從新考慮了建筑的語(yǔ)匯。從拓?fù)涞葍r(jià)的觀點(diǎn)，將各種建筑的構(gòu)型分類，并指出在這種觀點(diǎn)下，建筑師需要將更多的精力放在空間的拓?fù)鋵?duì)建筑使用者的感受等問(wèn)題上。由于在這種觀點(diǎn)下，建筑師需要能夠隨意地實(shí)行拓?fù)渥儞Q，這種變換的最大敵人是萬(wàn)有引力。然而通過(guò)技術(shù)，可以挑戰(zhàn)這個(gè)限制，使得建筑給人奇跡性?；谶@樣的觀點(diǎn)，我猜測(cè)董老師上課所述的拓?fù)鋵?duì)稱的含義，并給出適當(dāng)?shù)慕忉?。全文的最后，我提供了兩個(gè)關(guān)于拓?fù)浜徒ㄖ嚓P(guān)聯(lián)的具體例子，表明了在現(xiàn)當(dāng)代建筑設(shè)計(jì)中，一些特殊空間的拓?fù)湫再|(zhì)確實(shí)對(duì)建筑的設(shè)計(jì)產(chǎn)生了影響。

關(guān)鍵詞：拓?fù)?，拓?fù)涞葍r(jià)，萬(wàn)有引力，拓?fù)鋵?duì)稱，莫比烏斯帶，克萊因瓶屋

前言

作為一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生，每當(dāng)聽(tīng)到數(shù)學(xué)以外的學(xué)科引用拓?fù)鋬蓚€(gè)字，我都會(huì)審慎地看待，因?yàn)橥負(fù)?，作為一個(gè)時(shí)髦的詞匯[1]，很容易被挪作他用。我個(gè)人的態(tài)度是，如果一個(gè)學(xué)科僅僅是借用了另一個(gè)學(xué)科的一個(gè)術(shù)語(yǔ)或者概念，但沒(méi)有用到其核心思想或者相關(guān)的基本結(jié)果，這種術(shù)語(yǔ)的引進(jìn)也僅僅是在構(gòu)建一種學(xué)科壁壘，或者增加神秘感。倒不如在引進(jìn)詞匯的同時(shí)，給出在這個(gè)學(xué)科中內(nèi)蘊(yùn)的定義和闡釋。

董老師上課的時(shí)候，曾提到過(guò)一次拓?fù)鋵?duì)稱，我自然而然審慎起來(lái)，究竟建筑學(xué)中的拓?fù)涫鞘裁?？以下只是我在課程的學(xué)習(xí)中得到的一些觀察以及其對(duì)我的一些啟示，都是關(guān)于建筑與拓?fù)洹?/p>

回顧拓?fù)鋵W(xué)研究的對(duì)象，在數(shù)學(xué)中稱之為工作范疇：拓?fù)鋵W(xué)的研究對(duì)象是拓?fù)淇臻g和他們之間的連續(xù)映射。用不嚴(yán)格的語(yǔ)言說(shuō)，就是研究連續(xù)變化下空間的性質(zhì)（那些不變的性質(zhì)稱為拓?fù)洳蛔兞浚?/p>

從柏拉圖形體談起

建筑中確實(shí)有一些例子與拓?fù)鋵W(xué)有關(guān)，例如在前幾節(jié)課程中提到的柏拉圖形體（也就是三維空間中的正多面體，如圖1所示），一個(gè)自然的問(wèn)題，為什么柏拉圖形體只有五種，即正四面體，正方體，正八面體，正十二面體，正二十面體。事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題恰是拓?fù)鋵W(xué)。它涉及到拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉[2]定理：三維空間中的凸多面體，其面數(shù)加頂點(diǎn)數(shù)減去棱數(shù)等于二。正是這個(gè)方程導(dǎo)致了柏拉圖形體在總數(shù)上是有限的。

圖1: 五種柏拉圖形體柏拉圖形體

拓?fù)涞葍r(jià)觀點(diǎn)下的結(jié)構(gòu)

從拓?fù)涞挠^點(diǎn)看，可以考察更一般的建筑設(shè)計(jì)理論，例如在考慮的幾何圖解的深層結(jié)構(gòu)的時(shí)候，我們完全可以忽略剛性帶來(lái)的性質(zhì)，取而代之的是在連續(xù)形變等價(jià)下的深層結(jié)構(gòu)，讓我們看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子，如圖2所示：

圖2: 兩組拓?fù)涞葍r(jià)的剖面

從拓?fù)涞挠^點(diǎn)看，兩組圖中的圖解都是等價(jià)的。這樣做的好處在于使得建筑語(yǔ)言中的基本元素個(gè)數(shù)更加精簡(jiǎn)，而產(chǎn)生的語(yǔ)句則更加豐富。

