（2）計(jì)算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；

（3）按各層個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；

（4）在每一層進(jìn)行抽樣（可用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣）。

7. 三種抽樣的關(guān)系：

8. 反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表

9. 將整個取值區(qū)間的長度稱為 全距，分成的區(qū)間的長度稱為組距。

10. 直觀地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律的方法———繪制頻數(shù)條形圖或頻率直方圖。

11. 如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連結(jié)起來，就得到一條折線，我們稱這條折線為本組數(shù)據(jù)的頻率折線圖

12. 頻率折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢. 如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則這條折線將趨于一條曲線，我們稱這一曲線為總體分布的密度曲線

  13. 將這些數(shù)據(jù)有條理地列出來，從中觀察得分的分布情況. 這種方法就是畫出該運(yùn)動員得分的莖葉圖

14. 回歸分析  一元線性回歸分析： 對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析。通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性。

  對于線性回歸分析，我們要注意以下幾個方面：

  （1）回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。兩個變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。

  （2）散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量基礎(chǔ)上的，對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析。

（3）求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。

15. 散點(diǎn)圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖.散點(diǎn)圖形象地反映了各對數(shù)據(jù)的密切程度。粗略地看，散點(diǎn)分布具有一定的規(guī)律。

16. 回歸直線

設(shè)所求的直線方程為，其中a、b是待定系數(shù)。

， ，

相應(yīng)的直線叫做回歸直線，對兩個變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計(jì)分析叫做回歸分析

  17. 相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜提出的，對于變量y與x的一組觀測值，把

=

叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)，用它來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度.

  18. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：≤1，且越接近1，相關(guān)程度越大；且越接近0，相關(guān)程度越小。

19. 顯著性水平:顯著性水平是統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中的一個概念，它是公認(rèn)的小概率事件的概率值。它必須在每一次統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)之前確定。

20. 顯著性檢驗(yàn)：（相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的步驟）由顯著性水平和自由度查表得出臨界值，顯著性水平一般取0.01和0.05，自由度為ｎ-2，其中ｎ是數(shù)據(jù)的個數(shù)。在“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表”查出與顯著性水平0.05或0.01及自由度n-2（n為觀測值組數(shù)）相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r₀.₀₅或r_0.01；例如ｎ＝7時，ｒ_0.05＝0.754，ｒ_0.01＝0.874。求得的相關(guān)系數(shù)ｒ和臨界值ｒ_0.05比較，若ｒ＞ｒ_0.05，上面ｙ與ｘ是線性相關(guān)的，當(dāng)≤r_{0 05}或r_{0 01}，認(rèn)為線性關(guān)系不顯著。

討論若干變量是否線性相關(guān)，必須先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在確認(rèn)線性相關(guān)后，再求回歸直線；通過兩個變量是否線性相關(guān)的估計(jì)，實(shí)際上就是把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來研究；我們研究的對象是兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系，還可以研究多個變量的相關(guān)問題，這在今后的學(xué)習(xí)中會進(jìn)一步學(xué)到。

（二）概率

1. 一般地，如果隨機(jī)事件Ａ在ｎ次試驗(yàn)中發(fā)生了ｍ次，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)ｎ很大時，我們可以將事件Ａ發(fā)生的頻率作為事件Ａ發(fā)生的概率的近似值，即。

2. 在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果稱為基本事件

3. 等可能基本事件的兩個特點(diǎn)：

（1）所有的基本事件只有有限個；

（2）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的。

將滿足上述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型

4. 概率計(jì)算公式：如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有ｎ個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是。如果某個事件Ａ包含了其中ｍ個等可能基本事件，那么事件Ａ發(fā)生的概率為Ｐ（Ａ）＝。

5. 一年按365天計(jì)算，2名同學(xué)在同一天過生日的概率為     

6. 一只口袋裝有形狀、大小都相同的6只小球，其中有2只白球、2只紅球和2只黃球。從中一次隨機(jī)摸出2只球，試求：

（1）2只球都是紅球的概率；

（2）2只球同色的概率；

（3）“恰有1只球是白球的概率”是“2只球都是白球的概率”的多少倍？

解：（1） ；   （2） ；  （3）

（三） 幾何概型

1. 對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣；而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點(diǎn)。這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等。用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型。

