復(fù)習(xí)第九章  電磁感應(yīng)

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：

電磁感應(yīng)中的幾類典型問題

（一）電磁感應(yīng)中的動(dòng)力學(xué)問題

       電磁感應(yīng)和力學(xué)問題的綜合，其聯(lián)系橋梁是磁場(chǎng)對(duì)感應(yīng)電流的安培力，因?yàn)楦袘?yīng)電流與導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)的加速度有相互制約的關(guān)系，這類問題中的導(dǎo)體一般不是做勻變速運(yùn)動(dòng)，而是經(jīng)歷一個(gè)動(dòng)態(tài)變化過程再趨于一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，故解這類問題時(shí)正確進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析確定最終狀態(tài)是解題的關(guān)鍵。

  1. 受力情況、運(yùn)動(dòng)情況的動(dòng)態(tài)分析、思考路線是：導(dǎo)體受力運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)→感應(yīng)電流→通電導(dǎo)體受安培力→合外力變化→加速度變化→速度變化→感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)變化→…，周而復(fù)始地循環(huán)，直至最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)加速度為零，而速度v通過加速達(dá)到最大值，做勻速直線運(yùn)動(dòng)或通過減速達(dá)到穩(wěn)定值做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

  2. 解決此類問題的基本步驟

       （1）用法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律（包括右手定則）求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向。

       （2）依據(jù)全電路歐姆定律，求出回路中的電流強(qiáng)度。

       （3）分析導(dǎo)體的受力情況（包含安培力，可利用左手定則確定所受安培力的方向）。

       （4）依據(jù)牛頓第二定律列出動(dòng)力學(xué)方程或平衡方程，或運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，或能量守恒方程，然后求解。

  例1. （2004·上海）水平面上兩根足夠長的金屬導(dǎo)軌平行固定放置，間距為L，一端通過導(dǎo)線與阻值為R的電阻連接；導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿（見圖甲），金屬桿與導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)豎直向下。用與導(dǎo)軌平行的恒定拉力F作用在金屬桿上，桿最終將做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)改變拉力的大小時(shí)，相對(duì)應(yīng)的勻速運(yùn)動(dòng)速度v也會(huì)變化，v和F的關(guān)系如圖乙。（取重力加速度g=10m/s²）

       （1）金屬桿在勻速運(yùn)動(dòng)之前做什么運(yùn)動(dòng)？

       （2）若m=0.5kg，L=0.5m，R=0.5Ω，磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多大？

       （3）由v—F圖線的截距可求得什么物理量？其值為多少？

       解析：（1）變速運(yùn)動(dòng)（或變加速運(yùn)動(dòng)、加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)）

       （2）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv

       感應(yīng)電流：

       安培力：

       由圖線可知金屬桿受拉力、安培力和阻力的作用，勻速時(shí)合力為零。

       由圖線可知直線的斜率為K=2，得

       （3）由直線的截距可以求得金屬桿受到的阻力f，。若金屬桿受到的阻力僅為動(dòng)摩擦力，由截距可求得動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4。

       答案：（1）變速運(yùn)動(dòng)          （2）1T        （3）動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4

（二）電磁感應(yīng)中的電路問題

  1. 求解電磁感應(yīng)中電路問題的關(guān)鍵是清楚內(nèi)電路和外電路。“切割”磁感線的導(dǎo)體和磁通量變化的線圈都相當(dāng)于“電源”，該部分導(dǎo)體的電阻，相當(dāng)于內(nèi)電阻，而其余部分的電路則是外電路

  2. 幾個(gè)公式：

       ①感生電動(dòng)勢(shì)

動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E=BLv（B、L、v兩兩垂直）

電源內(nèi)部電流由負(fù)極到正極

②感生電荷量與磁通量變化的時(shí)間無關(guān)，q為通過電源的總電荷量。

  3. 解決此類問題的基本步驟：

       ①用法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律或右手定則確定感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向。

②分析內(nèi)、外電路的結(jié)構(gòu)。

③應(yīng)用閉合電路的歐姆定律和部分電路歐姆定律及串、并聯(lián)規(guī)律、電功率計(jì)算公式等聯(lián)立求解。

  例2. 如圖所示，有一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.40T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感線垂直地穿過半徑l=20cm的金屬環(huán)。OA是一根金屬棒，它貼著圓環(huán)沿順時(shí)針方向繞O點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，OA棒的電阻r=0.40Ω，電路上三只電阻，圓環(huán)與其他導(dǎo)線的電阻不計(jì)。當(dāng)電阻消耗的電功率為時(shí)，OA棒的角速度是多大？