但是在論及深層解構(gòu)的有限性的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)即便是在精簡(jiǎn)了基本建筑語(yǔ)言的元素之后，其可能性還是無(wú)窮的，這種無(wú)窮性帶給拓?fù)渖顚咏Y(jié)構(gòu)以復(fù)雜性，畢竟對(duì)于有限的事物，人類往往能夠?qū)⑵渫耆莆掌鋵?shí)質(zhì)而變得簡(jiǎn)單。

拓?fù)湫再|(zhì)與功能主義

其實(shí)這種看法在生活中是很常見(jiàn)的，例如我們買(mǎi)房子的時(shí)候，總會(huì)先考慮要買(mǎi)幾室?guī)讖d的房子，再考慮面積，最后考慮具體的地段，環(huán)境，物業(yè)，價(jià)錢(qián)等因素。我們注意到“幾室?guī)讖d”是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?，房子任意的形變，室和廳的個(gè)數(shù)都不會(huì)發(fā)生變化。再例如，我們考慮空間的連通性的時(shí)候，我們可能會(huì)要求廚房盡量緊挨著餐廳（有傭人燒飯的豪宅除外），這種伴隨著功能的空間連通性常常也放在建筑設(shè)計(jì)的首要位置。這兩個(gè)例子從某種程度上說(shuō)明了拓?fù)渖系南拗瞥３Ｊ莵?lái)源于人內(nèi)心最基本的一種需求（常常是對(duì)功能的需求），但它又常常被認(rèn)為是理所當(dāng)然的從而消失在視野之外。

關(guān)于那些讓人覺(jué)得是神跡的結(jié)構(gòu)，于是變得不驚奇了，他們與過(guò)去的結(jié)構(gòu)有什么不同？無(wú)外乎喚起了人們對(duì)建筑工藝技術(shù)的崇拜感，而這些結(jié)構(gòu)對(duì)建筑學(xué)本身討論的重點(diǎn)卻無(wú)益。關(guān)于結(jié)構(gòu)最富有實(shí)質(zhì)意義應(yīng)該是考察它的基本元素，例如，對(duì)于拓?fù)洳煌脑?，考察它?duì)使用者產(chǎn)生不同的感受。

圖3: 古根海姆博物館

賴特的古根海姆博物館（見(jiàn)圖3）可以看成一個(gè)長(zhǎng)廊盤(pán)旋而上，那它與長(zhǎng)長(zhǎng)的畫(huà)廊有什么區(qū)別，所有關(guān)于畫(huà)廊的特有性質(zhì)，就是賴特的博物館的特有性質(zhì)，畫(huà)廊讓人有一個(gè)方向，而畫(huà)廊中的畫(huà)又能讓人停止在這個(gè)固定方向的移動(dòng)，古根海姆博物館又何嘗不是如此呢？它們?cè)诠δ苌洗_實(shí)是一樣的！

波爾多住宅的神奇在于它通過(guò)一個(gè)升降平臺(tái)將一樓和二樓連通起來(lái)，這種連通性質(zhì)在不考慮重力的情況下是讓人感到驚奇的，我們可以設(shè)想如下的兩個(gè)場(chǎng)景（如圖4所示）：

圖4: 波爾多住宅

左邊的圖表示波爾多住宅的用戶可以通過(guò)升降電梯從一樓過(guò)到二樓，但若是沒(méi)有升降電梯，我們?nèi)绾尾拍芷骄彽氐竭_(dá)二樓呢？如果不考慮重力的話，右邊的建筑是可以實(shí)現(xiàn)的，但絕不是地球上的建筑。

挑戰(zhàn)萬(wàn)有引力

可以認(rèn)為拓?fù)鋵W(xué)中的限制是某種程度上最基本的限制，例如保定向剛體變換（即在空間中的平移和旋轉(zhuǎn)）可以認(rèn)為是連續(xù)形變的一種，而伸縮變化就不是三維空間中的剛體形變（伸縮變化會(huì)改變距離），鏡面對(duì)稱雖然是剛體變換，但是它不是保定向的，但是這兩者都是連續(xù)的拓?fù)渥儞Q，由此可見(jiàn)拓?fù)渖系南拗圃谀撤N程度上是最基本的限制。

