學(xué)習(xí)目標(biāo)：

  1. 掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用；能解二元一次、二元二次、三元一次方程組，會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用。

  2. 類比方程（組）的知識(shí)點(diǎn)，掌握不等式（組）的知識(shí)點(diǎn)。

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)

  1. 方程的有關(guān)概念，同解原理①②

  2. 方程的分類

  3. 一元一次方程

    ①，a一次項(xiàng)系數(shù)，b常數(shù)項(xiàng)

    ②求根公式：唯一實(shí)根

  4. 一元二次方程

    ①

    a二次項(xiàng)系數(shù)；b一次項(xiàng)系數(shù)；c常數(shù)項(xiàng)

    ②根的判別式：

    ③當(dāng)時(shí)，求根公式

    ④解法：

    直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法

    ⑤當(dāng)時(shí)，根與系數(shù)a、b、c關(guān)系

    ，

    ⑥構(gòu)造以為根的方程

    有無(wú)數(shù)個(gè)，構(gòu)造以1為二次項(xiàng)系數(shù)的

  5. 分式方程

    ①定義；②解法：分式化整式，注意驗(yàn)根；③解的個(gè)數(shù)

  6. 方程組的有關(guān)概念

  7. 二元一次方程組，二元二次方程組，三元一次方程組

    ①解法思路：消元、降次

    ②方法：代入法、加減法

  8. 解的情況：個(gè)數(shù)

  9. 不等式的概念：，或，

  10. 不等式的基本性質(zhì)①②③及同解原理

  11. 不等式的解集及解法，解的個(gè)數(shù)

  12. 利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集

  13. 注意類比的方法

  14. 絕對(duì)值不等式、分式不等式要轉(zhuǎn)化成不等式組來(lái)解，可看作不等式組的應(yīng)用。

【典型例題】

  例1. 已知關(guān)于x的方程與的解相同，求m的值。

    解：的解為

    的解為

    兩個(gè)方程的解相同，

    說(shuō)明：若要求x的值是多少，不必將m＝2代入原方程，只需代入或，得

  例2. 解下列方程

    （1）

    （2）

    解：（1）方程兩邊同乘12，得

    去括號(hào)，得

    移項(xiàng)，得

    合并同類項(xiàng)，得

    說(shuō)明：解一元一次方程是解其它方程的基礎(chǔ)，基本思路是把方程變形為最簡(jiǎn)方程，再求解。

    （2）利用公式的基本性質(zhì)，原方程化為：

    去分母，得

    說(shuō)明：注意不要將分式的性質(zhì)和等式的性質(zhì)相混淆。

  例3. 解下列方程

    （1）

    （2）

    解：（1）設(shè)，則

    原方程可化為

    則有

    整理，得

    解得

    當(dāng)時(shí)，

    當(dāng)時(shí)，

    ，此方程無(wú)實(shí)根

    經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根。

    （2）設(shè)，則

    原方程化為

    整理得

    解得

    當(dāng)時(shí)，

    整理得

    解得

    當(dāng)時(shí)，

    整理得

    解得

    經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根。

  例4. 不解方程，判斷關(guān)于x的方程的根的情況。

    解：原方程整理為

    即，故原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

  例5. m為何值時(shí)，方程（1）無(wú)實(shí)根；（2）有實(shí)根；（3）只有一個(gè)實(shí)根；（4）有兩個(gè)實(shí)根；（5）有兩個(gè)不等實(shí)根；（6）有兩個(gè)相等實(shí)根。

