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說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了  2+6+12=20（天）.  
答：完成這項(xiàng)工作用了20天.  
本題整數(shù)化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了  
例11 一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？  
解：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.  
他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要  答：甲獨(dú)做需要26天.  
事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成.  
例12 某項(xiàng)工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項(xiàng)工作？  解一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是1.  甲組每人每天能完成  乙組每人每天能完成  
甲組2人和乙組7人每天能完成   
答：合作3天能完成這項(xiàng)工作.  
解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.  
現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：  
甲組獨(dú)做12天，乙組獨(dú)做4天，問合作幾天完成？   
小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù).  
例13 制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現(xiàn)在三個車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400個.問丙車間制作了多少個零件？  解一：仍設(shè)總工作量為1.  甲每天比乙多完成  因此這批零件的總數(shù)是  丙車間制作的零件數(shù)目是  
答：丙車間制作了4200個零件.  
解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.  乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知  乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.  已知  
甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.  

綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是  12∶8∶7.  
當(dāng)三個車間一起做時，丙制作的零件個數(shù)是  2400÷（12- 8） × 7= 4200（個）.  
例14 搬運(yùn)一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn).最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？  
解：設(shè)搬運(yùn)一個倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時間是   
答：丙幫助甲搬運(yùn)3小時，幫助乙搬運(yùn)5小時.  
解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個倉庫的時間.本題計算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個倉庫全部工作量為 60.甲每小時搬運(yùn) 6，乙每小時搬運(yùn) 5，丙每小時搬運(yùn)4.  三人共同搬完，需要  
60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小時）.  甲需丙幫助搬運(yùn)  
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小時）.  乙需丙幫助搬運(yùn)  
（60- 5× 8）÷4= 5（小時）.  三、水管問題  
從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.  例15 甲、乙兩管同時打開，9分鐘能注滿水池.現(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經(jīng)過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？  
甲每分鐘注入水量是  乙每分鐘注入水量是  因此水池容積是  
答：水池容積是27立方米.  
例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在  
按預(yù)定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時間注滿水池.問開始時打開了幾根水管？    
答：開始時打開6根水管.  
例17 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要5小時.要排光一池水，單開乙管需要  
、乙、??的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？   
，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出.   
以后（20小時），池中的水已有   
此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能

到達(dá)井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？  看起來它每小時只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時后，它再爬1小時，往上爬了3尺已到達(dá)井口.  
因此，答案是28小時，而不是30小時.  例18 一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？  
解：先計算1個水龍頭每分鐘放出水量.  2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水  4 × 60= 240（立方米）.  
時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是  240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），  8個水龍頭1個半小時放出的水量是  8 × 8 × 90，  
其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.  
打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要  
5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）.  答：打開13個龍頭，放空水池要54分鐘.  
水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.  
例19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？  解：設(shè)滿水池的水量為1.  A管每小時排出  A管4小時排出   
因此，B，C兩管齊開，每小時排水量是  
B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是  
答： B， C兩管齊開要 4 小時 48分才將滿池水排完.  
本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù) 24.  
17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓寫過一本《普遍算術(shù)》一書，書中提出了一個“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題.從本質(zhì)上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.  
例20 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一  
草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？  解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數(shù)×星期數(shù).根據(jù)這一計算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計量單位.   

原有草+4星期新長的草=12×4.  原有草+9星期新長的草=7×9.  由此可得出，每星期新長的草是  （7×9-12×4）÷（9-4）=3.  那么原有草是  
7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.  
對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是  這些草能讓  
90×7.2÷18=36（頭）  牛吃18個星期.  
答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草.  
例20與例19的解法稍有一點(diǎn)不一樣.例20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與“新長的”兩種量統(tǒng)一起來計算.事實(shí)上，如果例19再有一個條件，例如：“打開B管，10小時可以將滿池水排空.”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數(shù)量關(guān)系.但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？  
“牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn).限于篇幅，我們只再舉一個例子.  例21 畫展9點(diǎn)開門，但早有人排隊(duì)等候入場.從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多.如果開3個入場口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)，如果開5個入場口，9點(diǎn)5分就沒有人排隊(duì).問第一個觀眾到達(dá)時間是8點(diǎn)幾分？  
解：設(shè)一個入場口每分鐘能進(jìn)入的觀眾為1個計算單位.  從9點(diǎn)至9點(diǎn)9分進(jìn)入觀眾是3×9，  從9點(diǎn)至9點(diǎn)5分進(jìn)入觀眾是5×5.  因?yàn)橛^眾多來了9-5=4（分鐘），所以每分鐘來的觀眾是  （3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.  9點(diǎn)前來的觀眾是  5×5-0.5×5=22.5.  這些觀眾來到需要  
22.5÷0.5=45（分鐘）.  
答：第一個觀眾到達(dá)時間是8點(diǎn)15分.  
挖一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖要六天完成。甲隊(duì)先挖三天，乙隊(duì)接著挖一天，可挖這條水渠的3/10，兩隊(duì)單獨(dú)挖各需幾天？  
分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30  2÷(3/10-1/6)  =2÷4/30  =15(天)  
1÷(1/6-1/15)=10(天)  
答:甲單獨(dú)做要15天,乙單獨(dú)做要10天 .  
.一件工作，如果甲單獨(dú)做，那么甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才完成。現(xiàn)在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成。若甲乙二人合作，完成工作需多長時間？  
解設(shè):規(guī)定時間為X天.(甲單獨(dú)要X-2天,乙單獨(dú)要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天)  1/(X-2)×2 + X/(X+3)=1  X=12  
規(guī)定要12天完成  

1÷[1/(12-2)+1/(12+3)]  =1÷(1/6)  =6天  
答:兩人合作完成要6天. 例：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要48天完成。甲先做42天，乙做還要幾天？ 答：設(shè)甲的工效為x,乙的工效為y  63x+28y=1  48x+48y=1  x=1/84  y=1/112  
乙還要做（1-42/84）/（1/112）=56（天）