周三的工作室活動，讓我深受啟發(fā)。無論是劉德武老師的課例，還是各位同仁的發(fā)言，都使我對自己有了更深刻的認(rèn)識，對數(shù)形結(jié)合的思想理解的不夠透徹，運(yùn)用的也不夠自如。于是，我便走進(jìn)了有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的世界，以便提高自己的知識水平。

一、有效教學(xué)與數(shù)形結(jié)合思想的辯證關(guān)系，有數(shù)學(xué)思想的教學(xué)才有效。有效教學(xué)是方法，知識是載體，數(shù)學(xué)思想的建立是根本目的。

1、教師遵循一定的教育、教學(xué)規(guī)律，以盡可能少的時間、精力、教學(xué)設(shè)施的投入，取得盡可能多的教學(xué)效果，這就是有效教學(xué)。簡言之，就是要提高課堂教學(xué)效率。有效教學(xué)通過“分析、處理、探索、解決”等數(shù)學(xué)手段和工具，以學(xué)科知識的理解、掌握為載體，通過引導(dǎo)、扶持、點(diǎn)撥，實(shí)現(xiàn)知識、空間觀念、數(shù)學(xué)思想的建構(gòu)。

2、數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識。數(shù)學(xué)思想比一般的數(shù)學(xué)概念更抽象、更概括，也更本質(zhì)、更深刻。

任何教學(xué)方法都是在一定的教學(xué)思想指導(dǎo)下進(jìn)行的。各種教學(xué)方法無不體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、解題技巧、解題過程是教育教學(xué)的四個重要方面。無論是數(shù)學(xué)概念的建立、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學(xué)問題的解決，乃至整個“數(shù)學(xué)大廈”的構(gòu)建，其核心在于數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)和建立。所以，數(shù)學(xué)教師一定要高度重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)。

德國數(shù)學(xué)家希爾伯特曾說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟，方法是數(shù)學(xué)的行為，思想是數(shù)學(xué)的靈魂”。

3、數(shù)形結(jié)合思想位居常用的15種數(shù)學(xué)思想之首，可使教學(xué)問題化難為易，化繁為簡。深入地理解、探討數(shù)形結(jié)合的方法是我們實(shí)施有效教學(xué)的最有希望的策略之一。

這15種數(shù)學(xué)思想包括：

1）、 數(shù)形結(jié)合思想；

2）、函數(shù)思想；

3）、分類討論思想；

4）、方程思想；

5）、整體思想；

6）、轉(zhuǎn)化思想；

7）、隱含條件思想；

8）、類比思想；

9）、建模思想；

10）、化歸思想；

11）、歸納推理思想；

以及概率統(tǒng)計等數(shù)學(xué)思想。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生在談到數(shù)形結(jié)合的好處時曾作詩贊美：數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！?/p>

3、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)內(nèi)容上的體現(xiàn)。

1）、符號化思想：體現(xiàn)在圖形、算籌、數(shù)字、字母、公式等；

2)、方程的解集、不等式的認(rèn)識、應(yīng)用題求解等；

3)、圖形種類、數(shù)的分類及文氏圖演繹；

4)、由形到數(shù)及由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換、互通；

5)、位置與方向、數(shù)對的點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系等。

數(shù)形結(jié)合符合人類認(rèn)識自然，認(rèn)識世界的客觀規(guī)律。人自有生命以來，睜開眼第一件事，是朦朧地看到周圍的混沌世界。他的眼里只有形，這時，他是不識數(shù)的。十年磨一劍，揮手三千年，人類對數(shù)的認(rèn)識起源于形，發(fā)展于形，得利于形，數(shù)形結(jié)合成為學(xué)習(xí)的永遠(yuǎn)的依賴，我們就要遵循先形后數(shù)的認(rèn)識規(guī)律。

二、數(shù)形結(jié)合思想的有效培養(yǎng)中存在的問題。

由于學(xué)生思維的發(fā)展所必須遵循的客觀規(guī)律，決定了學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)中必然面臨著許多問題。

