在函數(shù)自變量不同的取值范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系也不相同，我們這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。學(xué)習(xí)一次函數(shù)中的分段函數(shù)，通常應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：⑴要特別注意相應(yīng)的自變量變化區(qū)間。在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍。⑵分段函數(shù)的圖象是由幾條線段（或射線）組成的折線。其中每條線段（射線）代表某一個(gè)階段的情況。⑶分析分段函數(shù)的圖象要結(jié)合實(shí)際問題背景對(duì)圖象的意義進(jìn)行認(rèn)識(shí)和理解。尤其要理解折線中橫、縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義。

一、分段計(jì)費(fèi)問題

例1. 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一．為了增強(qiáng)居民節(jié)水意識(shí)，某市自來(lái)水公司對(duì)居民用水采用以戶為單位分段計(jì)費(fèi)辦法收費(fèi)．即一月用水10噸以內(nèi)（包括10噸）的用戶，每噸收水費(fèi)元；一月用水超過10噸的用戶，10噸水仍按每噸元收費(fèi)，超過10噸的部分，按每噸元（b＞a）收費(fèi)．設(shè)一戶居民月用水噸，應(yīng)收水費(fèi)元，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖13所示．

（1）求的值；某戶居民上月用水8噸，應(yīng)收水費(fèi)多少元？

（2）求的值，并寫出當(dāng)時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4噸，兩家共收水費(fèi)46元，求他們上月分別用水多少噸？

解析：（1）當(dāng)時(shí)，有．將代入，得．∴y=1.5x

當(dāng)x=8時(shí),y=8×1.5＝12（元）．

（2）當(dāng)時(shí)，有     將，代入，

得． ∴．  故當(dāng)時(shí)，．

（3）因，  ∴甲、乙兩家上月用水均超過10噸．

設(shè)甲、乙兩家上月用水分別為噸，噸，

則         解之，得

故居民甲上月用水16噸，居民乙上月用水12噸．

二、行程中的分段函數(shù)

例2。一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為，兩車之間的距離為，圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系．

根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：

信息讀取

（1）甲、乙兩地之間的距離為         km；

（2）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)的實(shí)際意義；

圖象理解

（3）求慢車和快車的速度；

（4）求線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

問題解決

（5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同．在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇．求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時(shí)？

解析：（1）900；

（2）圖中點(diǎn)的實(shí)際意義是：當(dāng)慢車行駛4h時(shí)，慢車和快車相遇．

（3）由圖象可知，慢車12h行駛的路程為900km，

所以慢車的速度為；

當(dāng)慢車行駛4h時(shí)，慢車和快車相遇，兩車行駛的路程之和為900km，所以慢車和快車行駛的速度之和為，所以快車的速度為150km/h．

（4）根據(jù)題意，快車行駛900km到達(dá)乙地，所以快車行駛到達(dá)乙地，此時(shí)兩車之間的距離為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為，把，代入得

     解得

所以，線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為．

自變量的取值范圍是．

（5）慢車與第一列快車相遇30分鐘后與第二列快車相遇，此時(shí)，慢車的行駛時(shí)間是4.5h．

把代入，得．

此時(shí)，慢車與第一列快車之間的距離等于兩列快車之間的距離是112.5km，所以兩列快車出發(fā)的間隔時(shí)間是，即第二列快車比第一列快車晚出發(fā)0.75h．

三、與幾何圖形有關(guān)的分段函數(shù)

例3。在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始按A —B—C—D的方向運(yùn)動(dòng)到D。如圖3—1。設(shè)動(dòng)點(diǎn)P所經(jīng)過的路程為x，△APD的面積為y。（當(dāng)點(diǎn)P與A或D重合時(shí)，y=0）

⑴寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

⑵畫出此函數(shù)的圖象。

解析：⑴P在邊AB、BC、CD上所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系不相同。應(yīng)分段求出相應(yīng)的函數(shù)式。

①P在邊AB上，0≤x＜3時(shí)，    y=×4x=2x

②P在邊BC上，3≤x＜7時(shí)，y=×4×3=6

③P在邊CD上，7≤x≤10時(shí)，y=×4（10-x）=-2x+20

∴y=

⑵函數(shù)圖象如圖3—2。