第三章  基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)）

3.1任意角三角函數(shù)

一、知識導學

1．角：角可以看成由一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的幾何圖形.角的三要素是：頂點、始邊、終邊.角可以任意大小，按旋轉(zhuǎn)的方向分類有正角、負角、零角.

2．弧度制：任一已知角的弧度數(shù)的絕對值，其中是以作為圓心角時所對圓弧的長，為圓的半徑.規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制.

3．弧度與角度的換算：；；1.用弧度為單位表示角的大小時，弧度（rad）可以省略不寫.度不可省略.

4．弧長公式、扇形面積公式：,其中為弧長，為圓的半徑.圓的周長、面積公式是弧長公式和扇形面積公式中當時的情形.

5．任意角的三角函數(shù)定義：設是一個任意大小的角，角終邊上任意一點P的坐標是，它與原點的距離是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分別是.這六個函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

6．三角函數(shù)的定義域

7．三角函數(shù)值的符號：各三角函數(shù)值在第個象限的符號如圖所示（各象限注明的函數(shù)為正，其余為負值）

可以簡記為“一全、二正、三切、四余”為正.

二、疑難知識導析

1．在直角坐標系內(nèi)討論角

（1）角的頂點在原點，始邊在軸的正半軸上，角的終邊在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角（或說這個角屬于第幾象限）.它的前提是“角的頂點為原點，角的始邊為軸的非負半軸.否則不能如此判斷某角為第幾象限.若角的終邊落在坐標軸上，就說這個角不屬于任何象限.

（2）與角終邊相同的角的集合表示.

，其中為任意角.終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差整數(shù)倍.

2．值得注意的幾種范圍角的表示法

“0～間的角”指；“第一象限角”可表示為；“小于90的角”可表示為.

3．在弧度的定義中與所取圓的半徑無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).

4．確定三角函數(shù)的定義域時，主要應抓住分母為零時比值無意義這一關(guān)鍵.當終邊在坐標軸上時點P坐標中必有一個為0.

5．根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：（1）一個角的三角函數(shù)值只與這個角的終邊位置有關(guān)，即角與的同名三角函數(shù)值相等；（2），故有，這是三角函數(shù)中最基本的一組不等關(guān)系.

6．在計算或化簡三角函數(shù)關(guān)系式時，常常需要對角的范圍以及相應三角函數(shù)值的正負情況進行討論.因此，在解答此類問題時要注意：（1）角的范圍是什么？（2）對應角的三角函數(shù)值是正還是負？（3）與此相關(guān)的定義、性質(zhì)或公式有哪些？

三、經(jīng)典例題導講

[例1]　若A、B、C是的三個內(nèi)角，且，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（　?。?/span>

①.　?、?　　③.　?、?

A．1            B.2           C.3           D.4

錯解：  ∴  ，故選B

錯因：三角形中大角對大邊定理不熟悉，對函數(shù)單調(diào)性理解不到位導致應用錯誤

正解：法1在中，在大角對大邊，

法2　考慮特殊情形，A為銳角，C為鈍角，故排除B、C、D，所以選A .

[例2]已知角的終邊關(guān)于軸對稱，則與的關(guān)系為　　　　　　　　　.

錯解：∵角的終邊關(guān)于軸對稱，∴+，（

錯因：把關(guān)于軸對稱片認為關(guān)于軸的正半軸對稱.

正解：∵角的終邊關(guān)于軸對稱

∴ 即

說明：（1）若角的終邊關(guān)于軸對稱，則與的關(guān)系為

（2）若角的終邊關(guān)于原點軸對稱，則與的關(guān)系為

（3）若角的終邊在同一條直線上，則與的關(guān)系為

[例3]　已知 ，試確定的象限.

錯解：∵，∴是第二象限角，即

從而

故是第三象限角或第四象限角或是終邊在軸負半軸上的角.