1、數(shù)形結(jié)合知識本身的難度。從純知識的角度看，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的知識掌握和方法使用不外乎兩個方面：一是根據(jù)圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)。二是根據(jù)數(shù)或式轉(zhuǎn)化成圖形。他們對“由形及數(shù)”看圖寫數(shù)類題的掌握程度，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于“由數(shù)及形”看數(shù)作圖類的題。在固定的常規(guī)思維模式下,出現(xiàn)順向思維易,逆向思維難，照搬模仿易,加工創(chuàng)新難的一貫性問題。這也是許多學(xué)生為什么看圖列式比看式作圖作得好的原因所在。

2、學(xué)生思想上固有的依賴性。在優(yōu)越、安逸的生活中，現(xiàn)在的孩子常常養(yǎng)成等、靠、要的習(xí)慣，學(xué)習(xí)中同樣得以表現(xiàn)。對老師的作圖的依賴性特強(qiáng)，情愿空著手看老師作圖，動口不動手。這樣是不能學(xué)好數(shù)形結(jié)合知識的，更談不上有效了。

3、前期沒有適當(dāng)?shù)膱D形基礎(chǔ)知識作鋪墊，成為后期數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)的制約。

4、作圖時不能規(guī)范操作。學(xué)生在平時的作業(yè)中，不論是從形到數(shù)，還是從數(shù)到形，因?yàn)椴灰?guī)范操作而帶來認(rèn)識上的誤區(qū)，影響了學(xué)習(xí)的效率。譬如，畫圖不用鉛筆，不用尺子或其它的工具，只是一味地想當(dāng)然作圖。

5、老師的要求不到位。對于數(shù)形結(jié)合的思想，老師一般認(rèn)為沒有算理算法重要。在無意識的情況下，忽視了數(shù)形結(jié)合思想，降低或不作要求。目標(biāo)不明，則動力不足。

6、教師的越殂代皰和急功近利。緊張而有限的上課時間里，老師的教學(xué)任務(wù)重，因而以講代練，以數(shù)代形，非得在一個個問題上講多、講透不可，很少訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和空間想像能力。一心想著學(xué)生畫圖的時間，老師可以多講一道題了。以至于代為刀手，越殂代皰。學(xué)生作壁上觀，畫得不多，練得不少。但是，形象的、具體的、直觀的事物要比抽象的語言容易記得多。美國圖論學(xué)者哈里有一句名言：“千言萬語不及一張圖?！闭f的就是這種道理。

7、軟硬件不足的問題。借助掛圖，尺子，圓規(guī)上課的年代雖已過時，卻成為我們最經(jīng)?；膬?nèi)容。能隨時隨地利用類似理科實(shí)驗(yàn)室的器材，展示直觀圖形；運(yùn)用各種教學(xué)手段，尤其是大量使用多媒體，“以形助數(shù)”，化抽象為具體，降低學(xué)生的思維難度，應(yīng)該成為教學(xué)的重要依靠。電教手段的日常化，數(shù)據(jù)庫的信息化，是老師們急切等待而久未實(shí)現(xiàn)的倚重。這些軟、硬件的缺失，將會成為日常有效教學(xué)的遺憾，使我校有效教學(xué)遭遇到很大的瓶頸。

8、題海戰(zhàn)術(shù)對數(shù)形結(jié)合等思想的沖擊。

應(yīng)試教育突出“練”字，題海戰(zhàn)術(shù)對數(shù)形結(jié)合等思想的沖擊很大。大量的習(xí)題訓(xùn)練能提高分?jǐn)?shù)誤導(dǎo)了師生和家長。可憐的孩子們對作業(yè)浮光掠影，跑馬觀花，哪有過深入思考、舉一反三？大腦的馬達(dá)長時間停留在低檔，哪有強(qiáng)勁的動力產(chǎn)生學(xué)習(xí)的有效、高效呢？

