數(shù)學(xué)理解已越來越成為數(shù)學(xué)教育的熱點話題，國內(nèi)很多學(xué)者就該論題發(fā)表了自己的研究成果與心得[i] [ii] [iii] [iv] [v] [vi]?？傮w說來，大家是在力圖借鑒國外的理論成果（主要是認(rèn)知主義學(xué)習(xí)心理學(xué)、建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論）的基礎(chǔ)上，融合自己的理論認(rèn)識與實踐體悟，從各個微觀層面上（理解的類型、理解的模型、解題中的理解、概念理解等）構(gòu)建既有理論支撐，同時又具有實踐可操作性的策略模式。本文試圖跳出這一研究思路，在著力吸收國外對理解與數(shù)學(xué)理解的最新研究進(jìn)展基礎(chǔ)上，截取幾個具有研究價值的視角（認(rèn)知建構(gòu)觀、情境文化觀、意義觀、教學(xué)設(shè)計觀、評價觀），從整體上輸理與探悉數(shù)學(xué)理解的各種理論意義與教育實踐意涵。筆者試圖通過論述，對為什么要理解數(shù)學(xué)、為什么要研究數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)是什么、怎么樣在教學(xué)中去促進(jìn)數(shù)學(xué)理解以及如何評價理解等一些帶有本體論意味的問題做一個概要性、宏觀性的分析探討，希望能使大家獲得對數(shù)學(xué)理解的更全面、更深刻的“理解”，從而對數(shù)學(xué)教學(xué)實踐有所助益。

一、數(shù)學(xué)理解的意義觀

數(shù)學(xué)理解的意義何在？對該追問，筆者將從理論研究的意義、個體發(fā)展的意義和社會需求的意義等三個方面做出辨析。

從理論研究的角度看，理解與數(shù)學(xué)理解的研究意義體現(xiàn)在它的廣闊包容性和相對獨立性。可以說，理解與數(shù)學(xué)理解的研究涉足哲學(xué)、社會學(xué)、學(xué)習(xí)學(xué)、人類學(xué)、文化學(xué)等各個領(lǐng)域。它為我們提供了一個研究視角，使我們在把握各個背景領(lǐng)域的內(nèi)涵演化的同時，不斷豐富、充實、更新著對它的認(rèn)識與解讀。以學(xué)習(xí)科學(xué)領(lǐng)域中理解觀的演變?yōu)槔?。行為主義崇尚刺激反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)，閉口不談“心理、意識與理解”等不可捉摸的東西。格式塔學(xué)派崇尚“完形”，認(rèn)為理解就是“頓悟”，就是在心理上構(gòu)建“完形”。到了認(rèn)知主義學(xué)派，奧蘇伯爾認(rèn)為理解就是意義同化，布魯納則持結(jié)構(gòu)主義理解說。隨著建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論轉(zhuǎn)向社會建構(gòu)的視角，理解被認(rèn)為是“通過社會性的相互依賴而獲得的”、“對意義的理解依賴于情境脈絡(luò)”[vii]。近來，學(xué)習(xí)理論逐漸發(fā)展到情境認(rèn)知理論（包含心理學(xué)視角和人類學(xué)視角），對理解的認(rèn)識必然也將會繼續(xù)拓展與深入（后有詳述）。另一方面，對于數(shù)學(xué)理解的研究，始終都有一種相對獨立性的特點，這又可顯示該課題研究所獨具的意義與價值。比如，數(shù)學(xué)教育家芬尼曼、榮伯格、薩克斯、塞平斯卡、希伯特等都分別從課堂教學(xué)、文化與認(rèn)知發(fā)展、認(rèn)知障礙與發(fā)展、教學(xué)設(shè)計等角度以專著形式發(fā)表了對數(shù)學(xué)理解的獨特見解，在體現(xiàn)該課題研究相對獨立性的同時，這些研究都展現(xiàn)了當(dāng)今數(shù)學(xué)教育對該課題的前沿成果。