       解析：OA金屬棒切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，把它當(dāng)作電源，根據(jù)題意畫出等效電路，如圖所示。

       由

       三個(gè)電阻并聯(lián)，并且三個(gè)電阻相等，所以外電路的總電阻為

       而總電流為，故電源電動(dòng)勢(shì)為

       根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得

       答案：90rad/s

  例3. 矩形線圈abcd，長ab=20cm，寬bc=10cm，匝數(shù)n=200，線圈回路總電阻R=5Ω。整個(gè)線圈平面內(nèi)均有垂直于線框平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)穿過，若勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖所示，求：

       （1）線圈回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流；

       （2）當(dāng)t=0.3s時(shí)，線圈的ab邊所受的安培力大??；

       （3）在1min內(nèi)線圈回路產(chǎn)生的焦耳熱。

       解析：磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率

       感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

       感應(yīng)電流為

       （2）當(dāng)t=0.3s時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，則安培力為

       （3）

       答案：（1）2V      0.4A              （2）3.2N            （3）48J

  例4. （2004·河南）圖中為在同一豎直面內(nèi)的金屬導(dǎo)軌，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌所在的平面（紙面）向里。導(dǎo)軌的段是豎直的，距離為l₁；段也是豎直的，距離為l₂，為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細(xì)桿，質(zhì)量分別為，它們都垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持光滑接觸。兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿上的豎直向上的恒力。已知兩桿運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，已勻速向上運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。

       解析：設(shè)桿向上運(yùn)動(dòng)的速度為v，因桿的運(yùn)動(dòng)，兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積減少，從而磁通量也減少，由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小

       回路中的電流

電流沿順時(shí)針方向，兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿的安培力為

（方向向上）

作用于桿的安培力為

（方向向下）

當(dāng)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有

解以上各式

作用于兩桿的重力功率的大小

電阻上的熱功率

答案：

（三）電磁感應(yīng)中的能量轉(zhuǎn)化問題

  1. 電磁感應(yīng)過程實(shí)質(zhì)是不同形式的能量轉(zhuǎn)化的過程，電磁感應(yīng)過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電流在磁場(chǎng)中必定受到安培力作用。因此要維持安培力存在，必須有“外力”克服安培力做功。此過程中，其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能?！巴饬Α笨朔才嗔ψ龆嗌俟?，就有多少其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能。當(dāng)感應(yīng)電流通過用電器時(shí)，電能又轉(zhuǎn)化為其他形式的能。

       同理，安培力做功的過程，是電能轉(zhuǎn)化為其他形式的能的過程，安培力做多少功就有多少電能轉(zhuǎn)化為其他形式的能。

  2. 電能求解思路主要有三種：

       ①利用克服安培力求解：電磁感應(yīng)中產(chǎn)生的電能等于克服安培力所做的功；

②利用能量守恒求解：開始的機(jī)械能總和與最后的機(jī)械能總和之差等于產(chǎn)生的電能；

③利用電路特征來求解：通過電路中所產(chǎn)生的電能來計(jì)算。

  3. 解電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量守恒問題的一般步驟：

       ①在電磁感應(yīng)中，切割磁感線的導(dǎo)體或磁通量發(fā)生變化的回路將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，該導(dǎo)體或回路就相當(dāng)于電源。

②分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量發(fā)生了相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)特別注意對(duì)下面第c條的理解和應(yīng)用。

a. 有摩擦力做功，必有內(nèi)能產(chǎn)生；

b. 有重力做功，重力勢(shì)能必然發(fā)生變化；

c. 克服安培力做功，必然有其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能，并且克服安培力做多少功，就產(chǎn)生多少電能；

d. 如果是安培力做正功，就是電能轉(zhuǎn)化為其他形式的能。

③列有關(guān)能量的關(guān)系式。

  例5. （2005·天津）圖中MN和PQ為豎直方向的兩平行長直金屬導(dǎo)軌，間距l為0.40m，電阻不計(jì)，導(dǎo)軌所在平面與磁感應(yīng)強(qiáng)度B為0.50T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直。質(zhì)量m為kg、電阻為1.0Ω的金屬桿ab始終垂直于導(dǎo)軌，并與其保持光滑接觸。導(dǎo)軌兩端分別接有滑動(dòng)變阻器和阻值為3.0Ω的電阻R₁，當(dāng)桿ab達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)以速度v勻速下滑，整個(gè)電路消耗的電功率P為0.27W，重力加速度取10m/s²，試求速率v和滑動(dòng)變阻器接入電路部分的阻值R₂。

