作者：七是

數(shù)學(xué)是唯一有用的的形而上學(xué)——L.開爾文勛爵

這是微積分的勝利——海灣戰(zhàn)爭時(shí)美國一網(wǎng)友的評論

希臘以后人類經(jīng)歷了漫長的思想停滯終于迎來了偉大的文藝復(fù)興和啟蒙運(yùn)動(dòng)而步入現(xiàn)代。但丁、達(dá).芬奇、哥白尼、伽利略、開普勒、笛卡爾……這些名字不僅代表著一個(gè)個(gè)獨(dú)立而不屈服的靈魂，還代表著那個(gè)時(shí)代的輝煌。他們共同吹響了人類航船駛?cè)氍F(xiàn)代化的起航號角。人們急切地等待聆聽這序曲之后的樂章；等待著劃分古代與現(xiàn)代的原點(diǎn)式的人物的出現(xiàn)以及他所開創(chuàng)的事業(yè)——艾薩克.牛頓、萊布尼茨和微積分，他們和他們所代表的成就注定成為人類告別舊世界的終點(diǎn)和開創(chuàng)新未來的起點(diǎn)！微積分的發(fā)明除了能推導(dǎo)出已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的宇宙定律之外，還為創(chuàng)立許多新的科學(xué)領(lǐng)域提供了動(dòng)力。

微積分的創(chuàng)始人牛頓和萊布尼茲

17世紀(jì)三位偉大的思想家，費(fèi)馬、牛頓和G.W.萊布尼茨的微積分思想不但被迅速的接受而且其思想的傳播與應(yīng)用迅速形成了勢不可擋的時(shí)代潮流。

一般認(rèn)為卓越人物從根本上來說和所處的時(shí)代勢不兩立，“開放性”是現(xiàn)代理論的基礎(chǔ)之一。不隨波而行的思想和人格，冷峻而嚴(yán)厲的審視目光是檢驗(yàn)剖析新思想的真?zhèn)蔚慕馄实?，是磨礪思想之劍的砥石。同樣，微積分思想也是在討論與質(zhì)疑中成長起來的，新理論是在拷問與辯駁中由嬌艷的溫室花朵成長為風(fēng)姿綽約的大樹。

站在巨人肩膀上

微積分的創(chuàng)立，首先是為了解決17世紀(jì)重點(diǎn)科學(xué)問題。1、已知物體運(yùn)動(dòng)的“距離——時(shí)間”函數(shù)關(guān)系求任意時(shí)刻的速度和加速度?！叭我粫r(shí)刻”的時(shí)間間距是0，那么他的位移量也必然是0，這就出現(xiàn)了v=0/0的困難；2、求曲線的切線，研究成像光學(xué)不能回避的“切線、法線”如果沒有理論突破，應(yīng)用技術(shù)也會(huì)出現(xiàn)“營養(yǎng)不良”而不能發(fā)展；3、求函數(shù)的最大、最小值。例如，“彈道學(xué)”就必然涉及此類問題；4、求曲線的長、曲線圍出的面積、曲面圍出的體積、物體的重心問題。

牛頓、萊布尼茨是站在“巨人肩膀上”的求知者，我們下面大略列出他們之前的先行者的腳步：

1. “古代時(shí)期的現(xiàn)代人”希臘人阿基米德（約公元前287—前212）是古代最偉大的智者和徹底的現(xiàn)代派。已經(jīng)能用他發(fā)明的“窮竭法”計(jì)算曲線平面圖形面積和曲面所圍體積；
2. 伽利略把力學(xué)與幾何學(xué)聯(lián)系在一起用“相似三角形近似法”求出了如y=xⁿ曲線的切線；
3. 偉大的費(fèi)馬在計(jì)算曲線切線時(shí)已經(jīng)開始涉及到了“極限思想”，并提出了具有實(shí)用價(jià)值的處理方法，并在“最值問題”上取得了部分突破；
4. 艾薩克.巴羅（牛頓的老師）用“特征三角形相似比”的方法解決了一大類微積分問題；
5. 開普勒（行星運(yùn)動(dòng)三定律的發(fā)現(xiàn)者）已經(jīng)開始研究面積、體積、重心、曲線長問題；
6. 卡瓦列里(伽利略的學(xué)生)提出了“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體?！钡乃枷?；1693年，證明了（為便于閱讀，本文均以現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號敘述）n為1-9的整數(shù)，成立。盡管卡瓦列里的方法遭到批評，但還是有很多數(shù)學(xué)家使用其方法。實(shí)際上費(fèi)馬1636以前就知道上式除-1以外對任何有理數(shù)都成立！
7. 1634年，用“不可分法”羅伯勃已經(jīng)能夠計(jì)算多種曲線所圍出的面積。