案例1：專家調(diào)查：中國學(xué)生計算能力世界第一，但是我們的創(chuàng)造力排名倒數(shù)。這是世界上最不公平的事！我們的小學(xué)生6點(diǎn)過起床，7點(diǎn)半到校，中午無休息，晚上的作業(yè)做到9點(diǎn)。外國的孩子為了諾貝爾物理獎、化學(xué)獎（沒有奧數(shù)獎哈），卻正在玩積木，玩游戲，玩表演，玩一切充滿樂趣，充滿活力，充滿生機(jī)，充滿希望的極具數(shù)學(xué)思想的活動。

為什么綿陽的孩子不能像上海的孩子那樣輕松？為什么上海的孩子不能像美國的孩子那樣創(chuàng)造？為什么解放前的“舊社會”西南聯(lián)大出過李政道、楊振寧、鄧稼先等學(xué)生，現(xiàn)在的清華也好，復(fù)旦也罷，卻培養(yǎng)不出這種人才。我認(rèn)為，是因?yàn)樘招兄壬涝缌耍障壬诮夥诺那耙咕腿ナ懒?，后來也就不出人才了?/p>

2009年，中國最大的損失是錢學(xué)森先生的逝世。我們在大力宣傳錢老的偉大，也同時在關(guān)注他對中國教育的審視。我發(fā)現(xiàn)，錢老先生1955年回國時，他的堂侄錢永健于1952年已出生在紐約；錢老2009年于北京逝世，錢永健先生2008年獲得諾貝爾化學(xué)獎，錢學(xué)森先生心里怎么想？他若不回國的話，也許他早已不只是中國的錢學(xué)森，而是世界人民的錢學(xué)森了。有趣的是，錢永健先生在瑞典領(lǐng)獎時曾接受中國媒體采訪，他建議：“中國的年輕人要培養(yǎng)在科學(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)造力和好奇心。25歲到40歲之間是一個人最富創(chuàng)造力的階段，政府應(yīng)該制定更加完善的政策，激發(fā)他們的創(chuàng)造力，為他們提供足夠的研究資源，千萬不要用刻板的制度來束縛他們”。他的話也道出了基礎(chǔ)教育的弊病，對我們具有參考作用。因?yàn)槟壳暗默F(xiàn)狀是，搞應(yīng)試教育輕車熟路，實(shí)施素質(zhì)教育任重而道遠(yuǎn)。

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的有效教學(xué)策略。

“空間與圖形”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一，在以后的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)得更為明顯。數(shù)形結(jié)合帶給教學(xué)以蓬勃之生命，賦予教學(xué)以持續(xù)性的活力，使有效教學(xué)的策略更豐富，更清晰。

１、教學(xué)回歸生活，以童真喚起興趣，營造樂學(xué)的有效教學(xué)情境。

著名教育家皮亞杰說過：“兒童是具有主動性的人，所教的東西要能引起兒童的興趣，符合他們的需要，才能有效地促使他的發(fā)展?！痹谖覀兊耐甑挠洃浿?，好的動畫片和童話書總會給人一種最美好的的印象，那種感覺揮之不去，抹之不滅。新課改教材里各種鮮艷逼真的情境圖，各種平移、旋轉(zhuǎn)、對稱的美麗圖案，可以讓學(xué)生真切地體會到了數(shù)學(xué)的美，受到美的熏陶。

案例2 《軸對稱圖形》：課件的音樂聲中，春天的蝴蝶翩翩起舞，夏天的蜻蜓早立桿頭，秋天的楓葉隨風(fēng)而落。

觀察引入：“我們身邊的世界繽紛多彩，每一樣景物都是一幅畫像，每一樣圖畫都是藝術(shù)作品。初步感知：看到這些圖案你有什么感受？這些圖案各不相同，卻有一個共同特征，認(rèn)真觀察，看誰的眼力最好，最早發(fā)現(xiàn)這個特征?！?/p>

再現(xiàn)臉譜的圖片，以美麗的生活場景引入，激發(fā)學(xué)生很快進(jìn)入積極的學(xué)習(xí)情感狀態(tài)。初步感知昆蟲、臉譜等軸對稱圖形的外部特點(diǎn)，并形成一定的表象。

