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考慮函數(shù)f(z)=z^2-0.75。固定z0的值后，我們可以通過不斷地迭代算出一系列的z值：z1=f(z0), z2=f(z1), z3=f(z2), ...。比如，當(dāng)z0 = 1時(shí)，我們可以依次迭代出：

z1 = f(1.0) = 1.0^2 - 0.75 = 0.25
z2 = f(0.25) = 0.25^2 - 0.75 = -0.6875
z3 = f(-0.6875) = (-0.6875)^2 - 0.75 = -0.2773
z4 = f(-0.2773) = (-0.2773)^2 - 0.75 = -0.6731
z5 = f(-0.6731) = (-0.6731)^2 - 0.75 = -0.2970
...

    可以看出，z值始終在某一范圍內(nèi)，并將最終收斂到某一個(gè)值上。
    但當(dāng)z0=2時(shí)，情況就不一樣了。幾次迭代后我們將立即發(fā)現(xiàn)z值最終會趨于無窮大：

z1 = f(2.0) = (2.0)^2 - 0.75 = 3.25
z2 = f(3.25) = (3.25)^2 - 0.75 = 9.8125
z3 = f(9.8125) = (9.8125)^2 - 0.75 = 95.535
z4 = f(95.535) = (95.535)^2 - 0.75 = 9126.2
z5 = f(9126.2) = (9126.2)^2 - 0.75 = 83287819.2
...

    經(jīng)過計(jì)算，我們可以得到如下結(jié)論：當(dāng)z0屬于[-1.5, 1.5]時(shí)，z值始終不會超出某個(gè)范圍；而當(dāng)z0小于-1.5或大于1.5后，z值最終將趨于無窮。
    現(xiàn)在，我們把這個(gè)函數(shù)擴(kuò)展到整個(gè)復(fù)數(shù)范圍。對于復(fù)數(shù)z0=x+iy，取不同的x值和y值，函數(shù)迭代的結(jié)果不一樣：對于有些z0，函數(shù)值約束在某一范圍內(nèi)；而對于另一些z0，函數(shù)值則發(fā)散到無窮。由于復(fù)數(shù)對應(yīng)平面上的點(diǎn)，因此我們可以用一個(gè)平面圖形來表示，對于哪些z0函數(shù)值最終趨于無窮，對于哪些z0函數(shù)值最終不會趨于無窮。我們用深灰色表示不會使函數(shù)值趨于無窮的z0；對于其它的z0，我們用不同的顏色來區(qū)別不同的發(fā)散速度。由于當(dāng)某個(gè)時(shí)候|z|>2時(shí)，函數(shù)值一定發(fā)散，因此這里定義發(fā)散速度為：使|z|大于2的迭代次數(shù)越少，則發(fā)散速度越快。這個(gè)圖形可以編程畫出。和上次一樣，我用Pascal語言，因?yàn)槲也粫﨏的圖形操作。某個(gè)MM要過生日了，我把這個(gè)自己編程畫的圖片送給她^_^

{$ASSERTIONS+}

uses graph;

type
   complex=record
      re:real;
      im:real;
   end;

operator * (a:complex; b:complex) c:complex;
begin
   c.re := a.re*b.re - a.im*b.im;
   c.im := a.im*b.re + a.re*b.im;
end;

operator + (a:complex; b:complex) c:complex;
begin
   c.re := a.re + b.re;
   c.im := a.im + b.im;
end;

var
   z,c:complex;
   gd,gm,i,j,k:integer;
begin
   gd:=D8bit;
   gm:=m640x480;
   InitGraph(gd,gm,'');
   Assert(graphResult=grOk);

   c.re:=-0.75;
   c.im:=0;
   for i:=-300 to 300 do
   for j:=-200 to 200 do
   begin
      z.re:=i/200;
      z.im:=j/200;
      for k:=0 to 200 do
      begin
         if sqrt(z.re*z.re + z.im*z.im) >2 then break
         else z:=(z*z)+c;
      end;
      PutPixel(i+300,j+200,k)
   end;

   readln;
   CloseGraph;
end.

    代碼在Windows XP SP2，F(xiàn)PC 2.0下通過編譯，麻煩大家?guī)兔?bào)告一下程序運(yùn)行是否正常（上次有人告訴我說我寫的繪圖程序不能編譯）。在我這里，程序運(yùn)行的結(jié)果如下：

    這個(gè)美麗的分形圖形表現(xiàn)的就是f(z)=z^2-0.75時(shí)的Julia集?？紤]復(fù)數(shù)函數(shù)f(z)=z^2+c，不同的復(fù)數(shù)c對應(yīng)著不同的Julia集。也就是說，每取一個(gè)不同的c你都能得到一個(gè)不同的Julia集分形圖形，并且令人吃驚的是每一個(gè)分形圖形都是那么美麗。下面的六幅圖片是取不同的c值得到的分形圖形。你可能不相信這樣一個(gè)簡單的構(gòu)造法則可以生成這么美麗的圖形，這沒什么，你可以改變上面程序代碼中c變量的值來親自驗(yàn)證。

c = 0.45, -0.1428
  

c = 0.285, 0.01
  

c = 0.285, 0
  

c = -0.8, 0.156
  

c = -0.835, -0.2321
  

c = -0.70176, -0.3842
  



    類似地，我們固定z0=0，那么對于不同的復(fù)數(shù)c，函數(shù)的迭代結(jié)果也不同。由于復(fù)數(shù)c對應(yīng)平面上的點(diǎn)，因此我們可以用一個(gè)平面圖形來表示，對于某個(gè)復(fù)數(shù)c，函數(shù)f(z)=z^2+c從z0=0開始迭代是否會發(fā)散到無窮。我們同樣用不同顏色來表示不同的發(fā)散速度，最后得出的就是Mandelbrot集分形圖形：
    

    前面說過，分形圖形是可以無限遞歸下去的，它的復(fù)雜度不隨尺度減小而消失。Mandelbrot集的神奇之處就在于，你可以對這個(gè)分形圖形不斷放大，不同的尺度下你所看到的景象可能完全不同。放大到一定時(shí)候，你可以看到更小規(guī)模的Mandelbrot集，這證明Mandelbrot集是自相似的。下面的15幅圖演示了Mandelbrot集的一個(gè)放大過程，你可以在這個(gè)過程中看到不同樣式的分形圖形。

網(wǎng)上可以找到很多小程序?qū)崿F(xiàn)Mandelbrot集的放大過程。把上面給出的代碼改一改，你也可以寫出一個(gè)這樣的程序來。

Update：2011 年 8 月 31 日，我對這個(gè)話題做了更進(jìn)一步的討論 http://www./blog/archives/4570