幾何：等腰三角形

［學習目標］

    代數(shù)：分式定義；分式有意義與值為0的條件；分式的加減乘除運算，掌握含有字母系數(shù)的一元一次方程，可化為一元一次方程的分式方程的解法。

    幾何：掌握等腰三角形的性質及判定；掌握線段的垂直平分線的性質及判定

二. 重點、難點：

    重點：

    代數(shù)：分式的概念及運算；可化為一元一次方程的分式方程的解法。

    幾何：等腰三角形的性質與判定；線段的垂直平分線的性質及判定

    難點：

    代數(shù)：分式計算；分式方程的解法

    幾何：等腰三角形的判定，線段的垂直平分線的判定

三、知識結構

    代數(shù)：

  1. 分式

  2. 含有字母系數(shù)的一元一次方程 

  3. 可化為一元一次方程的分式方程 

    幾何：

    等腰三角形

    線段的垂直平分線

【典型例題】

  例1. 求使得下列各式有意義的x的范圍及使得下列各式值為零的x值。

    （1）              （2）

    分析：有意義，分母≠0；值為零

    解：（1）要使有意義，需

    即當x≠±1時，分式有意義

    要使值為零，需

    由①，得x＝0或x＝－1

    由②，得x≠±1

    ∴當值為零。

    （2）要使有意義，需

    即當x≠±1時，分式有意義

    要使值為零，需

    由①，得x＝0

    由②，得x≠±1

    ∴當x＝0時，值為零。

  例2. 化簡

    （1）

    （2）

    解：（1）原式

    （2）原式

  例3. 解方程

    （1）

    （2）

    解：（1）方程的兩邊同乘以，得

    ∴

    檢驗：當x＝1時，

    所以x＝1是增根，原方程無解。

    （2）方程兩邊同乘以abx，得

    移項，得

    ∵

    ∴方程兩邊同除以，得

  例4. 如圖：AB＝AC，∠A＝40°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC。

    解：設∠PCA＝x，則∠PBC＝x，設∠PCB＝y

    ∵AB＝AC

    ∴∠ABC＝∠ACB

    ∴∠PBA＝y

    在△ABC中，∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°

    ∴∠ACB＋∠ABC＝180°－∠A＝180°－40°＝140°

    即2(x＋y)＝140°，∴x＋y＝70°

    在△PBC中，∠CPB＝180°－（x＋y）＝180°－70°＝110°

    即∠BPC＝110°

  例5. 如圖，點P是線段AB的中垂線上一點，PC⊥PA，PD⊥PB，AC=BD，求證：點P在線段CD的中垂線上。

    證明：∵點P在線段AB的中垂線上

    ∴PA=PB

    在Rt△PAC和Rt△PBD中，

    ∴Rt△PAC≌Rt△PBD（HL）

    ∴PC=PD（全等三角形對應邊相等）

    ∴P在線段CD的中垂線上（中垂線定理的逆定理）

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

  1. 下列各式中是分式的是哪些？

  2. 求使得下列各式有意義的條件

    ①                    ②             ③

  3. 解方程

    ①

    ②

  4. 求證：等腰三角形兩腰上的高相等。

  5. 如圖：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C，D。

    求證：OE是CD的中垂線。

【試題答案】

  1. ，

  2. ①               ②x為任意數(shù)        ③

  3. ①                     ②

  4. 略

  5. 提示：只需證ED＝EC