早期的建筑由于受到工藝的約束，從而其建筑的基本語(yǔ)匯也受到了約束，當(dāng)然建筑語(yǔ)匯發(fā)生過(guò)幾次進(jìn)化，從過(guò)去的拱券，穹窿到后來(lái)的平頂，大出挑的屋頂，現(xiàn)代建筑更是有其被人視為結(jié)構(gòu)奇跡的語(yǔ)匯。然而，平頂和穹窿又有什么區(qū)別，只不過(guò)是彎曲程度的不同，他們是相同的基本元素，只是技術(shù)的限制導(dǎo)致了穹窿更容易實(shí)現(xiàn)。屋頂出挑的多少在拓?fù)渖弦矝](méi)有區(qū)別，反倒是否出挑就有了區(qū)別。

當(dāng)然這種拓?fù)湓氐淖杂杀磉_(dá)在一定程度還是受到限制的，就像之前提到的歐拉公式那樣的限制。這種限制可能來(lái)自于建筑所處環(huán)境的限制，來(lái)自建筑使用者的限制，來(lái)自技術(shù)的限制和資本的限制，最重要的限制，我認(rèn)為應(yīng)當(dāng)是地心引力的限制。
地心引力的限制使得我們有時(shí)候無(wú)法進(jìn)行拓?fù)渖系娜我庑巫?，例如在MVRDV設(shè)計(jì)的這棟公寓中，我們就不能認(rèn)為它的剖面和左右等分的剖面是一致的（如圖5所示）。

圖5: 孿生公寓與它拓?fù)涞葍r(jià)的房屋

可見(jiàn)在水平方向拓?fù)渥儞Q更加容易實(shí)施，而在豎直方向上，即萬(wàn)有引力的作用方向上，拓?fù)渥儞Q就不能隨意實(shí)行，這就是為什么對(duì)豎直方向結(jié)構(gòu)的特殊設(shè)計(jì)會(huì)讓人更加感到驚奇的原因的一方面。

現(xiàn)代技術(shù)已經(jīng)擁有各種能力去挑戰(zhàn)萬(wàn)有引力了，但一味地為了挑戰(zhàn)而建筑，一味地為了奇跡而建筑，一味地為了出彩而建筑，似乎又偏離了正軌。不如我們只是將精力放在基本空間分割特征等更抽象的問(wèn)題上來(lái)討論建筑空間的本質(zhì)，這樣思考也幫助建筑師能夠更專注在關(guān)鍵的問(wèn)題上。

當(dāng)然，我們也可以將這些限制看作自由表達(dá)的目標(biāo)，從而最重要的限制便成了最基本的目標(biāo)?？紤]拓?fù)渖系牟煌目臻g劃分對(duì)建筑的影響，這種討論超越技術(shù)的限制，從而更能適用不同時(shí)期的建筑理論，甚至，在技術(shù)足夠發(fā)達(dá)的未來(lái)，我們能夠隨意地討論在外太空人類的住所在無(wú)重力情況下的建筑理論。

拓?fù)鋵?duì)稱[3]

如果說(shuō)，建筑的有維度，我會(huì)將拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，材質(zhì)表現(xiàn)，實(shí)用功能等納入這些維度中。

當(dāng)我們要體現(xiàn)其中一個(gè)維度的時(shí)候，我們會(huì)主要放大這個(gè)維度，并同時(shí)減小其他維度，至少我們可以在每一個(gè)局部都這么操作。比如在此處著重表現(xiàn)建筑的材質(zhì)，在彼處則強(qiáng)調(diào)其功能。

現(xiàn)代尋找出彩的方式大都如此，因?yàn)楹苌偃四荞v足欣賞，為了能留住眼球，只能“博彩出眾”。

圖6: 樓梯的兩種不同對(duì)稱

如圖6所示，誰(shuí)會(huì)注意到一個(gè)有左右對(duì)稱樓梯的房屋呢？為了突出其拓?fù)涞膶?duì)稱性，我們可以將這個(gè)對(duì)成變?yōu)橹行膶?duì)稱，使得其功能的維度降低，這樣不但掛在空中的樓梯被注意到了，人們還能注意到地上的樓梯，以及它們之間的對(duì)稱性。這種對(duì)稱性在突出拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的同時(shí)，還挑戰(zhàn)了約束拓?fù)渥兓牡匦囊?，其奇跡性也是不言而喻的。

模度

在考慮完建筑的拓?fù)湫再|(zhì)之后，隨之而來(lái)的就是建筑中具體模度的確定。

在不考慮模度的時(shí)候，建筑甚至可以是一個(gè)模型，是隨意丟棄的一團(tuán)紙。建筑模型與建筑的差別只是一個(gè)等比例的縮放，在拓?fù)涞挠^點(diǎn)下，他們是等價(jià)的，沒(méi)有差別，但模型畢竟不是建筑本事，而是未建成的建筑。

