岡薩雷斯版<圖像處理>里面的解釋非常形象：一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比作一個(gè)玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個(gè)成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅里葉變換可以看作是數(shù)學(xué)上的棱鏡，將函數(shù)基于頻率分解為不同的成分。當(dāng)我們考慮光時(shí),討論它的光譜或頻率譜。同樣, 傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個(gè)函數(shù)。

Fourier theory講的就是：任何信號（如圖像信號）都可以表示成一系列正弦信號的疊加，在圖像領(lǐng)域就是將圖像brightness variation 作為正弦變量。比如下圖的正弦模式可在單傅里葉中由三個(gè)分量編碼：頻率f、幅值A(chǔ)、相位γ 這三個(gè)value可以描述正弦圖像中的所有信息。

1.frequency

frequency在空間域上可由亮度調(diào)節(jié)，例如左圖的frequency比右圖的frequency低……

2.幅值magnitude（amplitude）

sin函數(shù)的幅值用于描述對比度，或者說是圖像中最明和最暗的峰值之間的差。（一個(gè)負(fù)幅值表示一個(gè)對比逆轉(zhuǎn)，即明暗交換。）

3.相位表示相對于原始波形，這個(gè)波形的偏移量（左or右）。

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一個(gè)傅里葉變換編碼是一系列正弦曲線的編碼，他們的頻率從0開始（即沒有調(diào)整，相位為0，平均亮度處），到尼奎斯特頻率（即數(shù)字圖像中可被編碼的最高頻率，它和像素大小、resolution有關(guān)）。傅里葉變換同時(shí)將圖像中所有頻率進(jìn)行編碼：一個(gè)只包含一個(gè)頻率f1的信號在頻譜上橫坐標(biāo)f為f1的點(diǎn)處繪制一個(gè)單峰值，峰值高度等于對應(yīng)的振幅amplitude，或者正弦曲線信號的高度。如下圖所示。

DC term直流信號對應(yīng)于頻率為0的點(diǎn)，表示整幅圖像的平均亮度，如果直流信號DC=0就表示整幅圖像平均亮度的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)=0，可推出 灰度圖中，正弦曲線在正負(fù)值之間交替變化，但是由于灰度圖中沒有負(fù)值，所以所有的真實(shí)圖像都有一個(gè)正的DC term，如上圖所示。

出于某些數(shù)學(xué)分析原因，我們經(jīng)常把傅里葉變換用mirror-image表示，在原點(diǎn)的的兩端，frequency都是增加的方向，具有相同的幅值。

上面講的都是一維信號，一個(gè)二維傅里葉變換是一維傅里葉變換在每一個(gè)行掃描線和列掃描線上的傅里葉變換的疊加。

傅里葉譜圖上的每一個(gè)像素點(diǎn)都代表一個(gè)頻率值，幅值由像素點(diǎn)亮度變碼而得。最中心的亮點(diǎn)是指直流分量，傅里葉譜圖中越亮的點(diǎn)，對應(yīng)于灰度圖中對比越強(qiáng)烈（對比度越大）的點(diǎn)。

這里頻率比上面的小，相應(yīng)的亮點(diǎn)比上副圖也集中。

圖像傅立葉變換的物理意義

傅里葉提出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦和的形式，每個(gè)正弦和/或余弦乘以不同的系數(shù)（傅里葉級數(shù)）。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度.在噪聲點(diǎn)和圖像邊緣處的頻率為高頻。

傅立葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù).

傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因?yàn)?span style="BACKGROUND-COLOR: rgb(255,255,153)">實(shí)際上對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對較?。粗?，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個(gè)好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心，對稱分布的亮點(diǎn)集合，這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時(shí)可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾.

