| 現(xiàn)討論流體在重力和莊力作用下的平衡規(guī)律，這時流體處于相對靜止?fàn)顟B(tài)。由于重力就是地心吸力，可以看作是不變的，起變化的是壓力。所以實質(zhì)上是討論靜止流體內(nèi)部壓力（壓強）變化的規(guī)律。描述這一規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為流體靜力學(xué)基本方程式。此方程式可通過下面的方法推導(dǎo)而得。 |
| 在具有密度為ρ的靜止流體中，取一微元立方體，其邊長分別為dx、dy、dz，它們并分別與x、y、z軸平行，如圖1-2所示。 |
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圖1-2 微元流體的靜力平衡
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| 由于流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此所有作用于該立方體上的力在坐標(biāo)軸上的投影之代數(shù)和應(yīng)等于零。 |
| 對于z軸，作用于該立方體上的力有： |
| （1）作用于下底面的壓力為pdxdy。 |
| （2）作用于上底面的壓力為 |
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| （3）作用于整個立方體的重力為-ρgdxdydz。 |
| z軸方向力的平衡式可寫成： |
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| 即 |
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| 上式各項除以dxdydz，則z軸方向力的平衡式可簡化為： |
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 （1-7a）
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| 對于x、y軸，作用于該立方體的力僅有壓力，也可寫出其相應(yīng)的力的平衡式，簡化后得： |
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 x軸（1-7b）
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 y軸（1-7c）
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| 式1-7a、1-7b、1-7c稱為流體平衡微分方程式，積分該微分方程組，可得到流體靜力學(xué)基本方程式。 |
| 將式1-7a、1-7b、1-7c分別乘以z、dx、dy，并相加后得： |
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 （1-7d）
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| 上式等號的左側(cè)即為壓強的全微分dp，于是： |
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 （1-7e）
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| 對于不可壓縮流體，ρ=常數(shù)，積分上式，得： |
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 （1-7f）
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| 液體可視為不可壓縮的流體，在靜止液體中取任意兩點，如圖1-3所示，則有： |
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 （1-8）
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| 或 |
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（1-8a）
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| 為討論方便，對式1-8a進行適當(dāng)?shù)淖儞Q，即使點1處于容器的液面上，設(shè)液面上方的壓強為p0，距液面h處的點2壓強為p，式1-8a可改寫為： |
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（1-8b）
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| 式1-8、1-8a、及1-8b稱為流體靜力學(xué)基本方程式，說明在重力場作用下，靜止液體內(nèi)部壓強的變化規(guī)律。由式1-8b可見： |
| （1）當(dāng)容器液面沙鍋內(nèi)方的壓強p0一定時，靜止液體內(nèi)部任一點壓強p的大小與液體本身的密度ρ和該點距離液面的深長h有關(guān)。因此，在靜止的、連續(xù)的同一液面內(nèi)，處于同一水平面上各點的壓強都相等。 |
| （2）當(dāng)液面上方的壓強p0有改變時，液體內(nèi)部各點的壓強p也發(fā)生同樣大小的改變。 |
| （3）式1-8b可改寫為：（p-p0）/ρg=h |
| 上式說明壓強差的大小可以用一定高度的液體柱表示，這就是前面所介紹的壓強可以用mmHg、mmH2O等單位來計量的依據(jù)。當(dāng)用液柱高度來表示壓強或壓強差時，必須注明是何種液體，否則就失去了意義。 |
| 式1-8、1-8a、及1-8b是以恒密度推導(dǎo)出來的。液體的密度可視為常數(shù)，而氣體的密度除隨溫度變化外還隨壓強而變化，因此也隨它在容器內(nèi)的位置高低而改變但在化工容器里這種變化一般可以忽略。因此，式1-8、1-8a、及1-8b也適用于氣體，所以這些式于統(tǒng)稱為流體靜力學(xué)基本方程式。 |
| 值得注意的是，上述方程式只能用于靜止的連通著的同一種連續(xù)的流體。 |
| 【例1-2】本題附圖所示的開口容器內(nèi)盛有油和水。油層高度h1=0.7m、密度ρ1=800kg/m3，水層高度h2=0.6m、密度ρ2=1000kg/m3。 |
| （1）判斷下列兩關(guān)系是否成立，即： |
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pA=pA′ pB=pB′
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| （2）計算水在玻璃管內(nèi)的高度h。 |
| 解： |
| （1）判斷題給兩關(guān)系式是否成立 |
| pA=pA′的關(guān)系成立。因A及A′兩點在徑直的連通著的同一種液體內(nèi)，并在同一水平面上。所以截面A-A′稱為等壓面。 |
| pB=pB′不能成立。因B及B′兩點雖在靜止流體的同一水平面上，但不是連通著的同一種液體，即截面B-B′不是等壓面。 |
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附圖1-2 附圖
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| （2）計算玻璃管內(nèi)水的高度h |
| 由上面討論知，pA=pA′，而pA與pA′都可以用流體靜力學(xué)基本方程計算，即： |
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pA=pa+ρ1gh1+ρ2gh2
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pA′=pa+ρ2gh
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| 于是pa+ρ1gh1+ρ2gh2=pa+ρ2gh |
| 簡化上式并將已知值代入，得： |
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800×0.7+1000×0.6=1000h | |
