討論文化問題，可以列舉文化的各個部門：科學(xué)、文學(xué)、藝術(shù)、政治、宗教、倫理……請注意，數(shù)學(xué)也是文化的一部分。數(shù)學(xué)和任何其他學(xué)科不同，它幾乎是任何科學(xué)所不可缺少的。沒有任何一門科學(xué)能像它那樣澤被天下。它是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的語言和工具，這一點大概沒有什么人會懷疑了。它的思想是許多物理學(xué)說的核心，并為它們的出現(xiàn)開辟了道路，了解這一點的人就比較少了。它曾經(jīng)是科學(xué)革命的旗幟，現(xiàn)代科學(xué)之所以成為現(xiàn)代科學(xué)，第一個決定性的步驟是使自己數(shù)學(xué)化。為什么會這樣？因為數(shù)學(xué)在人類理性思維活動中有一些特點。這些特點的形成離不開各個時代的總的文化背景，同時又是數(shù)學(xué)影響人類文化最突出之點。我這里并不想概括什么是數(shù)學(xué)文化，而只是就它對人類精神生活影響最突出之處提出一些看法。誠然，其他的學(xué)科也可能有這些特點，但大抵是與受數(shù)學(xué)的影響分不開的。

    首先，它追求一種完全確定、完全可靠的知識。在這本小書里可以看到許多被吸引到數(shù)學(xué)中來的人正是因為數(shù)學(xué)有這樣的特點。例如說，歐幾里得平面上的三角形內(nèi)角和為 180°，這絕不是說“在某種條件下”，“絕大部分”三角形的內(nèi)角和“在某種誤差范圍內(nèi)”為180°，而是在命題的規(guī)定范圍內(nèi)，一切三角形的內(nèi)角和不多不少為180°。產(chǎn)生這個特點的原因可以由其對象和方法兩個方面來說明。從希臘的文化背景中形成了數(shù)學(xué)的對象并不只是具體問題，數(shù)學(xué)所探討的不是轉(zhuǎn)瞬即逝的知識，而是某種永恒不變的東西。所以，數(shù)學(xué)的對象必須有明確無誤的概念，而且其方法必須由明確無誤的命題開始，并服從明確無誤的推理規(guī)則，借以達(dá)到正確的結(jié)論。通過純粹的思維竟能在認(rèn)識宇宙上達(dá)到如此確定無疑的地步，當(dāng)然會給一切需要思維的人以極大的啟發(fā)。人們自然會要求在一切領(lǐng)域中都這樣去做。正是因為這樣，而且也僅僅因為這樣，數(shù)學(xué)方法既成為人類認(rèn)識方法的一個典范，也成為人在認(rèn)識宇宙和人類自己時必須持有的客觀態(tài)度的一個標(biāo)準(zhǔn)。就數(shù)學(xué)本身而言，達(dá)到數(shù)學(xué)真理的途徑既有邏輯的方面也有直覺的方面，但就其與其他科學(xué)比較而言，就其影響人類文化的其他部門而言，它的邏輯方法是最突出的。這個方法發(fā)展成為人們常說的公理方法。迄今為止，人類知識還沒有哪一個部門應(yīng)用公理方法得到如數(shù)學(xué)那樣大的成功。但是，如果到今天某個知識部門還是只有論斷而沒有論據(jù)，只是一堆相互沒有邏輯聯(lián)系的命題，前后又無一貫性，恐怕是不會有人接受的了。每個論點都必須有根據(jù)，都必須持之有理。除了邏輯的要求和實踐的檢驗以外，無論是幾千年的習(xí)俗、宗教的權(quán)威、皇帝的敕令、流行的風(fēng)尚統(tǒng)統(tǒng)是沒有用的。這樣一種求真的態(tài)度，傾畢生之力用理性的思維去解開那偉大而永恒的謎——宇宙和人類的真面目是什么？——是人類文化發(fā)展到高度的標(biāo)志。這個偉大的理性探索是數(shù)學(xué)發(fā)展必不可少的文化背景，反過來也是數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)于文化最突出的功績之一。

