基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試要點剖析二

勵耕館 2013-09-21

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2．空間與圖形

按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對學(xué)習(xí)內(nèi)容的分類，“空間與圖形”部分的課程內(nèi)容主要包括“圖形的認識”、“圖形與變換”、“圖形與坐標(biāo)”、“圖形與證明”等。而每一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)重心、基本要點將毫無疑問的成為重點考查內(nèi)容。

特別需要指出的是，培養(yǎng)學(xué)生的“空間觀念”成為整個“空間與圖形”部分的最主要課程目標(biāo)。而對于什么是空間觀念，《課程標(biāo)準(zhǔn)》沒有給出明確界定。但《課程標(biāo)準(zhǔn)》描述了“空間觀念”的一些外在表現(xiàn)，具體包括：

①“能夠由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化”；

②“能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形”；

上述兩者都側(cè)重于三維實物與平面圖形的轉(zhuǎn)化，強調(diào)的是一種基于觀察、實驗基礎(chǔ)上的實踐能力，是“空間觀念”最為直接的一種表現(xiàn)形態(tài)。進一步，《標(biāo)準(zhǔn)》指出了“空間觀念”在分析、抽象層面上的表現(xiàn)：

③“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形”；

④“能描述實物或幾何圖形的運動、變化”；

⑤“能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的相互關(guān)系”，如向其他人描述你所見到的幾何形體等；

⑥“能運用圖形形象地描述問題，利用直觀進行思考”，如能根據(jù)照片判斷拍攝照片的大致時間以解決實際問題等。

這是主動應(yīng)用“空間觀念”解決實際問題意識的行為表現(xiàn)。

例17 舉出（或畫出）兩種不同類型的幾何體，使得兩種幾何體的左視圖都是三角形（或圓、長方形等）。

例18 下圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖.

（1）請你畫出這個幾何體的一種左視圖；

（2）若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，

請你寫出n的所有可能值.

考查內(nèi)容：幾何體與圖形之間轉(zhuǎn)換關(guān)系、作圖、表示；探索與描述幾何對象的變化規(guī)律；借助圖像進行推理等。

⑴ 圖形的認識

這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)重點，將不僅僅是那些特定的結(jié)論，還應(yīng)當(dāng)包括探索結(jié)論過程中所運用的重要數(shù)學(xué)方法。具體包括：

能估計并會比較角的大小，會進行度、分、秒之間的簡單換算。了解角的平分線、線段垂直平分線及其性質(zhì)，能找出特定角的補角、余角和對頂角，理解等角的余角和補角相等，對頂角相等。在了解垂線段最短的性質(zhì)基礎(chǔ)上，理解兩點間距離、點到直線的距離、兩條平行線間距離等概念之間的聯(lián)系。能夠選擇恰當(dāng)?shù)墓ぞ弋嬕粭l直線的垂線、平行線；知道過定點只能畫一條直線垂直于（平行于）給定直線。掌握兩條直線平行與垂直的概念，并能夠運用平行線的性質(zhì)解決幾何問題。會畫出任意三角形的角平分線、中線、高、內(nèi)心和外心。了解三角形中位線及其性質(zhì)。掌握兩個三角形全等的條件。理解等腰三角形、直角三角形的概念及其性質(zhì)。會運用勾股定理及其逆定理解決問題。了解正三角形、正多邊形的概念。了解多邊形內(nèi)角和與外角和公式及其由來。掌握平行四邊形、梯形、矩形、菱形、正方形的概念和性質(zhì)，了解它們之間的關(guān)系。了解線段、三角形、平行四邊形、矩形的重心及物理意義。能用三角形、四邊形或正方形進行簡單的鑲嵌設(shè)計，并理解圖形鑲嵌（密鋪）的原理。理解圓及其性質(zhì)，了解弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系，會計算弧長及扇形面積；了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；知道直徑所對圓周角為直角。了解切線的概念，知道切線與過切點的半徑互相垂直，能判定直線與圓是否相切，會過圓上一點畫圓的切線。能夠完成以下基本作圖（對于尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法即可，不要求證明）：（1）作一條線段等于已知線段。（2）作一個角等于已知角。（3）作某個已知角的平分線。（4）作某條已知線段的垂直平分線。（5）已知三邊作三角形。（6）已知兩邊及其夾角作三角形。（7）已知兩角及其夾邊作三角形。（8）已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。（9）過不在同一直線上的三點作圓。

正確認識基本幾何體：直棱柱、圓柱、圓錐、球。既能夠根據(jù)基本幾何體（包括實物原型）判斷和繪制主視圖、左視圖、俯視圖，也能夠根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖描述基本幾何體。既了解直棱柱、圓錐、圓柱的展開圖，會計算它們的側(cè)面積和全面積，又能夠根據(jù)展開圖判斷和制作相應(yīng)的立體模型。了解幾何體、三視圖、展開圖之間的關(guān)系，并能夠?qū)⑦@種關(guān)系應(yīng)用到現(xiàn)實生活中。能夠繪制簡單的平面圖和立體圖，比較清晰地反映視點、視角和盲區(qū)。了解生活中中心投影和平行投影的實例，能對兩者進行區(qū)分。

例19 如圖，已知方格紙中的每個小方格都是相同的正方形，∠AOB畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標(biāo)出一個點P，使點P落在∠AOB的平分線上。