從個體發(fā)展的角度看，數(shù)學(xué)理解的意義更是清晰可見。首先，知識的理解有助于完善個體大腦內(nèi)部的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，從而推動記憶，進(jìn)而又更易于同化與理解新知識、新信息，這是一個良性學(xué)習(xí)過程?！袄斫獠粌H僅是把新知識與先前的舊有知識產(chǎn)生聯(lián)系，而是創(chuàng)建了一個豐富的、整合的知識結(jié)構(gòu)，……，當(dāng)知識被高度結(jié)構(gòu)化的時候，新的知識就能被連接、并被融合進(jìn)已有的知識網(wǎng)絡(luò)中，而不是只產(chǎn)生元素之間的單個連接，……高度結(jié)構(gòu)化的知識不易被遺忘，它有著多重途徑被找回，而孤立的知識片段更難于被記憶?！?A title="" style="mso-endnote-id: edn8" href="http://math./editor.asp?ChannelID=1005&ShowType=0&tContentid=Content#_edn8" name=_ednref8>[viii]其次，知識只有被深刻理解了，才具有遷移與應(yīng)用的活性，這種遷移能力對個體未來發(fā)展是十分重要的。沃特海梅爾曾做過這樣的研究[ix]，讓兩組學(xué)生對平行四邊行面積公式分別展開理解法學(xué)習(xí)和死記法學(xué)習(xí)。前者學(xué)生通過三角形割補(bǔ)關(guān)系理解了平行四邊形可以重新組合成長方形，所以他們很容易內(nèi)化平行四邊形面積公式的內(nèi)在意義以及平行四邊形本身的結(jié)構(gòu)關(guān)系。后者學(xué)生則要求死記平行四邊形面積公式。在隨后的遷移測試中，在一些解決平行四邊形面積的典型問題上，兩者都表現(xiàn)出色。但對一些非常規(guī)問題（如豎置的平行四邊形、帶有不規(guī)則割補(bǔ)的平行四邊形），前者表現(xiàn)出色，而后者卻無能為力。所以，遷移與應(yīng)用受理解性學(xué)習(xí)程度的影響，而非僅靠記憶事實和墨守成規(guī)。

從社會需求的角度看，信息化社會和知識經(jīng)濟(jì)社會所需要的是那種能不斷學(xué)習(xí)新知識、新技能，能應(yīng)用自己的已有知識去解決新問題的創(chuàng)新人才。從這個意義上說，僅靠機(jī)械記憶的知識很可能走出校門就毫無用處，而具有穩(wěn)定性與恒常性的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)理解則顯得格外重要。數(shù)學(xué)教育家卡平特和利熱更是明確指出：“為了培養(yǎng)面向21世紀(jì)的具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的公民，課堂需要被重新構(gòu)建，以致于數(shù)學(xué)能被理解地學(xué)習(xí)?！?

二、數(shù)學(xué)理解的認(rèn)知建構(gòu)觀

建構(gòu)主義作為與認(rèn)知主義一脈相承的學(xué)習(xí)理論，對于理解與數(shù)學(xué)理解的關(guān)注與認(rèn)識在思想深處有著諸多的相似或共通之處。近年來，很多學(xué)者都試圖借助于認(rèn)知建構(gòu)的觀點去發(fā)展對數(shù)學(xué)理解的認(rèn)識?？傮w說來，數(shù)學(xué)理解的認(rèn)知建構(gòu)觀的核心思想主要體現(xiàn)在如下幾個方面：

第一，數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀一再強(qiáng)調(diào)[x]：“要對知識形成深刻的、真正的理解，這意味著學(xué)習(xí)者所獲得的知識是結(jié)構(gòu)化的、整合的，而不是零碎的、只言片語的?！倍２亟淌趧t用信息的內(nèi)部表示和構(gòu)成方式來描述理解[xi]，“我們認(rèn)為一個數(shù)學(xué)的概念、方法或事實是理解了，是指它成了內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一個部分。更確切地說，數(shù)學(xué)是理解了，是指它的智力表示成了表示網(wǎng)絡(luò)的一個部分。理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來確定的。”