    數(shù)學(xué)作為人類文化組成部分的另一個特點是它不斷追求最簡單的、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙的根本。所有這些研究都是在極抽象的形式下進(jìn)行的。這是一種化繁為簡以求統(tǒng)一的過程。從古希臘起，人們就有一個信念：冥冥之中最深處宇宙有一個偉大的、統(tǒng)一的、而且簡單的設(shè)計圖，這是一個數(shù)學(xué)設(shè)計圖。在一切比較深入的科學(xué)研究后面，必定有一種信念驅(qū)使我們。這個信念就是：世界是合理的，簡單的，因而是可以理解的。對于數(shù)學(xué)研究則還要加上一點：這個世界的合理性，首先在于它可以用數(shù)學(xué)來描述。在古代，這個信念有些神秘色彩。可是發(fā)展到現(xiàn)代，科學(xué)經(jīng)過了多次偉大的綜合。多少隨意地列舉一些：歐幾里得的綜合。牛頓的綜合；麥克斯韋的綜合；愛因斯坦的綜合；量子物理的綜合；計算機(jī)的出現(xiàn)，哪一次不是或多或少遵循這個信念？也許有例外：達(dá)爾文和孟德爾，但是今天已經(jīng)開始，人們在用數(shù)學(xué)去討論物種的進(jìn)化與競爭，討論遺傳的規(guī)律。人們會又一次看見宇宙的根本規(guī)律表現(xiàn)為一種抽象的、至少是數(shù)學(xué)味很重的設(shè)計圖。這不是幻想而是現(xiàn)實。為什么DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)是在卡文迪什實驗室完成，受了研究分子結(jié)構(gòu)的X射線衍射方法那么多好處？難道看不出這也是一種把生命歸結(jié)為最簡單成分的不同位置、不同形式、不同數(shù)量而成的數(shù)學(xué)味很重的結(jié)構(gòu)嗎？這種深層次的研究是能破除迷信的，它鼓勵人們按照最深刻的內(nèi)在規(guī)律來考慮事物。我們?yōu)槭澜鐖D景的精巧和合理而欣喜而驚異。這種感情正是人類文化精神的結(jié)晶。數(shù)學(xué)正是在這樣的文化氣氛中成長的，而反過來推動這種文化氣氛的發(fā)展?，F(xiàn)在應(yīng)該提出的問題是，對這樣一種信念應(yīng)該怎樣去估價？是否還應(yīng)該同時也看到它的不足的一面？從科學(xué)史看來，一直存在一種“還原”的傾向：把復(fù)雜的現(xiàn)象歸結(jié)為一些最簡單的最原始的因素的作用。物體分成了“質(zhì)點”、“電荷”；分成了分子、原子、亞原子的粒子；生物分成了細(xì)胞，然后又是細(xì)胞核、細(xì)胞質(zhì)、染色體、基因、核酸……豐富無比、千差萬別的世界的多樣性似乎越來越被歸納為這些基本的成分或稱為宇宙的磚石在數(shù)量上、形狀上、結(jié)構(gòu)上的差別，這當(dāng)然是數(shù)學(xué)發(fā)揮作用的大好場所。同時也就產(chǎn)生了一種越來越深刻的疑問：大千世界真是由這些最簡單的成分疊加的嗎？難道線性的疊加原理竟是宇宙的最根本法則嗎？由一堆磚石固然可以建成宏偉的紀(jì)念碑，卻也可以搭起一座馬棚，它們的區(qū)別究竟何在？可是，每一個從事數(shù)學(xué)研究的人仍然抱有下面說的信念：想解決這個更深刻的問題——我把它稱為綜合，而把那種還原的傾向稱為分析——仍然要靠數(shù)學(xué)，當(dāng)代數(shù)學(xué)的發(fā)展將越來越證實這一點。

    數(shù)學(xué)的再一個特點是它不僅研究宇宙的規(guī)律，而且也研究它自己。在發(fā)揮自己力量的同時又研究自己的局限性，從不擔(dān)心否定自己，而是不斷反思、不斷批判自己，并且以此開辟自己前進(jìn)的道路。它不斷致力于分析自己的概念，分析自己的邏輯結(jié)構(gòu)。它不斷地反思：自己的概念、自己的方法能走多遠(yuǎn)？從希臘時代起，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為宇宙即數(shù) (他是指自然數(shù))，可是遇到了無理數(shù)，后來的希臘人只好采用不可公度理論，因為弄不清，就干脆不講無理數(shù)，而討論一般的線段長。希臘人甚至不講數(shù)，使希臘數(shù)學(xué)與其他民族——例如中國——相比呈現(xiàn)了缺點。但即令如此，也要保持高度嚴(yán)整，而不允許采取折衷主義的態(tài)度。歷史終于證明，正是希臘人開辟了研究無理數(shù)系的道路。他們研究數(shù)學(xué)，卻同時考慮數(shù)學(xué)研究的對象是否存在。希臘人考慮數(shù)學(xué)對象的存在問題，把存在歸結(jié)為可構(gòu)造，然后就問：“用直尺與圓規(guī)經(jīng)有限步驟去三等分任意角可能嗎？”因為弄不清是否可能，即沒有構(gòu)造的方法以證明三等分角的存在，他們的幾何學(xué)中干脆不講一個角的三分之一，只講平分線，從不講角三分線。越向后面發(fā)展，數(shù)學(xué)就出現(xiàn)了越來越多的“不可能性”：x 2 +1=0不可能在實數(shù)域中求解，五次以上的方程不能用根式求解。平行線公理能不能證明？到20世紀(jì)初才知道是既不能證明又不能否證。大家都說，數(shù)學(xué)最需要嚴(yán)格性，數(shù)學(xué)家就要問什么叫嚴(yán)格性？大家都說，數(shù)學(xué)在證明一串串的定理，數(shù)學(xué)家就要問什么叫證明？數(shù)學(xué)越發(fā)展，取得的成就越大，數(shù)學(xué)家就越要問自己的基礎(chǔ)是不是鞏固。越是在表面上看來沒有問題的地方，越要找出問題來。乘法明明是可以交換的，偏偏要研究不可交換的乘法。孟子自嘲地說：“予豈好辯哉？予不得已也！”數(shù)學(xué)家只需要換一個字：“予豈好‘變’哉？予不得已也！”當(dāng)然，任何科學(xué)要發(fā)展就要變。但是只是在與實際存在的事物、現(xiàn)象或?qū)嶒灥慕Y(jié)果發(fā)生矛盾時才變。惟有數(shù)學(xué)，時常是在理性思維感到有了問題時就要變。而且，其他科學(xué)中“變”的傾向時常是由數(shù)學(xué)中的“變”直接或間接引起的。當(dāng)然，數(shù)學(xué)中許多重要的變是由于直覺地感到有變的必要，感到只有變才能直視宇宙的真面目。但無論如何，是先從思維的王國里開始變，即否定自己。這種變的結(jié)果時常是“從一無所有之中創(chuàng)造了新的宇宙”。

