圓錐曲線——橢圓

二. 教學(xué)目標(biāo)：

掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。

三. 知識(shí)要點(diǎn)：

1. 定義：①平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)F₁、F₂的距離之和等于常數(shù)（大于|F₁F₂|，即），這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓（這兩個(gè)定點(diǎn)叫焦點(diǎn)）.

②點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e（0<e<1），則P點(diǎn)的軌跡是橢圓。

2. 橢圓參數(shù)的幾何意義，如下圖所示：

（1）|PF₁|+|PF₂|=2a，|PM₂|+|PM₁|=，==e；

（2），；

（3）|BF₂|=|BF₁|=a，|OF₁|=|OF₂|=c；

（4）|F₁K₁|=|F₂K₂|=p=，

3. 標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式

和其中。

橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是，離心率是，通徑的長(zhǎng)是焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離），焦參數(shù)（通徑長(zhǎng)的一半）。范圍：，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)=2b，焦距＝2c ，

【典型例題】

例1. 已知橢圓的焦點(diǎn)是，直線是橢圓的一條準(zhǔn)線.

① 求橢圓的方程;

② 設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且，求cos.

解：①.

②設(shè)則

又，

例2. 求中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為且被直線截得的弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)為的橢圓方程.

解：設(shè)橢圓方程 ，，，

因?yàn)橄?/span>AB中點(diǎn)，所以。

由得，（點(diǎn)差法）

所以

   又  。

例3. 已知F₁為橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF₁⊥F₁A，PO∥AB（O為橢圓中心）時(shí)，求橢圓的離心率.

分析：求橢圓的離心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一個(gè)量表示.本題沒有具體數(shù)值，因此只需把a、c用同一個(gè)量表示，由PF₁⊥F₁A，PO∥AB易得b=c，a=b.

解：設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），F₁（－c，0），c²=a²－b²，

則P（－c，b），即P（－c，）.

∵AB∥PO，∴k_AB=k_OP，

即－=.∴b=c.

又∵a==b，

∴e===.

點(diǎn)評(píng)：由題意準(zhǔn)確畫出圖形，利用橢圓方程及直線平行與垂直的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

例4. 如下圖，設(shè)E：+=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁與F₂，且P∈E，∠F₁PF₂=2θ.  求證：△PF₁F₂的面積S=b²tanθ.

分析：有關(guān)圓錐曲線問題用定義去解決比較方便.如本題，設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，則S=r₁r₂sin2θ.若能消去r₁r₂，問題即獲解決.

證明：設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，

則S=r₁r₂sin2θ，又|F₁F₂|=2c，

由余弦定理有

（2c）²=r₁²+r₂²－2r₁r₂cos2θ

=（r₁+r₂）²－2r₁r₂－2r₁r₂cos2θ

=（2a）²－2r₁r₂（1+cos2θ），

于是2r₁r₂（1+cos2θ）=4a²－4c²=4b².

所以r₁r₂=.

從而有 S=·sin2θ=b²=b²tanθ.

點(diǎn)評(píng)：①解與△PF₁F₂（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的問題，常用正弦定理或余弦定理，并結(jié)合|PF₁|+|PF₂|=2a來(lái)解決.

②我們?cè)O(shè)想點(diǎn)P在E上由A向B運(yùn)動(dòng)，由于△PF₁F₂的底邊F₁F₂為定長(zhǎng)，而高逐漸變大，故此時(shí)S逐漸變大.所以當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)S取得最大值.由于b²為常數(shù)，所以tanθ逐漸變大.因2θ為三角形內(nèi)角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，）.這樣，θ也逐漸變大，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，∠F₁PF₂取得最大值.故本題可引申為求最值問題，

例5. 若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為，且OA⊥OB，求橢圓的方程.

分析：欲求橢圓方程，需求a、b，為此需要得到關(guān)于a、b的兩個(gè)方程，由OM的斜率為.OA⊥OB，易得a、b的兩個(gè)方程.

解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（，）.

由 ，∴（a+b）x²－2bx+b－1=0.

∴=，=1－=.

∴M（，）.

∵k_OM=，∴b=a.       ①

∵OA⊥OB，∴·=－1.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

∵x₁x₂=，y₁y₂=（1－x₁）（1－x₂），

∴y₁y₂=1－（x₁+x₂）+x₁x₂=1－+=.

∴+=0.

∴a+b=2.                                   ②

由①②得a=2（－1），b=2（－1）.

∴所求方程為2（－1）x²+2（－1）y²=1.

點(diǎn)評(píng)：直線與橢圓相交的問題，通常采取設(shè)而不求，即設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），但不是真的求出x₁、y₁、x₂、y₂，而是借助于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決問題.由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0是解決本題的關(guān)鍵.