       解析：由能量守恒，有mgv=P

       代入數(shù)據(jù)解得v=4.5m/s

       又E=BLv

       設(shè)電阻的并聯(lián)電阻為R_外，ab棒的電阻為r，有

           P=IE代入數(shù)值得：

       答案：4.5m/s              6.0Ω

  例6. （2006·上海）如圖所示，將邊長為a、質(zhì)量為m、電阻為R的正方形導(dǎo)線框豎直向上拋出，穿過寬度為b、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里，線框向上離開磁場(chǎng)時(shí)的速度剛好是進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的一半，線框離開磁場(chǎng)后繼續(xù)上升一段高度，然后落下并勻速進(jìn)入磁場(chǎng)。整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終存在著大小恒定的空氣阻力f且線框不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。求：

       （1）線框在下落段勻速進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₂；

       （2）線框在上升階段剛離開磁場(chǎng)時(shí)的速度v₁；

       （3）線框在上升階段通過磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q。

       解析：（1）線框在下落階段勻速進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間：

        ①

解得：       ②

（2）線框從離開磁場(chǎng)至上升到最高點(diǎn)的過程：

             ③

線框從最高點(diǎn)回落至進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間：

             ④

③④聯(lián)立解得：     ⑤

（3）線框在向上通過磁場(chǎng)過程中

           ⑥

        ⑦

       答案：（1）          

       （2）

       （3）

（四）電磁感應(yīng)中的圖象問題

  1. 圖象問題

  2. 解決此類問題的一般步驟

       （1）明確圖象的種類，即是B—t圖還是圖，或者E—t圖、I—t圖等。

       （2）分析電磁感應(yīng)的具體過程。

       （3）結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、牛頓定律等規(guī)律寫出函數(shù)方程。

       （4）根據(jù)函數(shù)方程，進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，如分析斜率的變化、截距等。

       （5）畫圖象或判斷圖象。

  例7. （2005·全國卷I）如圖所示圖中兩條平行虛線之間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，虛線間的距離為l，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，abcd是位于紙面內(nèi)的梯形線圈，ad與bc間的距離也為l。t=0時(shí)刻，bc邊與磁場(chǎng)區(qū)域邊界重合（如圖）?，F(xiàn)令線圈以恒定的速度v沿垂直于磁場(chǎng)區(qū)域邊界的方向穿過磁場(chǎng)區(qū)域。取沿a→b→c→d→a的感應(yīng)電流為正，則在線圈穿越磁場(chǎng)區(qū)域的過程中，感應(yīng)電流I隨時(shí)間t變化的圖線可能是（    ）

       解析：當(dāng)線圈進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，由楞次定律可判斷感應(yīng)電流的方向?yàn)?/span>a—d—c—b—a，與規(guī)定的電流正方向相反，所以電流值為負(fù)值，當(dāng)線圈出磁場(chǎng)的過程中，由楞次定律可判斷感應(yīng)電流的方向?yàn)?/span>a—b—c—d—a，與規(guī)定的電流方向相同，所以電流值為正值，又兩種情況下有效切割磁感線的長度均不斷增加，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)逐漸增大，感應(yīng)電流逐漸增大，所以B選項(xiàng)正確。

       答案：B

【模擬試題】

  1. 如圖所示，矩形線圈長為L、寬為h、電阻為R、質(zhì)量為m，在空氣中豎直向下落一段距離后（空氣阻力不計(jì)），再進(jìn)入一寬度為h、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。線圈在進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能為，線圈剛穿過磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能為，這一過程中產(chǎn)生的熱量為Q，線圈克服磁場(chǎng)力做的功為，重力做的功為，線圈重力勢(shì)能的減少量為，則下列關(guān)系不正確的是（    ）

       A.                                            B.

C.                                                      D.

  2. 如圖所示，CDEF是固定的、水平放置的、足夠長的U形金屬導(dǎo)軌，整個(gè)導(dǎo)軌處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在導(dǎo)軌上架著一個(gè)金屬棒ab，在極短時(shí)間內(nèi)給ab棒一個(gè)水平向右的沖量，使它獲得一個(gè)速度開始運(yùn)動(dòng)，最后又靜止在導(dǎo)軌上。則ab棒在運(yùn)動(dòng)過程中，就導(dǎo)軌是光滑和粗糙兩種情況相比較（    ）