圖像是兩個(gè)參數(shù)的函數(shù)，通過一組正交函數(shù)的線性組合可以將其分解，而傅里葉就是通過諧波函數(shù)來分解的。而對于離散傅里葉變換，傅里葉變換的條件是存在的。

傅里葉變換進(jìn)行圖像處理有幾個(gè)特點(diǎn)

1. 直流成分F(0,0)等于圖像的平均值；

2. 能量頻譜|F（u,v）|^2完全對稱于原點(diǎn)；其中F=PfQ, f表示原圖，P和Q都是對稱的實(shí)正交矩陣，這個(gè)公式表示傅里葉變換就是個(gè)正交矩陣的正交變換

3.圖像f平移（a,b）后，F(xiàn)只有exp[-2pij(au/M+bv/M)]的相位變化，能量頻譜不發(fā)生變化。

4. 圖像f自乘平均等于能量頻譜的總和，f的分散等于能量頻譜中除直流成分后的總和。

5.圖像f(x,y)和g(x,y)的卷積h(x,y)=f(x,y)*g(x,y)的傅里葉變換H（u，v）等于f(x,y)和g(x,y)各自的傅里葉變換的乘積。

圖像中的每個(gè)點(diǎn)通過傅里葉變換都成了諧波函數(shù)的組合，也就有了頻率，這個(gè)頻率則是在這一點(diǎn)上所有產(chǎn)生這個(gè)灰度的頻率之和，也就是說傅里葉變換可以將這些頻率分開來。當(dāng)想除去圖像背景時(shí)，只要去掉背景的頻率就可以了。

在進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，實(shí)際上在某一特定的頻率下，計(jì)算每個(gè)圖像位置上的乘積。什么乘積呢，就是f(x,y)exp[-j2pi(ux+vy)]，然后計(jì)算下一個(gè)頻率。這樣就得到了頻率函數(shù)。

也就是說，我們看到傅里葉變換的每一項(xiàng)（對每對頻率u,v，F(xiàn)(u，v)的值）是由f(x)函數(shù)所有值的和組成。f(x)的值與各種頻率的正弦值和余弦值相乘。因此，頻率u, v決定了變換的頻率成分（x, y也作用于頻率，但是它們相加，對頻率有相同的貢獻(xiàn)）。

通常在進(jìn)行傅里葉變換之前用(-1)^(x+y)乘以輸入的圖像函數(shù)，這樣就可以將傅里葉變換的原點(diǎn)F(0,0)移到(M/2,N/2)上。

每個(gè)F(u,v)項(xiàng)包含了被指數(shù)修正的f(x,y)的所有值，因而一般不可能建立圖像特定分量和其變換之間的聯(lián)系。然而，一般文獻(xiàn)通常會(huì)有關(guān)于傅里葉變換的頻率分量和圖像空間特征之間聯(lián)系的闡述。變換最慢的頻率成分（u=v=0）對應(yīng)一幅圖像的平均灰度級。當(dāng)從變換的原點(diǎn)移開時(shí)，低頻對應(yīng)著圖像的慢變換分量，較高的頻率開始對應(yīng)圖像中變化越來越快的灰度級。這些事物體的邊緣和由灰度級的突發(fā)改變（如噪聲）標(biāo)志的圖像成分。

在頻率域中的濾波基礎(chǔ)

1. （-1）^(x+y)乘以輸入圖像來進(jìn)行中心變換

2. 由（1）計(jì)算圖像的DFT， 即F（u,v）

3. 用濾波器函數(shù)H(u,v)乘以F（u,v）

4. 計(jì)算（3）中的結(jié)果的反DFT

5. 得到（4）中的結(jié)果的實(shí)部

6. 用(-1)^(x+y)乘以（5）中的結(jié)果

另外我還想說明以下幾點(diǎn)：

1、圖像經(jīng)過二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：

若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時(shí)也表明一幅圖像能量集中低頻區(qū)域。
2 、變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）

Reference:

http://hi.baidu.com/liyaowang/blog/item/9b7f07d7b39fdec0a044df45.html

http://cns-alumni./~slehar/fourier/fourier.html#filtering

http://hi.baidu.com/walanlixuming/blog/item/36d49ad5857a22c951da4b26.html