第二，數(shù)學(xué)理解的特征是生成性和發(fā)展性的。表現(xiàn)在如下幾個方面。首先，理解不是一種或有或無的現(xiàn)象，實際上所有復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題都可以在一定層面上、以完全不同的方式被理解。其次，知識的高度結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化有助于理解更具生成性。因為，此時新信息更易被連接或納入到已有的知識網(wǎng)絡(luò)中，從而使得已有的理解不斷拓展、深化。再次，當(dāng)在不同的問題情境中靈活而反復(fù)地運用同一知識時，與這一知識相關(guān)的各種聯(lián)結(jié)將更加豐富、更加牢固，從而個體的理解也獲得進(jìn)一步發(fā)展。

第三，數(shù)學(xué)理解的形成機(jī)制是重新組織。實際上，這是從更為微觀的角度探討數(shù)學(xué)理解的生成性和發(fā)展性。當(dāng)現(xiàn)存的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)上新的信息或者在以前沒有聯(lián)系的信息之間建立起新的關(guān)系時，智力網(wǎng)絡(luò)必然要發(fā)生變化，這種變化就是重新組織。希伯特教授曾著重指出，這一組織過程并非一帆風(fēng)順，有可能是一個更為紊亂的過程，有時候表現(xiàn)成暫時的倒退，有時候也是進(jìn)步。最終，隨著重新組織產(chǎn)生更豐富、更具強(qiáng)有力聯(lián)系的、更有凝聚力的網(wǎng)絡(luò)，理解就增長了。

第四，數(shù)學(xué)理解的形成條件是自主活動。數(shù)學(xué)理解的形成必須要以學(xué)生的自主活動為基礎(chǔ)，“活動是個人體驗的源泉，是語言表征、情節(jié)表征、動作表征的源泉”[xii]。活動既包含外部操作性活動，也包括內(nèi)在思維性活動。在個體數(shù)學(xué)理解的形成過程中，借助于積極的智力參與，主動積極的外部活動過程逐步內(nèi)化為主體內(nèi)部的心理活動過程，并從中產(chǎn)生出主體的個人體驗，一種基于個體自身的數(shù)學(xué)理解得以初步形成。

三、數(shù)學(xué)理解的情境文化觀

學(xué)習(xí)理論在90年代后期從強(qiáng)調(diào)個體思維者和其孤立心智的認(rèn)知建構(gòu)理論轉(zhuǎn)向強(qiáng)調(diào)認(rèn)知和意義的社會性本質(zhì)，并進(jìn)而轉(zhuǎn)向情境理論，這一轉(zhuǎn)向更加豐富了對數(shù)學(xué)理解的認(rèn)識。而文化作為一種特殊的宏情境，既對學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)理解產(chǎn)生潛在而深刻的影響，但同時也需要學(xué)習(xí)者通過真實實踐中的活動和社會性互動來促進(jìn)學(xué)習(xí)者的文化適應(yīng)[xiii]。

