反函數(shù)、方程根的分布

二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)：

1. 了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)圖象的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單的反函數(shù)。

2. 掌握解決有關(guān)方程根的分布的基本方法。

【典型例題】

[例1] 記函數(shù)的反函數(shù)為，則等于（    ）

A. 2     B.     C. 3    D.

解：設(shè)，

則，即

[例2] 設(shè)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱(chēng)，且存在反函數(shù)，，求。

解：∵ 的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱(chēng)

∴     ∴

∴

兩邊用作用    ∴

[例3] 已知是R上的增函數(shù)，點(diǎn)A（）、B（1，3）在它的圖象上，是它的反函數(shù)，求不等式的解集。

解：由題意知在R上是增函數(shù)，且

又由，得，

即

∴

[例4] 已知函數(shù)，是的反函數(shù)，記

。

（1）求函數(shù)的反函數(shù)；

（2）求的最小值。

解：（1）∵

又 ∵     ∴     ∴

故    由，得，

解得

故

（2）

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，

取得最小值

[例5] 方程兩根在（2，3）內(nèi)，求的取值范圍。

解：設(shè)

    ∴     

∴

∴

[例6] 方程的兩個(gè)根為，且，，求的取值范圍。

解：    ∴     

∴

[例7] 關(guān)于的方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是      。

解：方法一

（1）時(shí)，成立

（2）時(shí)，  

設(shè)

① 2個(gè)負(fù)根

    ∴     

∴

② 1正根1負(fù)根

    ∴     

∴

③ 1負(fù)根1零根，不可能  ∴

∴ 由（1）（2）知：

方法二：

（1）時(shí)，成立

（2）時(shí)，設(shè)

① 方程有2個(gè)正根的條件   

∴

∴

② 1正根1零根，不可能   ∴

③方程無(wú)實(shí)根的條件   ∴

∴ 方程至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是

[例8] 若二次函數(shù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，求的取值范圍。

解：設(shè)在內(nèi)不存在這樣的點(diǎn)

    ∴     

∴

∴     ∴ 或

∴ 要使在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使，則

[例9] 已知拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)M（）位于軸下方。

（1）求證：拋物線(xiàn)與軸必有2個(gè)交點(diǎn)，A（）B（）（設(shè)）且

（2）若M，求整數(shù)。

證：（1）∵     ∴     

∴

∴

∴     ∴ 拋物線(xiàn)與軸必有2個(gè)交點(diǎn)

又 ∵   

∴

∴

（2）

∴ 或  

∴ 或

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 的反函數(shù)是（    ）

A.

B.

C.

D.

2. 設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，）對(duì)稱(chēng)，且存在反函數(shù)，若，則等于（    ）

    A.     B. 1    C.     D. 2

3. 函數(shù)的反函數(shù)的解析式為（    ）

A.                            B.

C.                            D.

4. 已知函數(shù)存在反函數(shù)且，則函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（    ）

A.（2，0）   B.（0，2）   C.（3，）   D.（）

5. 設(shè)函數(shù)則的值是（    ）

    A.     B.     C.     D.

6. 設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（    ）

A.        B.     

C.          D.

7. 已知和是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，存在常數(shù)，使得，，且，則在A上的最大值是（    ）

    A.     B.     C. 5    D.

8. 如果函數(shù)的反函數(shù)是它本身，那么點(diǎn)（）的軌跡是（    ）

A. 定點(diǎn)（1，0）

B. 定點(diǎn)（）

C. 直線(xiàn)

D. 直線(xiàn)和定點(diǎn)（1，0）

二. 解答題：

1. 已知函數(shù)（，且）

（1）求函數(shù)的反函數(shù)；

（2）判定的奇偶性；

（3）解不等式

2. 若方程的兩根，一個(gè)比2大，一個(gè)比2小，求的取值范圍。

3. 關(guān)于的實(shí)系數(shù)二次方程的兩個(gè)實(shí)根為，證明：若且，那么。

【試題答案】

一.

1. B

    解析：，，即（）

2. A

    解析：由題意分析知點(diǎn)（3，0）關(guān)于點(diǎn)（1，）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（）也在上，結(jié)合反函數(shù)的意義分析知，故選A。

3. A

解析：由

∴ ，即 

∴     ∴

交換得

4. D

解析：由題意，則

令，則有，故點(diǎn)必在的圖象上

5. D

解析：由題意知時(shí)，

設(shè)，則  即

解之，得或（舍）

6. A

解析：方法一：求得

由，得

∴ ，解得

方法二：∵     ∴ 為增函數(shù)

根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的定義域、值域之間的關(guān)系，，即在中，在的條件下求的范圍。

∴

7. C

解析：由題設(shè)知和在上的同一點(diǎn)處取得最小值，且

∵ ，即

從而

又    ∴

8. D

解析：由互為反函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，知的圖象與重合成垂直

故或

二.

1. 解：

（1）化簡(jiǎn)，得，設(shè)，則

∴     

∴ 所求反函數(shù)為

（2）∵

∴ 是奇函數(shù)

（3）

當(dāng)時(shí)，原不等式

∴    當(dāng)時(shí)，  

解得

∴

綜上，當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為（）；當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為（）

2. 解：  ∴     

∴

3. 證明：，