快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“二元一次方程組”-華東師范大學(xué)出版社七年級下冊

一、 本單元概述

對于已經(jīng)學(xué)習(xí)過的初一頁數(shù)學(xué)內(nèi)容，我們可以發(fā)現(xiàn)：

每一個新內(nèi)容，都是在以往學(xué)習(xí)過的舊內(nèi)容之上，再添加一些新變化。

比如：

從小學(xué)一年級開始學(xué)習(xí)的10以內(nèi)加減運算，在后面變化為多位數(shù)加減、小數(shù)加減、分?jǐn)?shù)加減，直至初中的有理數(shù)加減。

一元一次方程，也是由最簡單的“填空”變化而來。

那么，二元一次方程組，在一元一次方程的基礎(chǔ)上，有什么“變化”？有什么“新知識點”呢？如何用解一元一次方程的方法來解二元一次方程組呢？

二、概念學(xué)習(xí)

“二元一次方程組”這個概念，與一元一次方程相比：

“一元”變化為了“二元”，“方程”變化為了“方程組”。

先來研究“一元”到“二元”，有什么新變化。

1、要素

一元一次方程的要素是：等號、整式、一元、一次。標(biāo)準(zhǔn)形式為ax+b=0（a不等于0）

二元一次方程的要素，只是把“一元”變化為“二元”，要素為“等號、整式、二元、一次”。

2、標(biāo)準(zhǔn)形式

一元一次方程標(biāo)準(zhǔn)形式為ax+b=0（a不等于0）；

二元一次方程標(biāo)準(zhǔn)形式變化為“ax+by+c=0（ab不等于0，即a、b都不為0）

注意：

xy項，可不是一次哦，是二次。

3、方程的解

一元一次方程由標(biāo)準(zhǔn)形式可得出，一元一次方程有唯一解x=-b/a。

二元一次方程由標(biāo)準(zhǔn)形式變形，可得：x=（-by-c）/a，y=（-ax-c）/b；從而可知，二元一次方程的解不是唯一的。即，二元一次方程屬于“不定方程”（沒有確定解的方程），不定方程的解應(yīng)用“解集”表示。

通過以上對比，可發(fā)現(xiàn)，二元一次方程的“新變化”中，最重要的是“解不唯一”。

所以，我們現(xiàn)在重點研究一下“二元一次方程的解集”。

由x=（-by-c）/a，y=（-ax-c）/b得，“y每任意取一個值，可得到唯一的x的值；x每任意取一個值，可得到唯一的y的值”。

因此，二元一次方程“有無數(shù)組解”；每一組解是“一一對應(yīng)”的，所以二元一次方程的每一組解，要使用“{  ”（大括號）表示。

二元一次方程“有無數(shù)組解”，這么多解之間，有什么聯(lián)系呢？都是由同一個二元一次方程得出，一定有它們的“共同基因”。

二元一次方程的每一組解，都是一組“有序數(shù)對（x，y）”，我們在小學(xué)時已經(jīng)初步了解過“有序數(shù)對（x，y）”，如教室里的座位，可用（2，3）表示第二排第三列的位置，第4排第5列的位置可用（4，5）表示，即“有序數(shù)對（x，y）”和“位置”是”一一對應(yīng)的。

怎么找到二元一次方程每一組“有序數(shù)對（x，y）”解的位置呢？

這就用到“數(shù)形結(jié)合”了。

我們可以用“一根數(shù)軸”來表示“有理數(shù)”，用“兩根數(shù)軸”不就可以表示“有序數(shù)對（x，y）”嗎？

我們來畫“兩根數(shù)軸圖”，讓這兩根數(shù)軸“互相垂直、原點重合、單位長度相同”，水平的一根表示x，豎直的一根表示y。

畫好“兩根數(shù)軸圖”，首先來表示最簡單的二元一次方程x+y=5的解：

1、先任意得出x+y=5的幾組解；

2、在“兩根數(shù)軸圖”上，找到這幾組解“有序數(shù)對（x，y）”的位置，點上點。

3、觀察這些“點”，看看有什么特征？用什么樣的線可以把這些“點”邊起來？

通過觀察和實踐，可以發(fā)現(xiàn)，這些“點”都在一條“直線”上。

我們再在直線上取一些“點”，看看這些“點”對應(yīng)的“有序數(shù)對（x，y）”是不是二元一次方程的解。

經(jīng)過實踐反復(fù)驗證，可得出：

二元一次方程有無數(shù)組解，這些解“具有線性關(guān)系”；即“二元一次方程的解集”與兩根數(shù)軸圖中的“直線”對應(yīng)。

最后，研究二元一次方程組的“方程組”。

一個二元一次方程由無數(shù)組解，每組解要使用“{”表示；要想得到“一組確定解”，應(yīng)該怎么辦呢？

由“直線”可想到，兩條直線相交，有一個“確定的交點”，所以，兩個二元一次方程“聯(lián)立”，可得出“一組確定解”，并且這“一組確定解”與兩根數(shù)軸圖中“兩直線交點”對應(yīng)。