考查內(nèi)容：多角度、深層次理解角平分線概念，以及與角平分線概念相聯(lián)系的其它概念和原理。

⑵ 圖形與變換

作為一個學(xué)習(xí)主題，該部分的重點在于對變換現(xiàn)象的了解、應(yīng)用（特別是在探索圖像性質(zhì)過程中），而不是變換本身的性質(zhì)熟悉。具體考查內(nèi)容包括：

了解現(xiàn)實生活中的鏡面對稱現(xiàn)象，能找出常見的軸對稱圖形并指出對稱軸，掌握軸對稱圖形具有的基本性質(zhì)，并利用軸對稱性進行圖案設(shè)計。能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形。知道等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓的軸對稱性及其相關(guān)性質(zhì)。

了解現(xiàn)實生活中的平移現(xiàn)象和實例，理解平移的基本性質(zhì)：對應(yīng)點連線平行且相等。能按照要求作出簡單平面圖形平移后的圖形，并利用平移進行圖案設(shè)計。

了解現(xiàn)實生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象和實例，了解平行四邊形和圓是中心對稱圖形。理解旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等。能按照要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，并利用旋轉(zhuǎn)進行圖案設(shè)計。

在了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段等概念基礎(chǔ)上，能正確認識圖形的相似，理解相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面積的比等于對應(yīng)邊比的平方。了解兩個三角形相似的概念以及相似的條件，能利用圖形的相似解決一些實際問題。了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。了解黃金分割比在建筑和藝術(shù)上的價值。

了解銳角三角函數(shù)（sinA，cosA, tanA），知道 30°，45°,60°角的三角函數(shù)值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角，并能運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實際問題。

例20．從下面兩題中任選一題進行解答：

（1）先在上面的一塊方格紙上畫一個軸對稱圖形作為基礎(chǔ)圖形，再將基礎(chǔ)圖形去掉或添上一部分，使新圖形仍為軸對稱圖形，畫在下面的方格紙上。

（2）先在上面的一塊方格紙上畫一個軸對稱圖形作為基礎(chǔ)圖形，再將基礎(chǔ)圖形的一部分平移或旋轉(zhuǎn)到剩余圖形的某一位置組成新的圖形，使新圖形仍為軸對稱圖形，畫在下面的方格紙上。

基礎(chǔ)圖形變換圖形

考查內(nèi)容：軸對稱圖形的基本性質(zhì)、能按照要求作出簡單平面圖形平移（旋轉(zhuǎn)）后的圖形，利用平移（旋轉(zhuǎn)）進行圖案設(shè)計。

例21 取兩塊完全重合的正方形紙片，將上面的一塊繞正方形的中心O旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)時兩個正方形的公共部分構(gòu)成一個多邊形，如圖的公共部分是一個八邊形，那么在旋轉(zhuǎn)過程中公共部分可能是七邊形嗎？說說你的理由。

考查內(nèi)容：旋轉(zhuǎn)變換的基本特點，對稱現(xiàn)象的應(yīng)用。

⑶ 圖形與坐標(biāo)

這里，坐標(biāo)首先是作為表達幾何對象位置（關(guān)系）的一種重要方式，它服務(wù)于培養(yǎng)學(xué)生空間觀念這個首要目標(biāo)。其次，它還是數(shù)形結(jié)合的一個典型內(nèi)容。因此，對它的考查包括：

能畫出平面直角坐標(biāo)系；在給定的直角坐標(biāo)系中，會根據(jù)坐標(biāo)描出點的位置，或者由點的位置寫出它的坐標(biāo)。能在方格紙上建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置。在同一直角坐標(biāo)系中，明白圖形變換與點的坐標(biāo)變化之間的關(guān)系。會用多種方式確定物體的位置。

例22 如圖，如果所在位置的坐標(biāo)為（－1,－2），所在位置的坐標(biāo)為（2,－2），那么，所在位置的坐標(biāo)為 .

考查內(nèi)容：能否建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置。

⑷ 圖形與證明

這一部分內(nèi)容歷來是我們初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點，有時甚至可以說是最關(guān)鍵的部分。但是，以往的考查面則比較“窄”──基本是證明給定圖形的某個性質(zhì)，或圖形之間的關(guān)系，如：圖形A是平行四邊形，圖形B與圖形C全等，等等。而《課程標(biāo)準(zhǔn)》則對此賦予了更為豐富的課程目標(biāo)，如：能夠利用合情推理的方式猜測結(jié)論，等等。具體的考查內(nèi)容包括：

了解證明的含義，理解證明的必要性，明白幾何的演繹體系對數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價值。了解逆命題的概念，會區(qū)分命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立。能夠通過合情推理獲得數(shù)學(xué)猜想。理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的，初步了解反證法的含義。掌握用綜合法證明的格式，能保證證明的過程步步有據(jù)。能靈活運用課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的基本事實作為證明的依據(jù)進行幾何推理。

例23 某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形一定為正多邊形”這個命題是否成立時，進行了一些討論。甲同學(xué)在討論中提到了圓內(nèi)接矩形；乙同學(xué)找來了這樣一個幾何事實：（圖一），△ABC是正三角形，＝＝，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等。丙同學(xué)認為當(dāng)邊數(shù)是5時這個命題是成立的，于是他猜想邊數(shù)是7時這個命題仍然成立。