情境觀的核心要點是[xiv]：“實踐不是獨立于學(xué)習(xí)的，而意義也不是與實踐和情境脈絡(luò)相分離的，意義正是在實踐和情境脈絡(luò)中加以協(xié)商的?！睆倪@一意義上說，數(shù)學(xué)的概念、定理、法則的學(xué)習(xí)必須既是情境性的，又是通過學(xué)習(xí)者的真實活動和運用而得以不斷發(fā)展的。這里的“情境”、“真實”或許由于數(shù)學(xué)知識的反復(fù)的、螺旋上升的抽象過程而并不顯得那么直觀、生活化，但這并不妨礙學(xué)習(xí)者在情境中通過理解和經(jīng)驗的不斷相互作用，進(jìn)行數(shù)學(xué)知識與概念的意義協(xié)商。也就是說，數(shù)學(xué)概念、法則的意義是依托于一定的情境的，在該特定情境中獲得的數(shù)學(xué)概念、法則要比所謂的一般性數(shù)學(xué)概念、法則更有力、更有用、更具理解力，在這樣的情境中所進(jìn)行的數(shù)學(xué)活動與學(xué)習(xí)，除了了解了某些確定的數(shù)學(xué)規(guī)則外，更重要的是了解了使用這些數(shù)學(xué)規(guī)則的場合和條件。從更高的意義上說，這種數(shù)學(xué)規(guī)則的場合和條件源于數(shù)學(xué)共同體的活動情境，源于共同體逐漸積累的獨特的洞察力以及共同體的文化。因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)理解的最終目的，應(yīng)是對數(shù)學(xué)知識賴以萌發(fā)和應(yīng)用的共同體文化的適應(yīng)。如果站在這一高度，我們就可以對現(xiàn)今中學(xué)乃至大學(xué)的數(shù)學(xué)微積分教學(xué)做出較為深刻的分析與批判。應(yīng)當(dāng)說，只教授微積分運算規(guī)則而脫離其產(chǎn)生的深遠(yuǎn)背景，剝奪學(xué)生參與真實活動與理解生活實際的機(jī)會，那么留給學(xué)生的只能是惰性的、處于消極狀態(tài)的知識。這直接造成學(xué)生只會解那些書本上正規(guī)的、良構(gòu)性的求極限、求導(dǎo)之類的簡單近遷移問題，而對那些需要用到無窮小思想的其他非良構(gòu)的新情境中的遠(yuǎn)遷移問題卻無從下手，也不能運用極限思想、導(dǎo)數(shù)思想去理解其他數(shù)學(xué)問題的解決方法，比如圓面積公式推導(dǎo)中的極限思想，甚至于對生活中常說的“人口增長極限、極限運動、生理極限”等中的“極限”一詞既缺乏思維的敏感性，也缺乏對其的本質(zhì)意義（或數(shù)學(xué)化意義）的把握。其實，此時學(xué)生的思維中并沒有建立起對“究竟什么是微積分？它是如何得來的？它有什么用處？”等一些情境化指向非常強(qiáng)的問題的深刻理解。實際上，微積分的產(chǎn)生既有數(shù)學(xué)內(nèi)部的動力（萊布尼茨解決曲線的切線問題），也有數(shù)學(xué)的外部動力（牛頓解決勻加速運動的瞬時速度問題），而且，這些問題都蘊涵了為后來的數(shù)學(xué)帶來無限活力的一種全新的思想方法——無窮小分析法，如果在教學(xué)中能把整個思想發(fā)展的來龍去脈（特定的情境）講清楚，同時用一些更親近學(xué)生直觀的活動與學(xué)習(xí)方式（以課件展示各種極限形態(tài)、讓學(xué)生感受非常具有樸素意味的四大悖論、多用非數(shù)學(xué)化語言描述極限性態(tài)等）去激發(fā)與調(diào)動學(xué)生的思維，而不是只用（或一上來就用） 定義去迫使學(xué)生獲得一種高度形式化的理解，那么，學(xué)生頭腦中的對微積分的認(rèn)識與感受自然會更豐富、更具包容性和生長力。并且，筆者認(rèn)為，更為重要的是，學(xué)生在獲得對于微積分概念的境脈化的深刻理解的同時，還獲得了一種對數(shù)學(xué)文化的適應(yīng)、逼近、認(rèn)同與感悟，而后者對于學(xué)生數(shù)學(xué)信念的形成與能力的發(fā)展，是非常重要的。

四、數(shù)學(xué)理解的教學(xué)設(shè)計觀

“獲得隱喻”的信條多年來一直統(tǒng)領(lǐng)著整個數(shù)學(xué)教育實踐，它的核心思想是：“數(shù)學(xué)知識是由符號化的心理表征組成的，數(shù)學(xué)認(rèn)知活動是由這些表征中的符號操作組成，……”，從這一意義上說，達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的理解就是要獲得預(yù)先設(shè)定的符號表征系統(tǒng)，相應(yīng)的，數(shù)學(xué)教學(xué)就是要發(fā)現(xiàn)促進(jìn)這種獲得的最有效手段[xv]。雷斯尼克（Resnick）指出，“學(xué)習(xí)不是靠獲得，而應(yīng)該是參與，參與實踐、參與對話、參與活動”，所以，這種強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的合作性、情境化的學(xué)習(xí)隱喻顯然對“理解的獲得”這一簡單化認(rèn)識做出了深刻的批判。這一觀念上的轉(zhuǎn)變要求數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計這一新興研究與實踐領(lǐng)域必須對如下理念做出格外關(guān)注：