例6. 已知橢圓=1，能否在此橢圓上位于y軸左側(cè)的部分上找一點(diǎn)M，使它到左準(zhǔn)線的距離是它到兩焦點(diǎn)F₁，F₂的距離的等比中項(xiàng)?

解：由方程知e=1/2，假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，y₀）滿足條件，

即  =1且x₀∈[─2，0），

有   d²=|MF₁||MF₂|（d為M到準(zhǔn)線的距離），

∵ |MF₁|=a+ex₀=2+x₀/2， |MF₂|=a─ex₀=2─x₀/2， d=4+x₀，

∴ （4+x₀）²=4─x₀²/4，

∴x₀=─12/5或x₀=─4，這與x₀∈[─2，0）矛盾，

故點(diǎn)M不存在.

點(diǎn)評(píng)：范圍問題和求值問題的解法基本上沒有區(qū)別，主要是把它當(dāng)成求值問題來(lái)處理，最后通常轉(zhuǎn)化為方程有解問題或函數(shù)的值域問題，而且一般是二次的.

小結(jié)：

橢圓的定義、方程、幾何性質(zhì).難點(diǎn)是理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，及利用第二定義解決問題，關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的運(yùn)用.為此在教學(xué)中注意以下幾點(diǎn)：

（1）橢圓中有一個(gè)十分重要的三角形OF₁B₂（如圖），它的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c.

易見c²=a²－b²，且若記∠OF₁B₂=θ，則cosθ==e.

（2）應(yīng)理解橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，本質(zhì)上，它與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，而坐標(biāo)系是研究的手段.實(shí)際上，人們研究圓錐曲線的記錄早于笛卡兒發(fā)明坐標(biāo)系，從而橢圓本身所固有的性質(zhì)并不依賴于坐標(biāo)系，這些性質(zhì)不因坐標(biāo)系的選擇而改變.例如上述的△OF₁B₂、公式cosθ=e等，均不因坐標(biāo)系的改變而改變.

（3）橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于|F₁F₂|.因?yàn)楫?dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F₁、F₂的距離之和等于|F₁F₂|時(shí)，其動(dòng)點(diǎn)軌跡就是線段F₁F₂；當(dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F₁、F₂的距離之和小于|F₁F₂|時(shí)，其軌跡不存在.

（4）使用橢圓的第二定義時(shí)，一定要注意動(dòng)點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離之比為常數(shù)e.若使用的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線不是對(duì)應(yīng)的，則上述之比就不再是常數(shù)了.

【模擬試題】

1. 如果橢圓上的點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離等于4，那么點(diǎn)A 到兩條準(zhǔn)線的距離分別是  （     ）

A. 8，                  B. 10，                 C. 10，6                       D. 10，8

2. 橢圓的兩焦點(diǎn)把兩準(zhǔn)線間的距離三等分，則這個(gè)橢圓的離心率是 （    ）

A.                           B.                       C.                         D. 以上都不對(duì)

3. P為橢圓上的點(diǎn)，是兩焦點(diǎn)，若，則的面積是（      ）

A.                    B.             C.            D. 16

4. 橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F為右焦點(diǎn)，橢圓上有一點(diǎn)M，使最小，則點(diǎn)M為（     ）

A.                               C.                   D.

5. 橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且過點(diǎn)（2，1），則它的方程是_____________.

6. 如圖分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是____.

7. 設(shè)A（-2，0），B（2，0），的周長(zhǎng)為10，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為： __________.

8. 橢圓上有兩點(diǎn)P、Q ，O為原點(diǎn)，若OP、OQ斜率之積為，則為  （      ）

A. 4                             B. 64                           C. 20                           D. 不確定  

9. P是橢圓上一定點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則___________.

10. 圓心在軸的正半軸上，過橢圓的右焦點(diǎn)且與其右準(zhǔn)線相切的圓的方程為 ____________.

11. 點(diǎn)P在橢圓+=1上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是____________.

12. 橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是，求這個(gè)橢圓方程.

13. 直線l過點(diǎn)M（1，1），與橢圓+=1相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M，試求直線l的方程.

【試題答案】

1. B

2. C 解析：

3. B 解析： 設(shè)，列方程求解.

4. A 解析： 等于M到右準(zhǔn)線的距離.

5.

6.  .

7.

8. C 解析： 設(shè)直線方程為 ，解出，寫出

9. .

10.

11.

12. 由題設(shè)條件可知a=2c，b=c，又a－c=，解得a²=12，b²=9.∴所求橢圓的方程是+=1或+=1.

13. 解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），

則   +=1，                     ①

+=1.                         ②

①－②，得

+=0.

∴=－·.

又∵M為AB中點(diǎn)，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2.

∴直線l的斜率為－.

∴直線l的方程為y－1=－（x－1），即3x+4y－7=0.