       A. 安培力對(duì)ab棒做的功相等

B. 電流通過整個(gè)回路所做的功相等

C. 整個(gè)回路產(chǎn)生的總熱量不同

D. ab棒動(dòng)量的改變量相同

  3. 如圖所示，一根足夠長的水平滑桿SS'上套有一質(zhì)量為m的光滑金屬圓環(huán)。在滑桿的正下方與其平行地放置一足夠長的光滑水平的木制軌道，且穿過金屬環(huán)的圓心O?，F(xiàn)使質(zhì)量為M的條形磁鐵以v₀的水平速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，則（    ）

       A. 磁鐵穿過金屬環(huán)后，二者將先后停下來

B. 圓環(huán)可能獲得的最大速度為

C. 磁鐵與圓環(huán)系統(tǒng)損失的動(dòng)能可能為

D. 磁鐵與圓環(huán)系統(tǒng)損失的動(dòng)能可能為

  4. 如圖所示，電動(dòng)機(jī)用輕繩牽引一根原來靜止的長為L=1m、質(zhì)量m=0.1kg的導(dǎo)體棒AB，導(dǎo)體棒電阻為R=1Ω，導(dǎo)體棒與豎直形金屬框架有良好接觸，框架處在如圖所示方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，且足夠長。當(dāng)導(dǎo)體棒上升h=4m的高度時(shí)恰好獲得穩(wěn)定速度。已知在電動(dòng)機(jī)牽引導(dǎo)體棒時(shí)，電路中電壓表和電流表示數(shù)分別穩(wěn)定在U=7V和I=1A，電動(dòng)機(jī)自身內(nèi)阻r=1Ω，不計(jì)框架電阻及一切摩擦，g取10m/s²。試求：

       （1）導(dǎo)體棒的穩(wěn)定速度多大？

       （2）若棒從靜止到速度穩(wěn)定共用1s時(shí)間，則在此過程中棒上產(chǎn)生的焦耳熱是多少？

  5. 圖中為在同一豎直面內(nèi)的金屬導(dǎo)軌，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌所在的平面（紙面）向里。導(dǎo)軌的段是豎直的，距離為l₁；段也是豎直的，距離為l₂。為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細(xì)桿，質(zhì)量分別為，它們都垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持光滑接觸。兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿上的豎直向上的恒力。已知兩桿運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，已勻速向上運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。

  6. 位于豎直平面內(nèi)的矩形平面導(dǎo)線框abcd，ab長L₁=1.0m，bd長L₂=0.5m，線框的質(zhì)量m=0.2kg，電阻R=2Ω，其下方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，該區(qū)域的上、下邊界PP'和QQ'均與ab平行。兩邊界間距離為H，且H>L₂，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T，方向與線框平面垂直。如圖所示，令線框的dc邊從離磁場(chǎng)區(qū)域上邊界PP'的距離h=0.7m處自由下落。已知線框的dc邊進(jìn)入磁場(chǎng)以后，在ab邊到達(dá)邊界PP'前，線框的速度已達(dá)到這一階段的最大值。問從線框開始下落到dc邊剛剛到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域下邊界QQ'的過程中，磁場(chǎng)作用于線框的安培力做的總功為多少？（g取10m/s²）

  7. 如圖所示，豎直固定的光滑U形金屬導(dǎo)軌MNOP每米長度的電阻為r，MN平行于OP，且相距為L，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌所在平面垂直。有一質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的水平金屬桿ab可在導(dǎo)軌上自由滑動(dòng)，滑動(dòng)過程中與導(dǎo)軌接觸良好且保持垂直。將ab從某一位置由靜止開始釋放后，下滑h高度時(shí)速度達(dá)最大，在此過程中，電路里產(chǎn)生的熱量為Q。以后，設(shè)法讓桿ab保持這個(gè)速度勻速下滑，直到離開導(dǎo)軌為止。求：

       （1）金屬桿勻速下滑時(shí)的速度；

       （2）勻速下滑過程中通過金屬桿的電流I與時(shí)間t的關(guān)系。

【試題答案】

  1. ABD

  2. D

  3. BC

  4. （1）2m/s           （2）1.8J

  5. ，

  6. －0.8J

  7. （1）              （2）