    到了最后，數(shù)學(xué)開始懷疑起自己的整體，考慮自己的力量界限何在。大概是到了19世紀(jì)末年，數(shù)學(xué)向自己提出的問題是：“我真是一個沒有矛盾的體系嗎？我真正提供了完全可靠、確定無疑的知識嗎？我自認(rèn)為是在追求真理，可是‘真'究竟是指什么？我證明了某些對象的存在，或者說我無矛盾地創(chuàng)造了自己的研究對象，可是它們確實存在嗎？如果我不能真正地把這些東西構(gòu)造出來，又怎么知道它是存在的呢？我是不是一張空頭支票，一張沒有銀行的支票呢？”

    總之，數(shù)學(xué)是一株參天大樹，它向天空伸出自己的枝葉，吸收陽光。它不斷擴(kuò)展自己的領(lǐng)地，在它的樹干上有越來越多的鳥巢，它為越來越多的學(xué)科提供支持，也從越來越多的學(xué)科中吸取營養(yǎng)。它又把自己的根伸向越來越深的理性思維的土地中，使它越來越牢固地站立。從這個意義上來講，數(shù)學(xué)是人類理性發(fā)展最高的成就 (或者再加上“之一”二字更好一些)。

    數(shù)學(xué)深刻地影響人類精神生活，可以概括為一句話，就是它大大地促進(jìn)了人的思想解放，提高與豐富了人類的整個精神水平。從這個意義上講，數(shù)學(xué)使人成為更完全、更豐富、更有力量的人。愛因斯坦說的“得到解放”，其實正是這個意思。

    數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達(dá)了一種探索精神。數(shù)學(xué)的出現(xiàn)，確實是為了滿足人類的物質(zhì)生活需要?？墒?，離開了這種探索精神，數(shù)學(xué)是無法滿足人的物質(zhì)需要的。“風(fēng)調(diào)雨順”是人類的物質(zhì)生活不可少的?？墒恰拔讕煛钡摹捌碛辍辈灰彩菨M足需要的“手段”之一嗎？人總有一個信念：宇宙是有秩序的。數(shù)學(xué)家更進(jìn)一步相信，這個秩序是可以用數(shù)學(xué)表達(dá)的，因此人應(yīng)該去探索這種深層的內(nèi)在的秩序，以此來滿足人的物質(zhì)需要。因此，數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其永恒的主題是“認(rèn)識宇宙，也認(rèn)識人類自己”。在這個探索過程中，數(shù)學(xué)把理性思維的力量發(fā)揮得淋漓盡致。它提供了一種思維的方法與模式，提供了一種最有力的工具，提供了一種思維合理性的標(biāo)準(zhǔn)，給人類的思想解放打開了道路?，F(xiàn)在人人都知道實驗方法的重要性，但是任何科學(xué)實驗，離開了一定的邏輯思維，將是沒有意義的。在伽利略的時代就是這樣，他的許多實驗都是所謂理想實驗，在近代就更是這樣。在不同的時代有不同的文化，不同的民族有不同的文化。但是，數(shù)學(xué)在文化中的這一地位是不可移易的，并且日益加強(qiáng)。有人認(rèn)為數(shù)學(xué)是現(xiàn)代文化的核心或基石，始終處于中心地位，而影響到人類知識的一切部門。似乎沒有必要去爭這個“中心”或“核心”的地位，但是歷史已經(jīng)證明，而且將繼續(xù)證明，一種沒有相當(dāng)發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的，一個不掌握數(shù)學(xué)作為一種文化的民族也是注定要衰落的。