決定了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之后，建筑師只是有了一個(gè)模糊的建筑概念，具體化建筑模度仍然是實(shí)現(xiàn)建筑的重要步驟。這個(gè)步驟使得建筑能夠適應(yīng)使用者的尺度，從而在建筑的維度中加入了人的因素。

從莫比烏斯帶到克萊因瓶屋

最后談?wù)勂渌矫嫱負(fù)渑c建筑的聯(lián)系，會(huì)涉及到具體的例子。

當(dāng)一個(gè)研習(xí)數(shù)學(xué)的人和普通人談?wù)撏負(fù)淇臻g的時(shí)候，我相信大多數(shù)人都會(huì)提到莫比烏斯帶（如圖7所示），它雖然是一個(gè)二維的帶邊曲面，但是它只有一個(gè)面，倘若有一只螞蟻在上面爬行，它會(huì)爬遍整個(gè)曲面的各個(gè)角落，這樣特殊的拓?fù)錁?gòu)型被用在了家具設(shè)計(jì)上，也有大橋或走道（如圖8所示）借用了這樣的造型。

圖7: 莫比烏斯帶

圖8: 莫比烏斯造型的空中走道

當(dāng)然，這樣的造型在三維空間中大部分是沒(méi)有實(shí)用意義的，對(duì)于走道，由于地心引力的緣故，人不可能從一個(gè)面走道另外一個(gè)面，又是地心引力！

記得上課的時(shí)候董老師講了一個(gè)例子，說(shuō)一個(gè)人要造一個(gè)房子里面就是外面，外面就是里面。這和之前莫比烏斯帶的感覺(jué)很類似，在拓?fù)鋵W(xué)中確實(shí)有這樣的例子，一個(gè)沒(méi)有邊界的曲面（之前的莫比烏斯帶是有邊界的，而且只有一條邊界，注意沒(méi)有邊界不是無(wú)限的意思），而且只有一個(gè)面，它就是克萊因瓶（如圖9所示）。

圖9: 克萊因瓶（三維空間中會(huì)自交）

有趣的，確實(shí)有一個(gè)建筑自稱克萊因瓶屋，如圖10所示。

圖10: 克萊因瓶屋

通過(guò)這個(gè)建筑的圖紙，我并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)他和克萊因瓶的關(guān)系，但從雜志上的一張室內(nèi)照片（如圖11所示）我們可以看出它確實(shí)連通了室內(nèi)和室外，而且還將室外包在了室內(nèi)。其實(shí)這個(gè)時(shí)候，在這個(gè)建筑物中的人已經(jīng)很難區(qū)分室內(nèi)和室外的區(qū)別了。在這張照片的下方寫(xiě)著如下注釋：

The building (we think) is also within that tradition of the use of an experimental geometry that could be adapted to more suitably meet contemporary needs and desires. In that sense it is within the heroic tradition of invigorating the very nature of the home, most notable of this tradition would be the great experimental heroic houses by Melbourne architects in the 50’s (McIntyre and Boyd in particular).

The house revolves around a central courtyard, a grand regal stair connecting all the levels. There is a sense of both being near and far to all occupants.

Its endless, curing shell-like quality particularly in the tee tree brings about a comforting togetherness.

圖11: 克萊因瓶屋內(nèi)部

很明顯，這種空間結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)給使用者以不同的感覺(jué)。室內(nèi)和室外能有機(jī)融合在一起的概念是建筑師全新的設(shè)計(jì)，這靈感正來(lái)自于對(duì)克萊因瓶的認(rèn)識(shí)。
以上兩個(gè)都是關(guān)于一些特殊的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)給建筑造型的啟示，之所以是這樣本質(zhì)不同的建筑造型才能帶給建筑語(yǔ)言以豐富多彩的表達(dá)。

后記

由于沒(méi)有找到文獻(xiàn)系統(tǒng)闡述建筑與拓?fù)涞年P(guān)系，以上拙見(jiàn)僅僅是基于我現(xiàn)有的知識(shí)與這學(xué)期老師講述的課程內(nèi)容（并且我很可能只正確理解了其中極小一部分），很多地方使用的證據(jù)和術(shù)語(yǔ)的運(yùn)用可能并不確切，望老師多多包涵。

注 1 在近代大量的學(xué)科都開(kāi)始使用它，而在數(shù)學(xué)的歷史中，拓?fù)鋵W(xué)已經(jīng)有300年左右的歷史。

注 2 歐拉，18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，也是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被稱為“分析的化身”。

注 3 以下只是我的猜測(cè)，并沒(méi)有文獻(xiàn)支持這樣的觀點(diǎn)。