一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P（A）＝。這里要求D的測度不為0，其中“測度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應(yīng)的“測度”分別是長度、面積和體積等。

2. 即事件A與B是不可能同時發(fā)生的。不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件，如果事件A₁，A₂，…，A_n中的任何兩個都是互斥事件，就說事件A₁，A₂，…，A_n彼此互斥。

3. 設(shè)A，B為互斥事件，當(dāng)事件A，B有一個發(fā)生，我們把這個事件記作A+B。

4. 如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P（B）。

5. 如果事件A₁，A₂，…，A_n兩兩互斥，則P（A₁+A₂+…+A_n）=P（A₁）+P（A₂）+…+P（A_n）。

6. 兩個互斥事件必有一個發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件。事件Ａ的對立事件記為。

【典型例題】

例1. 有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻率數(shù)如下： 

10，15］4  30，359  15，205  35，408 

20，2510  40，453  25，3011

（1）列出樣本的頻率分布表（含累積頻率）；

（2）畫出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖。 

命題意圖：本題主要考查頻率分布表，頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖的畫法。 

知識依托：頻率、累積頻率的概念以及頻率分布表、直方圖和累積頻率分布圖的畫法。 

錯解分析：解答本題時，計(jì)算容易出現(xiàn)失誤，且要注意頻率分布與累積頻率分布的區(qū)別。

技巧與方法：  本題關(guān)鍵在于掌握三種表格的區(qū)別與聯(lián)系。

解：（1）由所給數(shù)據(jù)，計(jì)算得如下頻率分布表： 

（2）頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下：

例2. 袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p。

（Ⅰ）從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止。

（i）求恰好摸5次停止的概率；

（ii）記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布率及數(shù)學(xué)期望E。

（Ⅱ） 若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值。

命題意圖：本題考查利用概率知識和期望的計(jì)算方法。 

知識依托：概率的計(jì)算及期望的概念的有關(guān)知識。

錯解分析：在本題中，隨機(jī)變量的確定，稍有不慎，就將產(chǎn)生失誤。 

技巧與方法：可借助n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式計(jì)算概率。

解：（Ⅰ）（i）

（ii）隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3；

由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，得

；

（或）

隨機(jī)變量的分布列是

的數(shù)學(xué)期望是：

。

（Ⅱ）設(shè)袋子A中有m個球，則袋子B中有2m個球。

由，得。

例3. 一個口袋里共有2個紅球和8個黃球，從中隨機(jī)地接連取3個球，每次取一個。設(shè){恰有一個紅球}=A，{第三個球是紅球}=B求在下列條件下事件A、B的概率。

（1）不返回抽樣；

（2）返回抽樣。

解：（1）不返回抽樣，

P（A）==，P（B）== 。

（2）返回抽樣，

P（A）=C=，P（B）== 。

例4. 在袋中裝20個小球，其中彩球有n個紅色、5個藍(lán)色、10個黃色，其余為白球。

求：（1）如果從袋中取出3個都是相同顏色彩球（無白色）的概率是，且n≥2，那么，袋中的紅球共有幾個?

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，計(jì)算從袋中任取3個小球至少有一個是紅球的概率。

解：（1）取3個球的種數(shù)為C=1140。

設(shè)“3個球全為紅色”為事件A，“3個球全為藍(lán)色”為事件B，“3個球全為黃色”為事件C。

P（B）==，P（C）==。

∵A、B、C為互斥事件，

∴P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C），

即=P（A）++P（A）=0

取3個球全為紅球的個數(shù)≤2。

又∵n≥2，故n=2。

（2）記“3個球中至少有一個是紅球”為事件D則為“3個球中沒有紅球”。

P（D）=1-P（）=1-=或

P（D）==。

例5. 甲乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時刻是等可能的。如果甲船停泊的時間為4小時，乙船停泊的時間為2小時，求它們中的任意一艘船都不需要等待碼頭空出的概率。

解：設(shè)甲乙兩船到達(dá)該碼頭的時刻分別是x，y時刻.則

則x，y滿足的可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分。

故所求的概率為:

例6. 將長為3的棒隨機(jī)折成3段，（1）求3段能構(gòu)成三角形的概率；

（2）求3段不能構(gòu)成三角形的概率。

解：設(shè)被分成的三段為x，y，3-x-y，則

x，y對應(yīng)的區(qū)域是如上圖所示的三角形。

（1）記3段能構(gòu)成三角形為事件A，則P（A）=

（2） 記3段不能構(gòu)成三角形為事件B，則P（B）

例7. 已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：

    （1）求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)是否線性相關(guān)；

    （2）若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥150kg時，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。

    分析：（1）使用樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式來完成；（2）查表得出顯著性水平0.05與自由度15-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界比較，若則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān)。

  解：（1）列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：

    ，，

    ，，。

故蔬菜產(chǎn)量與放用氮肥量的相關(guān)系數(shù)

    。

    由于n=15，故自由度15-2=13。

由相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關(guān)系數(shù)臨界值，則，

從而說明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。

    （2）設(shè)所求的回歸直線方程為，則，

    ，

    ∴回歸直線方程為。

    點(diǎn)評：求解兩個變量的相關(guān)系數(shù)及它們的回歸直線方程的計(jì)算量較大，需要細(xì)心、謹(jǐn)慎地計(jì)算。如果會使用含統(tǒng)計(jì)的科學(xué)計(jì)算器，能簡單得到，，，，這些量，也就無需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了。另外，利用計(jì)算機(jī)中有關(guān)應(yīng)用程序也可以對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

例8. 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

    若由資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系。試求：

    （1）線性回歸方程；

    （2）估計(jì)使用年限為10年時，維修費(fèi)用是多少？

    分析：本題為了降低難度，告訴了y與x間呈線性相關(guān)關(guān)系，目的是訓(xùn)練公式的使用。

    解：（1）列表如下： 

    于是，

    。

∴線性回歸方程為：。

    （2）當(dāng)x=10時，（萬元）

    即估計(jì)使用10年時維修費(fèi)用是12.38萬元。

點(diǎn)評：本題若沒有告訴我們y與x間是呈線性相關(guān)的，應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。如果本身兩個變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著時，即使求出回歸方程也是沒有意義的，而且其估計(jì)與預(yù)測也是不可信的。

【模擬試題】

1. 為考慮廣告費(fèi)用x與銷售額y之間的關(guān)系，抽取了5家餐廳，得到如下數(shù)據(jù)：

現(xiàn)要使銷售額達(dá)到6萬元，則需廣告費(fèi)用為_____（保留兩位有效數(shù)字）

2. 某校高三年級舉行的一次演講比賽共有10位同學(xué)參加，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位若采取抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班的3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為

A.                    B.                          C.                          D.

3. 甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是40%，甲不輸?shù)母怕蕿?/SPAN>90%，則甲、乙二人下成和棋的概率為

A. 60%                        B. 30%                 C. 10%                 D. 50%

4. 從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是

A. 至少有1個白球，都是紅球                       B. 至少有1個白球，至多有1個紅球

C. 恰有1個白球，恰有2個白球                   D. 至多有1個白球，都是紅球

5. 一批產(chǎn)品共10件，其中有兩件次品，現(xiàn)隨機(jī)地抽取5件，則所取5件中至多有一件次品的概率為

A.                          B.                           C.                           D.

6. 在某段時間內(nèi)，甲地不下雨的概率為0.3，乙地不下雨的概率為0.4，假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否下雨相互無影響，則這段時間內(nèi)兩地都下雨的概率是

A. 0.12                         B. 0.88                         C. 0.28                        D. 0.42

7. 一道數(shù)學(xué)競賽試題，甲生解出它的概率為，乙生解出它的概率為，丙生解出它的概率為，由甲、乙、丙三人獨(dú)立解答此題只有一人解出的概率為________。

8. 一出租車司機(jī)從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是。那么這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率是________。

9. 某學(xué)生參加一次選拔考試，有5道題，每題10分。已知他解題的正確率為，若40分為最低分?jǐn)?shù)線，則該生被選中的概率是________。