……

經(jīng)過漫長的積累，時(shí)代呼喚具有足夠洞察力的人將這些研究碎片統(tǒng)一起來；此人還需要非常的想象力從紛亂的猜測中挖掘出有價(jià)值的思想并能夠完成宏大的計(jì)劃，牛頓、萊布尼茨站了出來！

牛頓從物理方面著手考察運(yùn)動(dòng)的速度、加速度等概念；萊布尼茨則從哲學(xué)方面的“最終微?！獑巫印比〉?。他們共同打開了微積分的大門。他們的工作主要是鑿開前人頑固的“幾何腦袋”摒棄了諸如“特征三角形”的笨拙方法，采用了代數(shù)方式處理了導(dǎo)數(shù)與積分，完成了微積分方法從“特殊到一般”的升華；他們以深刻的洞察力發(fā)現(xiàn)了微分與積分是互逆運(yùn)算，以此提出了“微積分基本定理”。微積分基本定理是微積分思想走向成熟的閘門，打開了這道閘門，微積分思想?yún)R入了“人類科學(xué)理性思想”的滾滾洪流中。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)——“邏輯”！要命的邏輯！

由于微積分的誕生不是嚴(yán)格按照“邏輯線路”生成的，包括牛頓和萊布尼茨本人都對微積分的那個(gè)“微小量”的處理是否合法也產(chǎn)生過懷疑，很快，許多人也發(fā)現(xiàn)了那個(gè)“微小量”在邏輯中產(chǎn)生的悖論。

為了方便讀者，下面我們以牛頓的流數(shù)法為典型，舉個(gè)特殊的簡單的例子來看看問題出在哪里：（用現(xiàn)代代數(shù)符號列出）

“如果一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程是y=x²（y表示位置，x表示任一時(shí)刻），那么它在任一時(shí)刻的速率是怎樣的？”（脫離開“運(yùn)動(dòng)”的概念，將y=x²看作函數(shù)也可。）

解：第一步：欲求速度v，有一個(gè)求平均速率公式：=s/t（速度等于距離除以時(shí)間）

第二步：根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程y=x²我們給出一段“微小”運(yùn)動(dòng)時(shí)間△x=h；那么這段時(shí)間位移量就是

第三步：平均速度；也就是；

第四步：；；

第五步：消去h得 =2x+h

第六步：當(dāng)這個(gè)“微小時(shí)間增量h趨近于0時(shí)，我們就可以把平均速率看成瞬時(shí)速率v”那么v=2x+0；

得出結(jié)論：瞬時(shí)速率v=2x

這樣，只要給出任意時(shí)刻x，我們就可以很方便的求出任意時(shí)刻的瞬時(shí)速率v了！

但是，以上計(jì)算出現(xiàn)了一個(gè)明顯的邏輯悖論——“微小量h”是什么？

“如果h是0，那么第三步中不能做分母；如果h不是0，第六步怎么又等于0了？”

牛頓使用了“最初比與最終比”來解釋這個(gè)悖論；萊布尼茨的追隨者使用“無窮小的非0量”以求過關(guān)。但追究起來，這些說法無非是“文字花招”不但不能解決悖論，甚至帶來更多的混亂。

那么，在微積分的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了如此大的“漏洞”情況下，牛頓和萊布尼茨怎么還會(huì)相信其方法的正確性呢？

指引牛頓、萊布尼茨沿著一條正確道路前進(jìn)的正是直覺和物理上的結(jié)論，而不是邏輯。一個(gè)個(gè)“物理事實(shí)”堅(jiān)定了二人的信心，也給這兩個(gè)思想巨人指明了行動(dòng)的方向。

后來數(shù)學(xué)家甚至評論說“如果牛頓知道連續(xù)函數(shù)并不都是可導(dǎo)的，（如f(x)=|x|,在原點(diǎn)就不可導(dǎo)）那么微積分就不會(huì)誕生了”。

由于早期微積分的研究缺乏嚴(yán)密性，所以在整個(gè)這門學(xué)科內(nèi)部爭吵聲連綿不絕。牛頓同時(shí)代數(shù)學(xué)家M.羅爾就帶嘲諷意味的說微積分是“精巧機(jī)智謬論”的匯編。牧師貝克萊更是出版了一本頗具影響的小冊子，把“微小增量”嘲諷的稱之為“無窮小精靈”。