同時，在教學(xué)中盡可能多地以本地生活中的事物或景物作為例子，讓學(xué)生對軸對稱圖形的建構(gòu)看得見，摸得著。教師創(chuàng)設(shè)的問題情景如果能深深地吸引每一個學(xué)生，孩子們就會熱情參與、積極動手、踴躍發(fā)言，為后面的教學(xué)作了適當(dāng)?shù)匿佋O(shè)。

2、看圖說話，鼓勵多提問；先學(xué)后導(dǎo)，作圖更有效。

陶行知先生說過：“創(chuàng)造始于問題”。學(xué)生沒將題目讀懂時，他是沒有問題的，這與他沒讀題效果一樣。只有鉆研之后，才會生出“看似絕壁，卻辟小徑”之感。

案例3：天津到濟(jì)南的鐵路長357千米。一列快車從天津開出，同時有一列慢車從濟(jì)南開出，兩車相向而行，經(jīng)過３小時相遇，快車平均每小時行79千米，慢車平均每小時多少千米？

策略一：讀懂題意，鼓勵多提問。教師把可能出現(xiàn)的問題都要預(yù)設(shè)清楚：題目意思是什么？哪兩位同學(xué)上講臺來表演快慢車的相遇？你們撞上了，車能撞嗎？在中間相遇嗎？能用圖形表示嗎？除了用線段圖，長方形圖，還能用圓柱形的，軌道形的嗎？它們的數(shù)量關(guān)系是什么？你用哪種數(shù)量關(guān)系解題？還有其它方法嗎？可能出現(xiàn)什么錯誤？怎么改？

策略二：學(xué)生圍繞著問題與圖形，反復(fù)在數(shù)與形之間輾轉(zhuǎn)，借直觀，解抽象，把一個無從下手的題目具體化。通過匯報，有多種解法，可列出學(xué)生容易理解的幾種式子，再結(jié)合直觀圖，比較最簡單的一種解題思路。

策略三：學(xué)生在老師的引領(lǐng)下，領(lǐng)悟“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。利用了列方程解答，例題圖示化。充分利用圖形的直觀性和具體性，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，找出解決問題的突破口。畫圖不僅是為了解題，更為重要的是建立圖文并茂的場景圖，讓孩子們的思維體操更準(zhǔn)確，更瀟灑。

3、數(shù)形結(jié)合，不忘操作。由形到數(shù)是要求，由數(shù)到數(shù)是追求。

案例4：《解方程》新教材第九冊數(shù)學(xué)解方程單元，教材設(shè)計打破傳統(tǒng)，不再利用數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系解方程，而是借用天平使學(xué)生感悟等式、方程，探求方程兩邊都同加、同減、同乘、同除（0除外）同一個數(shù)，方程兩邊仍然相等的基本性質(zhì)。這種解題方法是發(fā)展的、前瞻的、科學(xué)的。

策略一：由形到數(shù)，動手、觀察天平的平衡現(xiàn)象。

我在上這課時，以天平吊足學(xué)生胃口，在有形的教學(xué)中，學(xué)生非常主動地上講臺稱重量，維持平衡，領(lǐng)悟等式，尋求方程。天平對于老師來說，是平時司空見慣的物體，在學(xué)生眼里就變得很神奇。其實(shí)，他們只知道書上說一枚兩分硬幣就是2克，他們還想知道一根膠棒、一本《雞皮疙瘩》的重量幾何？我們就把時間還給學(xué)生，放手一試又如何？

策略二：由數(shù)到形，抽象問題反饋化，稍微后退跳得更遠(yuǎn)。

方程具體到應(yīng)用中學(xué)生感覺比較抽象，老師可以引導(dǎo)分組學(xué)生在反復(fù)操作中理解同時加、減一個數(shù)的目的和依據(jù)。在課堂上，學(xué)生對這種解方程方法感到很陌生，同時很新鮮。在他們原有的經(jīng)驗(yàn)中應(yīng)該可以用加減法各部分的關(guān)系來解，沒想到會有這種方法，他們一定會進(jìn)行各種探索。在出現(xiàn)種種失誤后，老師再做策略性的引領(lǐng)，予以解決。