錯因：導出是第二象限角是正確的，由即可確定，

而題中不僅給出了符號，而且給出了具體的函數(shù)值，通過其值可進一步確定的大小，即可進一步縮小所在區(qū)間.

正解：∵，∴是第二象限角，

又由知

，故是第四象限角.

 [例4]已知角的終邊經(jīng)過，求的值.

錯解：

錯因：在求得的過程中誤認為0

正解：若，則，且角在第二象限

若，則，且角在第四象限

說明：（1）給出角的終邊上一點的坐標，求角的某個三解函數(shù)值常用定義求解；

（2）本題由于所給字母的符號不確定，故要對的正負進行討論.

[例5]?。?）已知為第三象限角，則是第　　　象限角，是第　　　象限角；

（2）若，則是第　　　象限角.

解：（1）是第三象限角，即

，

當為偶數(shù)時，為第二象限角

當為奇數(shù)時，為第四象限角

而的終邊落在第一、二象限或軸的非負半軸上.

（2）因為，所以為第二象限角.

點評：為第一、二象限角時，為第一、三象限角，為第三、四象限角時，為第二、四象限角，但是它們在以象限角平分線為界的不同區(qū)域.

[例6]一扇形的周長為20，當扇形的圓心角等于多少時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？

解：設扇形的半徑為，則扇形的弧長

扇形的面積

所以當時，即時.

點評：涉及到最大（?。┲祮栴}時，通常先建立函數(shù)關(guān)系，再應用函數(shù)求最值的方法確定最值的條件及相應的最值.

[例7]已知是第三象限角，化簡.

解：原式＝＝

又是第三象限角，

所以，原式＝.

點評：三角函數(shù)化簡一般要求是：（1）盡可能不含分母；（2）盡可能不含根式；（3）盡可能

使三角函數(shù)名稱最少；（4）盡可能求出三角函數(shù)式的值.本題的關(guān)健是如何應用基本關(guān)系式脫去根式，進行化簡.

[例8]　若角滿足條件，則在第（　　）象限

A.一　　　　　　　　B.二　　　　　　　　　C.三　　　　　　　　　　D.四

解：角在第二象限.故選B.

[例9]　已知，且.

（1）試判斷的符號；

（2）試判斷的符號.

解：（1）由題意，，

，所以.

（2）由題意知為第二象限角，，所以.

四、典型習題導練

1．已知鈍角的終邊經(jīng)過點，且，則的值為    ）

       A．  B．          C．      D．

2．角α的終邊與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，則β為（    ）

A.-α      B.л-α       C.（2kл+1）л-α(k∈Z)      D.kл-α（k∈Z）

3.若sinαtgα≥0,k∈Z，則角α的集合為（    ）

A．[2k－，2k +]                 B.( 2k－,2k+)

C.( 2k－，2k+)∪      D.以上都不對

4．當0＜x＜時,則方程cos (cosx)=0的解集為(     )

A.          B.       C.       D.

5．下列四個值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小關(guān)系是(     )

A.cos3＜tg3＜ctg3＜sine                  B.sin3＞cos3＞tg3＞ctg3

C.cot3＜tan3＜cos3＜sin3                  D.sin3＞tan3＞cos3＞cot3

6．已知x∈(0, ),則下面四式: 中正確命題的序號是        .

①sinx＜x＜tgx        ②sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx)

③sin³x+cos³x＜1      ④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx

7．有以下四組角：(1)k+；(2)k-；(3)2k±；(4)-k+(k∈z)其中終邊相同的是（   ）

A.(1)和(2)                  B.(1)、(2)和(3)   

C.(1)、(2)和(4)              D.(1)、(2)、(3)和(4)

8．若角α的終邊過點(sin30°，-cos30°),則sinα等于（   ）

A.              B.－       C.－        D.－

9．函數(shù)y= 的定義域是______,值域是______.

10．若點P在第一象限，則在［０，2］內(nèi)的取值范圍是（    ）

A.

 B.

 C.

D.