這些早期微積分的發(fā)明者問題出在哪里呢？

現(xiàn)在我們已經(jīng)知道，問題在于“怎樣定義無窮小。”由于牛頓時(shí)期數(shù)學(xué)家把“無窮∞”當(dāng)作了一個(gè)明確的“數(shù)”來對待，這樣用“無窮小是無窮大的倒數(shù)”定義就必然走入歧途。

盡管牛頓、萊布尼茨在微積分技術(shù)方面做出了具有深遠(yuǎn)意義的的進(jìn)展，但他們?yōu)檫@門學(xué)科建立在嚴(yán)格基礎(chǔ)上方面卻沒有貢獻(xiàn)，他們的相關(guān)著作中，圍繞當(dāng)時(shí)還沒有受到重視的極限概念的正確性相互詆毀、辯論，甚至多次否定自己先前的說法。在處理極限理論方面兩人不但都沒有成功，還給同時(shí)代的人甚至他們的多數(shù)后繼者帶來了混亂。

數(shù)學(xué)家的工作就是在自圓其說。

從“不用馬拉的車”的概念到“現(xiàn)代汽車”的概念，兩者之間的空白是由100多項(xiàng)重大發(fā)明、數(shù)百項(xiàng)小的發(fā)明才能填補(bǔ)起來。牛頓、萊布尼茨的微積分與現(xiàn)代被認(rèn)為“令人滿意”的微積分，兩者之間空白也是由數(shù)百名偉大的或名不見經(jīng)傳的數(shù)學(xué)家的工作才填補(bǔ)起來的，經(jīng)過150年，才大體產(chǎn)生出一門邏輯相對完備和嚴(yán)密的微積分。

現(xiàn)代理論的特點(diǎn)之一就是“敘述邏輯清晰，概念內(nèi)涵明確，不能有含糊”，一個(gè)新的理論誕生并不是嚴(yán)格按照“邏輯射線”指向單向發(fā)展的，理論的完善就是把一個(gè)個(gè)“模糊點(diǎn)”清晰化，通俗化。

牛頓去世后不久首先站出來決心克服“無窮小精靈”危機(jī)的人是C.麥克勞林，1742年出版了這方面的著作，之后人們寫出了許多想利用邏輯使微積分達(dá)到嚴(yán)密性這一目的著作；在牛頓和萊布尼茨去世大約100年后J.L朗格朗日和L.歐拉做出了杰出的貢獻(xiàn)，并且他們都看到“基礎(chǔ)不穩(wěn)固的微積分之所以得到正確的結(jié)果僅僅是因?yàn)樵谶壿嬤^程中錯(cuò)誤相互抵消了”。

……

徹底解決疑問的數(shù)學(xué)家主要是柯西和魏爾斯特拉斯等人。

1821年卓越的法國數(shù)學(xué)家A.L.柯西出版了著作《分析教程》（至今仍是流行的分析學(xué)教科書之一?。┲谐晒Φ挠矛F(xiàn)代極限理論來說明導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)。他將導(dǎo)數(shù)明確定義如下：

“現(xiàn)代分析學(xué)之父”魏爾斯特拉斯又用了“ε-δ”語言一舉克服了“l(fā)im困難”，他將極限定義如下：

設(shè)函數(shù)f（x）在x₀的某個(gè)“去心領(lǐng)域”內(nèi)有定義，則任意給定一個(gè)ε大于0，存在一個(gè)δ大于0，使得當(dāng)

時(shí)，不等式成立；

則稱A是函數(shù)f（x）當(dāng)x趨近于x₀時(shí)的極限，記成

至此！第二次數(shù)學(xué)危機(jī)算是圓滿度過。

部分大一的學(xué)生對現(xiàn)代極限理論的“ε-δ”語言表述不容易接受，似乎好像存在天生的反感，使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課程出現(xiàn)了一些困難。

中國數(shù)學(xué)家近年來采取“不等式”初等方法來解決“極限問題”并取得了一些初步成果，有興趣的讀者可以參看張景中《直來直去的微積分》，但是由于“極限理論體系”涉及到高等數(shù)學(xué)方方面面，要解決函數(shù)論、復(fù)變函數(shù)等的全部基礎(chǔ)問題“不等式方法”還遠(yuǎn)不能勝任。

微積分不是現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)的巔峰，而是分析學(xué)的基礎(chǔ)。

如讀者覺得本文“數(shù)學(xué)部分”有困難，可以直接跳過，文字部分也大體可以了解本文含義，關(guān)于微積分思想和發(fā)展歷程筆者準(zhǔn)備以后再和讀者交流。