l        數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅只教授機(jī)械的算法和規(guī)則，同樣要給予學(xué)生機(jī)會去應(yīng)用這些算法和規(guī)則，要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個獨立識別問題、提出問題和解決真實問題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境,從而在知和行的交互中達(dá)到對算法和規(guī)則的理解。

l        在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體和實踐共同體，讓學(xué)生在參與與教師、與專家、與家長、與其他學(xué)生等的對話與互動中，達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的社會協(xié)作性建構(gòu)。

l        要為數(shù)學(xué)中的知識（主要是技能應(yīng)用性知識）創(chuàng)設(shè)逼真的、問題豐富的環(huán)境，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)拋錨在一種反映知識在真實生活中運用的境域之中。

l        對抽象程度較高的數(shù)學(xué)知識，也要為學(xué)生提供相對直觀與現(xiàn)實（并非絕對）的問題境脈。

l        數(shù)學(xué)教師具有多元化的角色定位，不僅作為內(nèi)容上的專家，而且也是學(xué)習(xí)和問題解決的專家，但這種專家性角色在協(xié)商活動中是參與性的而非指示性的，在適宜的時候，教師要為學(xué)生搭建認(rèn)知腳手架。

l        教師是而且必須是教學(xué)的設(shè)計者，而非教學(xué)設(shè)計的忠實執(zhí)行者。

l        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中的反思非常重要，它使個體有機(jī)會來思考他們在做些什么、為什么這么做。作為一個積極的、嚴(yán)格的和分析的過程，反思過程對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量是很關(guān)鍵的[xvi]。

l        學(xué)生必須被賦予對于數(shù)學(xué)問題情境的探究的所有權(quán)，要讓他們感到這個數(shù)學(xué)問題值得自己去努力，而且必須把自己的努力看作是能夠產(chǎn)生變化的解決方法（而不是學(xué)校式的方法），學(xué)生必須感到對解決方法負(fù)有責(zé)任。教師不能直接告知方法，或引誘學(xué)生得出教師想要的方法，那樣學(xué)生并沒有真正進(jìn)入數(shù)學(xué)的脈絡(luò)化思維與理解之中。

在此，筆者抽取出促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)教學(xué)模式設(shè)計中的核心要素（見圖1），限于篇幅，就不展開詳細(xì)論析了。

五、數(shù)學(xué)理解的評價觀

如何評價學(xué)習(xí)者的理解，這歷來是數(shù)學(xué)教育實踐界與理論界十分關(guān)注的問題。理解一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域（domain）中的各種概念不是僅積累了一整套的事實和程序，而是在已存的數(shù)學(xué)知識間建立新的聯(lián)系，以及新信息被連接或整合到已存知識之中。理解是具有發(fā)展性、生成性和階段無序性的，所以評價就不能僅僅局限于強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中檢測學(xué)習(xí)者是否獲得了數(shù)學(xué)事實和程序，而應(yīng)關(guān)注于學(xué)習(xí)者正在形成的數(shù)學(xué)觀念之間新的聯(lián)系，關(guān)注在新的情境中對已存知識的運用，關(guān)注在解決問題中所應(yīng)用的推理層次。對于數(shù)學(xué)理解的評價首先應(yīng)當(dāng)確立以下三個假設(shè)：1、評價應(yīng)當(dāng)被視做作一個不間斷的過程，這一過程應(yīng)被整合進(jìn)教學(xué)過程之中；2、對于學(xué)生知識理解的發(fā)展的評價應(yīng)來自于多重的證據(jù)來源；3、評價應(yīng)當(dāng)既包含對源于課堂交互的信息的精細(xì)實錄，也應(yīng)包含書面作品。