其實，二元一次方程的每一組解，就是一個二元一次方程組，所以方程組也是使用“{”表示。

綜上，可得出二元一次方程組的完整描述：

1、由兩個等式聯(lián)立。

2、每個代數(shù)式都是整式。

3、所有整式，一共有兩個未知數(shù)。（注意，是一共有兩個，不是每一個整式都有兩個）

4、所有未知數(shù)項，最高次數(shù)為1。

即，二元一次方程組的要素為：兩等式聯(lián)立、整式、二元、一次。

再暢想一下，如果變化成“三元一次方程組”會怎么樣？“N元一次方程組”會怎么樣？

三、解二元一次方程組

我們已經(jīng)會解各種各樣的一元一次方程了，對于二元一次方程組，可以想到：

如何“轉(zhuǎn)化”為一元一次方程呢？

這簡單，“二元”變“一元”，就“消元”（變魔術(shù)，把其中一個未知數(shù)“消失”）嘛。

可是，如何“消元”呢？

“消元”，對于我們并不是全新的，在小學(xué)時已經(jīng)干過了。

還記得“雞兔同籠”嗎？

知道了“雞和兔”，一共有多少個“頭”和多少只“腳”，求“雞、兔各多少”？

這就是二元一次方程組呀。

當(dāng)時是怎么解決的呢？用“假設(shè)法”。

假設(shè)全是雞，或者全是兔，這不就是“消元”嗎？全變成雞，讓兔“消失”或“讓雞消失”。

到了初中，我們把“消元”的方法，總結(jié)為“代入消元法”和“加減消元法”。

記?。骸跋笔恰耙?guī)矩”，是必須的，“代入消元法、加減消元法”是“方法”，根據(jù)具體情況選用。

哪種方法更適合具體題目，自行選擇。

“快速、簡便、準(zhǔn)確”的方法，就是好方法。

數(shù)學(xué)中，除了“基本性質(zhì)”和“運算法則”外，都可根據(jù)實際情況“靈活選用”已學(xué)過的各種“變形方法”，以求達到“快速、簡便、準(zhǔn)確”。

小學(xué)計算中，有專門的“簡便計算”要求，到中學(xué)后，一般不會再專門提這項要求，但“簡便運算”這項要求，不是消失了，而是做為中學(xué)生，“簡便運算”應(yīng)該成為你遇到計算類問題的“條件反射”。

四、列方程解應(yīng)用題

做二元一次方程應(yīng)用題的主要步驟（由“一元一次”變化而來）：

⒈認(rèn)真審題（審題）　

⒉分析已知和未知量　

⒊找一個或兩個合適的等量關(guān)系　

⒋設(shè)兩個恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù) 　

⒌列出合理的方程組 （列式）　

⒍解出方程組（解題） 　

⒎檢驗　

⒏寫出答案（作答）

第1至第3環(huán)節(jié)，是解決方程應(yīng)用題的核心內(nèi)容，但這些內(nèi)容除了并不在解答中體現(xiàn)。

把這3個環(huán)節(jié)做好，第4和第5兩個環(huán)節(jié)，就自然解決了。

余下的第6至第8環(huán)節(jié)就只是“解方程組”和“最后總結(jié)陳詞環(huán)節(jié)”。

如何做好，第1至第3，這3個環(huán)節(jié)呢？

這就要用到，小學(xué)數(shù)學(xué)老師經(jīng)常要求的“畫線段圖”和“列數(shù)量關(guān)系”。

只是由于“二元”，“畫線段圖”一般就得分別畫“兩條”了。

“列數(shù)量關(guān)系”可稱為“列表法”：

1、審題，根據(jù)應(yīng)用題的不同類型，“列出文字?jǐn)?shù)量關(guān)系”，這相當(dāng)于“表頭”

2、將已知和未知量，相應(yīng)“填在”對應(yīng)的“數(shù)量項”。（表并不需要實際畫出，但由于對應(yīng)分析，相當(dāng)于有一個“數(shù)量關(guān)系表”。

做為中學(xué)生，要養(yǎng)成把“文字”，快速轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)語言”的習(xí)慣。

審題、分析時，能畫圖的先畫圖，因為圖形最直觀；不適合畫圖的，再“列表”；復(fù)雜一些的題目，需要二者結(jié)合使用。

總之，要把題目變得盡可能“直觀、簡潔”，并開始鍛煉一項非常重要的“數(shù)學(xué)能力”——將要解決的每一道具體題目，都能總結(jié)成一種類型；從而做到——每解決一道新題目，就解決了一個新類型。

五、多余的話

做題要“守規(guī)矩”，但“規(guī)矩”只限于“性質(zhì)和法則”，所謂“方法或步驟”并不是“規(guī)矩”。

數(shù)學(xué)，越學(xué)越活，你就把數(shù)學(xué)學(xué)通了、學(xué)精了。