策略三：由數(shù)到數(shù)，升華思維。方程單元有意避開了X在減號（除號）后面的題型，但這種方程還是出現(xiàn)得較多。有了天平秤的啟發(fā)，我們可以讓學(xué)生作類比，等號兩邊同時加上X，再左右其位，方法就與前面的相同了。我們不能苛求所有的結(jié)論都能在有形的空間里操作，學(xué)生的思維梯度一旦培養(yǎng)，由數(shù)到數(shù)的轉(zhuǎn)化便不是難事了。

4、“形→數(shù)”、“數(shù)→形”，分階段把握數(shù)形結(jié)合知識難度，制定相應(yīng)的教學(xué)策略。

低段學(xué)生及圖形建構(gòu)差的的學(xué)生適宜“形→數(shù)”的直觀思維，其教學(xué)大多以觀察、操作等活動開始，在感知和積累了大量空間圖形的具體形象及抽象化圖形后，自然過渡到復(fù)雜、抽象的圖形學(xué)習(xí)。

高段的學(xué)生適宜“數(shù)→形”、“數(shù)→數(shù)”的抽象思維，因其數(shù)形知識有了一定積累后，幾何直觀圖形感知能力，邏輯思維能力已有一定程度的發(fā)展。他們在觀察、分析、思考題目后，對于簡單的圖，不一定每次都要畫出來。數(shù)量關(guān)系式、圖形能用“腦圖”表現(xiàn)出來再好不過，“腦圖”才是我們最美好的追求。

案例5《圓的面積》：  要將一個圓切分成一個近似的長方形，一些老師教學(xué)時都會感到困難，孩子們會覺得容易嗎？

我們要做的，就是將數(shù)與形的知識結(jié)合起來，降低學(xué)生的認(rèn)知難度，使問題迎刃而解。

對于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，應(yīng)視其情況，降低層次，回溯到相應(yīng)的基礎(chǔ)上再予以教學(xué)。梯形的面積不會做，三角形呢？也不會，很好！降低難度，拿一個平行四邊形來，“老師，我還是不會”……太好了，出示長方形，還不會？數(shù)格子……有什么辦法呢？學(xué)生的現(xiàn)狀是第一位的，老師會為五年級學(xué)生不會做二年級的題而傷心、憤怒嗎？盡管學(xué)生的無知是不合理的，卻依然是存在的現(xiàn)實(shí)。臨淵羨魚不如退而結(jié)網(wǎng)，當(dāng)堂發(fā)火不如蹲下身來。前提：把他當(dāng)作你的孩子；原因：發(fā)火是無效的，反效的。

四、多元拓展，鞏固生成數(shù)形結(jié)合的有效教學(xué)成果。

1、無圖不成書，無圖不成課，多元化地生成思維空間。

有效利用數(shù)學(xué)課本中的主題圖，經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合過程，建構(gòu)有效課堂。我們念書時的課本特點(diǎn)就是白紙黑字。而新理念下的新教材“一改前非”，許多例題、習(xí)題中五彩繽紛的彩頁和插圖，還原和再現(xiàn)了生活化的特點(diǎn)，尤其是數(shù)學(xué)實(shí)踐課、數(shù)學(xué)廣角，為我們上好數(shù)學(xué)課提供了方便。能真正做到讓學(xué)生動起來，對平面的圖形要學(xué)會描繪，對立體的圖景及實(shí)物要親自參與觀察、操作，讓視覺、聽覺、觸覺等多種分析器官協(xié)同參與數(shù)形結(jié)合的活動，實(shí)現(xiàn)并享受數(shù)形結(jié)合概念的建模過程將不是奢望。

2、可依靠，不依賴，辯證地發(fā)展數(shù)形思想。

一味地依賴圖形，只重視講授“有形”知識，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，或者單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略“有形”知識的教學(xué)，都會使教學(xué)顯得浮淺、不實(shí)、低效。