    解：（1）分兩種情況：

    ①當(dāng)m＝1時(shí)，方程為，它有一個(gè)實(shí)根，不符合題意，舍去；

    ②當(dāng)時(shí)，

    只需，即時(shí)無(wú)實(shí)根

    （2）分兩種情況，當(dāng)時(shí)，即

    且時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)根

    當(dāng)m＝1時(shí)，方程為有一個(gè)實(shí)根

    綜上所述，即時(shí)，方程有實(shí)根

    （3）當(dāng)m＝1時(shí)，方程為一元一次方程，只有一個(gè)實(shí)根

    （4）當(dāng)，即且時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根

    （5）當(dāng)，即且時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根

    （6）當(dāng)，即時(shí)方程有兩個(gè)相等實(shí)根

    說(shuō)明：一定要注意審題，區(qū)別題目的不同問(wèn)法。

  例6. 已知關(guān)于x的一元二次方程（m為實(shí)數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和大于零，求m的取值范圍。

    解：由題意知，應(yīng)滿足

    解由<1>知：

    由<2>得：

    把<3>、<4>代入<5>，得：

    綜上所述，且

    說(shuō)明：解決這類題目，常常需要列出五個(gè)條件。在本題中，<1>式因?yàn)槭且辉畏匠?，故二次?xiàng)系數(shù)；<2>式因?yàn)橛袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，故；<3>、<4>為一元二次方程根與系數(shù)的兩個(gè)關(guān)系式；<5>是本題關(guān)于一元二次方程兩實(shí)根的特殊條件。這五個(gè)條件綜合起來(lái)，此題方可解出。所以同學(xué)在審題時(shí)一定要認(rèn)真分析題目中的每個(gè)詞語(yǔ)，不要遺漏條件，特別要注意挖掘隱含條件。

  例7. （1）設(shè)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，求證：；

    （2）如果關(guān)于x的方程及方程均有實(shí)數(shù)根，問(wèn)方程與方程是否有相同的根？若有，請(qǐng)求出這個(gè)相同的根；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。

    證明：（1）由題意，得

    即原等式成立。

    （2）解：設(shè)方程與方程有相同的實(shí)數(shù)根a，則可得：

    ，變形為

    即

    若，則，代入方程及

    兩方程均為，，無(wú)實(shí)根

    ，即

    則，即

    兩個(gè)方程有相同的實(shí)數(shù)根。

    說(shuō)明：第（2）問(wèn)的解法是有關(guān)“兩個(gè)一元二次方程有相同根”問(wèn)題的一個(gè)常見(jiàn)解法，注意分類討論。

  例8. 已知：是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)根，且，求m的值。

    解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有：

    均不為零

    ，即異號(hào)

    取

    設(shè)，則

    整理得

    將和分別代入中，符合

    反思：

    通過(guò)此題的分析及解題過(guò)程，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

    （1）由去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，一定要考慮的正、負(fù)；

    （2）求m的過(guò)程中，通過(guò)設(shè)參數(shù)較為簡(jiǎn)便，也可利用的關(guān)系代入去求；

    （3）求出m的值后，還應(yīng)代入去檢驗(yàn)是否符合。

  例9. 解方程組：

    解法一：（用代入法）

    由<2>得：

    把<3>代入<1>得：

    整理，得

    把代入<3>，得

    把代入<3>，得

    原方程組的解為，

    解法二：（用因式分解法）

    方程<1>可化為

    即

    或

    原方程組可化為：

    和

    分別解得，

    說(shuō)明：此題為I型二元二次方程組，一般可用代入法求解，當(dāng)求出一個(gè)未知數(shù)的值后，一定要代入到二元一次方程中去求另一個(gè)未知數(shù)的值。

  例10. 解方程組

    解：由<1>得：

    或

    由<2>，得

    或

    原方程組化為以下四個(gè)方程組：

    ，，，

    原方程組的解為：

    說(shuō)明：此題為II型二元二次方程組，要注意根據(jù)方程的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ狻?/SPAN>

  例11. 解下列方程組：

    （1）

    （2）

    （3）

    （1）分析：此題是I型二元二次方程組，可以用代入法來(lái)解，再介紹另外一種解法。

    解：方程<1>是x與2y的和，方程<2>是x與2y的積

    x與2y是方程的兩個(gè)根

    解此方程得

    或

    即原方程組的解是，

    （2）解：得：

   ，

    得：

    可化為以下四個(gè)方程組：