        圖1：一種數(shù)學(xué)理解性教學(xué)模式的設(shè)計要素

在實踐層面上，對于數(shù)學(xué)理解的評價應(yīng)當(dāng)著重強(qiáng)調(diào)以下三個方面：

首先，既運用非正規(guī)評價（informal assessment），也運用正規(guī)評價（formal assessment）。非正規(guī)評價包括：對學(xué)生活動與行為的觀察，以了解學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解、思維過程和問題解決策略；課堂討論，以使教師收集學(xué)生推理的信息?？傊ㄟ^這種非正規(guī)評價而獲得的信息能改善教學(xué)決策。正規(guī)評價應(yīng)該按照如下理念進(jìn)行設(shè)計，即，讓學(xué)生展示他們知道的和會做的，而不是去確認(rèn)他們不知道什么。正規(guī)評價主要包含兩種：單元末評價（end-of-unit assessment）和年級末評價（end-of-grade assessment）。單元末評價要求學(xué)生面對問題情境選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，這些問題情境所依托的境脈不同于教學(xué)單元中所提出的境脈。同時，這種評價能為教師提供機(jī)會去檢測和監(jiān)控學(xué)生在不同境脈中運用同一概念知識的靈活性。此外，由于單元末評價不要求學(xué)生之間、師生之間的交互，所以，它也為學(xué)生提供了以書面形式解釋和展示他們自身的解決方法和思維過程的機(jī)會。年級末評價則提供了一些證據(jù)，以證明學(xué)生對一些課程中的更加重要的領(lǐng)域（domain）的理解深度。從根本上說，這種評價不單單牽涉到對某個單一領(lǐng)域思維的評價，而且也在評價學(xué)生是否能把數(shù)學(xué)變成他們自己的東西。

其次，由于理解的形成需要較長時間，所以評價要反映理解的持續(xù)發(fā)展過程。評價需要關(guān)注在特定時刻學(xué)生所構(gòu)建的關(guān)系，關(guān)注這些關(guān)系在時間推移中的變化，關(guān)注在處理新情境中對領(lǐng)域中的知識的資源化運用，關(guān)注學(xué)生所運用的推理復(fù)雜性。

最后，要特別強(qiáng)調(diào)并關(guān)注推理的層次（levels of reasoning）。隨著理解的發(fā)展，學(xué)生會以更加有力的方式使用概念和程序，所以評價要關(guān)注學(xué)生在使用概念和程序過程中運用的推理層次，由低級到高級主要包含：復(fù)制(reproduction)；聯(lián)系（connection）；分析（analysis）。復(fù)制主要包括回憶事實和定義，以及有效運用一些標(biāo)準(zhǔn)化程序，如完成特定的計算、解一個方程或繪制圖表。聯(lián)系主要包括領(lǐng)域內(nèi)以及跨領(lǐng)域的聯(lián)系、信息的整合，以及對解決非常規(guī)問題所需要的適當(dāng)數(shù)學(xué)工具的決策。分析是一種復(fù)雜層次的數(shù)學(xué)思維，包括解釋、剖析和數(shù)學(xué)論證；包括學(xué)生自我模型和策略的形成；也包括歸納概括。

近年來，美國數(shù)學(xué)教育界試圖從課程設(shè)計與實施的角度反思傳統(tǒng)學(xué)校數(shù)學(xué)教育并對理解什么樣的數(shù)學(xué)做更新的詮釋。全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會（NCTM）[xvii]指出，要把理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用作為核心關(guān)注點，所有年級層次的學(xué)生都應(yīng)把數(shù)學(xué)理解為完全整合的探究領(lǐng)域，旨在幫助他們解決問題、交流、推理和創(chuàng)設(shè)連接。美國數(shù)學(xué)科學(xué)教育局（MSEB）在一份名為《站在巨人的肩膀上》的報告[xviii]中所闡發(fā)的觀點更富創(chuàng)新與改革意味：“人類運用數(shù)學(xué)語言所做的就是描述模式。數(shù)學(xué)是一門探索性科學(xué)，它尋求對各種模式的理解，這包括自然界的模式、人類思想創(chuàng)造的模式、由其他模式創(chuàng)造的模式。為了使孩子們在數(shù)學(xué)上成長起來，必須向他們展示豐富的大量的適合他們自己生活的模式，通過這些模式，他們能看到多樣、規(guī)則和相互聯(lián)系?！彼麄冞M(jìn)而歸納了五種模式，并認(rèn)為是具有根本性和普遍意義的，即：維數(shù)、數(shù)量、不確定性、形狀和變化。筆者相信，這份報告所展示的各種非常有見地的思想觀點，在提供對數(shù)學(xué)本身的重新解讀之外，或許影射了面向21世紀(jì)的數(shù)學(xué)課程的發(fā)展指向。