10. 某單位訂閱大眾日報的概率為0.6，訂閱齊魯晚報的概率為0.3，則至少訂閱其中一種報紙的概率為________。

11. 在未來3天中，某氣象臺預(yù)報每天天氣的準(zhǔn)確率為08，則在未來3天中，

（1）至少有2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率是多少？

（2）至少有一個連續(xù)2天預(yù)報都準(zhǔn)確的概率是多少？

12. 一個通訊小組有兩套設(shè)備，只要其中有一套設(shè)備能正常工作，就能進(jìn)行通訊每套設(shè)備由3個部件組成，只要其中有一個部件出故障，這套設(shè)備就不能正常工作。如果在某一時間段內(nèi)每個部件不出故障的概率為p，計(jì)算在這一時間段內(nèi)，

（1）恰有一套設(shè)備能正常工作的概率；

（2）能進(jìn)行通訊的概率。

13. 已知甲袋中有3個白球和4個黑球，乙袋中有5個白球和4個黑球現(xiàn)從兩袋中各取兩個球，試求取得的4個球中有3個白球和1個黑球的概率。

【試題答案】

  1. 解析：先求出回歸方程=bx+a，令=6，得x=1.5萬元。

答案：1.5萬元

  2. 解析：10位同學(xué)總參賽次序A。一班3位同學(xué)恰好排在一起，而二班的2位同學(xué)沒有排在一起的方法數(shù)為先將一班3人捆在一起A，與另外5人全排列A，二班2位同學(xué)不排在一起，采用插空法A，即AAA。

∴所求概率為= 。

答案：B

  3. 甲不輸即為甲獲勝或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p，∴p=50%。

答案：D

  4. C

  5. 解析：P=+=+=。

答案：B

  6. 解析：P=（1-0.3）（1-0.4）=0.42。

答案：D

  7. 解析：P=××+ ××+ ××=。

答案：

  8. 因?yàn)檫@位司機(jī)在第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈，所以P=（1-）（1-）×=。

答案：

  9. 解析：要使該生被選中，則必須他解對5題或4題。

∴P=（）⁵+C×（）⁴×（1-）=

答案：

  10. 解析：P=1-（1-06）（1-03）=0.72。

答案：0.72。

  11. 解：（1）至少有2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率即為恰有2天和恰有3天預(yù)報準(zhǔn)確的概率，即

C·0.8²·0.2+C·0.8³=0.896。

∴至少有2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率為0.896。

（2）至少有一個連續(xù)2天預(yù)報都準(zhǔn)確，即為恰有一個連續(xù)2天預(yù)報準(zhǔn)確或3天預(yù)報準(zhǔn)確的概率為

2·0.8²·0.2+0.8³=0.768。

∴至少有一個連續(xù)2天預(yù)報都準(zhǔn)確的概率為0.768。

  12. 解：記“第一套通訊設(shè)備能正常工作”為事件A，“第二套通訊設(shè)備能正常工作”為事件B。

由題意知P（A）=p³，P（B）=p³，

P（）=1-p³，P（）=1-p³。

（1）恰有一套設(shè)備能正常工作的概率為

P（A·+ ·B）=P（A·）+P（·B）

=p³（1-p³）+（1-p³）p³=2p³-2p⁶。

（2）方法一：兩套設(shè)備都能正常工作的概率為

P（A·B）=P（A）·P（B）=p⁶。

至少有一套設(shè)備能正常工作的概率，即能進(jìn)行通訊的概率為

P（A·+ ·B）+P（A·B）=2p³-2p⁶+p⁶=2p³-p⁶。

方法二：兩套設(shè)備都不能正常工作的概率為

P（·）=P（）·P（）=（1-p³）²。

至少有一套設(shè)備能正常工作的概率，

即能進(jìn)行通訊的概率為

1-P（·）=1-P（）·P（）=1-（1-p³）²=2p³-p⁶。

答：恰有一套設(shè)備能正常工作的概率為2p³-2p⁶，能進(jìn)行通訊的概率為2p³-p⁶。

  13. 解：從甲袋中取2個白球，從乙袋中取1個黑球和1個白球的概率為

×=；

從甲袋中取1個黑球和1個白球，從乙袋中取2個白球的概率為

×=。

所以，取得的4個球中有3個白球和1個黑球的概率為

+==。