高考中解析幾何解答題的熱點問題——圓錐曲線

　　高考中常以圓錐曲線為載體，與平面向量、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識進行綜合，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，考查學生的數(shù)學思維能力及創(chuàng)新能力。知識交匯處體現(xiàn)在：圓錐曲線的標準方程和幾何性質與平面向量的結合，主要通過坐標結合起來；圓錐曲線的標準方程和幾何性質與導數(shù)的結合，主要與圓錐曲線切線的斜率相關；解析幾何與立體幾何、平面幾何的結合，體現(xiàn)在空間直角坐標系中運用解析法解題和平面幾何相關定理的運用。

　　熱點一  求曲線（軌跡）方程

　　曲線與方程的關系是解析幾何的入門之處，也是解析法的關鍵，所以是考試重點之一。

　　例題 已知⊙M：x2+(y-2)2=1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，

　?。á瘢┤绻鹼AB|=■，求直線MQ的方程；

　　（Ⅱ）求動弦AB的中點P的軌跡方程.

　　解析：（1）兩點確定一條直線；（2）利用平面幾何知識，找出關系。

　　略解：（Ⅰ）Q(a，０)由|AB|=■，可得

　　|MP|=■2=■=■，由射影定理，

　　得|MB|2=|MP|·|MQ|，得|MQ|=3，故a=■或a=-■，

　　所以直線MQ方程是

　　2x+■y-2■=0或2x-■y+2■=0；

　?。á颍┻B接MB，MQ，設P(x，y)，Q(a，0)，由點M，P，Q在一直線上，得■=■，(*)

　　由射影定理得|MB|2=|MP|·|MQ|， 即

　　■·■＝1（**）

　　由（*）及（**）消去a，

　　并注意到Y<2，可得

　　x2+(y-■)2=■ (y≠2)。

　　點評：合理應用平面幾何知識，這是快速解答本題的關鍵所在。注意如何設參數(shù)，通常找最初引起變化的因素設。

　　熱點二  圓錐曲線的幾何性質

　　由橢圓的方程，熟練準確地寫出其幾何性質（如頂點，焦點，長、短軸長，焦距，離心率，焦半徑等）是應對考試必備的基本功，基本功不行就無從談綜合。

　　熱點三  直線與圓錐曲線位置關系問題

　　利用數(shù)形結合法或將直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立轉化為一元二次方程，利用判別式、韋達定理來求解或證明。將橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面向量等基礎知識綜合起來考查，在高考中可謂考得淋漓盡致，其本質是對用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質和數(shù)形結合的思想的考查，并體現(xiàn)出運算和推理能力。

　　熱點四  圓錐曲線的標準方程和幾何性質與平面向量的巧妙結合

　　例題 （2011天津高考）在平面直角坐標系XOY中，點P(a，b)(a>b>0)為動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2 分別為橢圓■+■=1(a>b>0)的左、右焦點，已知△F1PF2為等腰三角形.

　?。á瘢┣髾E圓的離心率e；

　　（Ⅱ）設直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的點，滿足A■·B■=-2，求點M的軌跡方程.

　?。á瘢┙猓涸OF1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)(c>0)。由題意可得|PF2|=|F1F2|，即■=2c整理得2(■)2+■-1=0，■=-1（舍），或■=■，e=■

　　（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a=2c，b=■c，可得橢圓的方程為3x2+4y2=12c2，直線PF2的方程為y=■(x-c)

　　A，B兩點的坐標滿足方程組

　　■，消去y整理得到5x2-8cx=0 

　　解得x1=0，x2=■c，得方程組解為

　　■

　　設A(■c，■c)，B(0，-■c)，M(x，y)，

　　則A■=(x-■c，y-■c)，B■(x，y+■c)

　　由y=■(x-c)得c=x-■y，

　　于是A■=(■y-■x，■y-■x)，B■(x，■x)

　　由A■·B■=-2代入化簡得到18x2-16■xy-15=0

　　將y=■代入c=x-■y，

　　得到c=■>0，所以x>0 

　　因此點M的軌跡方程是18x2-16■xy-15=0（x>0）

　　點評：本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質及相關概念，直線方程、平面向量的坐標表示和向量的數(shù)量積，多元二次方程組解法、曲線和方程的關系、直線與橢圓相交等解析幾何的基礎思想方法，以及分析問題和綜合解題能力。

　　熱點五 求范圍

　　范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質法，數(shù)形結合法等等。

　　總之，解析幾何在復習知識的同時一定要以數(shù)學思想方法貫穿始終，以方法帶知識，運用解題策略加深對數(shù)形結合思想方法的理解，提升思維能力。

　　本版公式整理/王翠瑋