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前言：

    第二篇的文章中談到，和部門老大一寧出去outing的時(shí)候，他給了我相當(dāng)多的機(jī)器學(xué)習(xí)的建議，里面涉及到很多的算法的意義、學(xué)習(xí)方法等等。一寧上次給我提到，如果學(xué)習(xí)分類算法，最好從線性的入手，線性分類器最簡(jiǎn)單的就是LDA，它可以看做是簡(jiǎn)化版的SVM，如果想理解SVM這種分類器，那理解LDA就是很有必要的了。

   談到LDA，就不得不談?wù)凱CA，PCA是一個(gè)和LDA非常相關(guān)的算法，從推導(dǎo)、求解、到算法最終的結(jié)果，都有著相當(dāng)?shù)南嗨啤?/P>

   本次的內(nèi)容主要是以推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式為主，都是從算法的物理意義出發(fā)，然后一步一步最終推導(dǎo)到最終的式子，LDA和PCA最終的表現(xiàn)都是解一個(gè)矩陣特征值的問題，但是理解了如何推導(dǎo)，才能更深刻的理解其中的含義。本次內(nèi)容要求讀者有一些基本的線性代數(shù)基礎(chǔ)，比如說特征值、特征向量的概念，空間投影，點(diǎn)乘等的一些基本知識(shí)等。除此之外的其他公式、我都盡量講得更簡(jiǎn)單清楚。

LDA：

    LDA的全稱是Linear Discriminant Analysis（線性判別分析），是一種supervised learning。有些資料上也稱為是Fisher’s Linear Discriminant，因?yàn)樗籖onald Fisher發(fā)明自1936年，Discriminant這次詞我個(gè)人的理解是，一個(gè)模型，不需要去通過概率的方法來訓(xùn)練、預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，比如說各種貝葉斯方法，就需要獲取數(shù)據(jù)的先驗(yàn)、后驗(yàn)概率等等。LDA是在目前機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域經(jīng)典且熱門的一個(gè)算法，據(jù)我所知，百度的商務(wù)搜索部里面就用了不少這方面的算法。

    LDA的原理是，將帶上標(biāo)簽的數(shù)據(jù)（點(diǎn)），通過投影的方法，投影到維度更低的空間中，使得投影后的點(diǎn)，會(huì)形成按類別區(qū)分，一簇一簇的情況，相同類別的點(diǎn)，將會(huì)在投影后的空間中更接近。要說明白LDA，首先得弄明白線性分類器(Linear Classifier)：因?yàn)長DA是一種線性分類器。對(duì)于K-分類的一個(gè)分類問題，會(huì)有K個(gè)線性函數(shù)：

     當(dāng)滿足條件：對(duì)于所有的j，都有Yk > Yj,的時(shí)候，我們就說x屬于類別k。對(duì)于每一個(gè)分類，都有一個(gè)公式去算一個(gè)分值，在所有的公式得到的分值中，找一個(gè)最大的，就是所屬的分類了。

    上式實(shí)際上就是一種投影，是將一個(gè)高維的點(diǎn)投影到一條高維的直線上，LDA最求的目標(biāo)是，給出一個(gè)標(biāo)注了類別的數(shù)據(jù)集，投影到了一條直線之后，能夠使得點(diǎn)盡量的按類別區(qū)分開，當(dāng)k=2即二分類問題的時(shí)候，如下圖所示：

     紅色的方形的點(diǎn)為0類的原始點(diǎn)、藍(lán)色的方形點(diǎn)為1類的原始點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的那條線就是投影的直線，從圖上可以清楚的看到，紅色的點(diǎn)和藍(lán)色的點(diǎn)被原點(diǎn)明顯的分開了，這個(gè)數(shù)據(jù)只是隨便畫的，如果在高維的情況下，看起來會(huì)更好一點(diǎn)。下面我來推導(dǎo)一下二分類LDA問題的公式：

     假設(shè)用來區(qū)分二分類的直線（投影函數(shù))為：

    LDA分類的一個(gè)目標(biāo)是使得不同類別之間的距離越遠(yuǎn)越好，同一類別之中的距離越近越好，所以我們需要定義幾個(gè)關(guān)鍵的值。

    類別i的原始中心點(diǎn)為：（Di表示屬于類別i的點(diǎn))

    類別i投影后的中心點(diǎn)為：

    衡量類別i投影后，類別點(diǎn)之間的分散程度（方差）為：

    最終我們可以得到一個(gè)下面的公式，表示LDA投影到w后的損失函數(shù)：

   我們分類的目標(biāo)是，使得類別內(nèi)的點(diǎn)距離越近越好（集中），類別間的點(diǎn)越遠(yuǎn)越好。分母表示每一個(gè)類別內(nèi)的方差之和，方差越大表示一個(gè)類別內(nèi)的點(diǎn)越分散，分子為兩個(gè)類別各自的中心點(diǎn)的距離的平方，我們最大化J(w)就可以求出最優(yōu)的w了。想要求出最優(yōu)的w，可以使用拉格朗日乘子法，但是現(xiàn)在我們得到的J(w)里面，w是不能被單獨(dú)提出來的，我們就得想辦法將w單獨(dú)提出來。

   我們定義一個(gè)投影前的各類別分散程度的矩陣，這個(gè)矩陣看起來有一點(diǎn)麻煩，其實(shí)意思是，如果某一個(gè)分類的輸入點(diǎn)集Di里面的點(diǎn)距離這個(gè)分類的中心店mi越近，則Si里面元素的值就越小，如果分類的點(diǎn)都緊緊地圍繞著mi，則Si里面的元素值越更接近0.

   帶入Si，將J(w)分母化為：

   同樣的將J(w)分子化為：

   這樣損失函數(shù)可以化成下面的形式：

   這樣就可以用最喜歡的拉格朗日乘子法了，但是還有一個(gè)問題，如果分子、分母是都可以取任意值的，那就會(huì)使得有無窮解，我們將分母限制為長度為1（這是用拉格朗日乘子法一個(gè)很重要的技巧，在下面將說的PCA里面也會(huì)用到，如果忘記了，請(qǐng)復(fù)習(xí)一下高數(shù)），并作為拉格朗日乘子法的限制條件，帶入得到：

   這樣的式子就是一個(gè)求特征值的問題了。

   對(duì)于N(N>2)分類的問題，我就直接寫出下面的結(jié)論了：

   這同樣是一個(gè)求特征值的問題，我們求出的第i大的特征向量，就是對(duì)應(yīng)的Wi了。

   這里想多談?wù)勌卣髦?，特征值在純?shù)學(xué)、量子力學(xué)、固體力學(xué)、計(jì)算機(jī)等等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，特征值表示的是矩陣的性質(zhì)，當(dāng)我們?nèi)〉骄仃嚨那癗個(gè)最大的特征值的時(shí)候，我們可以說提取到的矩陣主要的成分（這個(gè)和之后的PCA相關(guān)，但是不是完全一樣的概念）。在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，不少的地方都要用到特征值的計(jì)算，比如說圖像識(shí)別、pagerank、LDA、還有之后將會(huì)提到的PCA等等。

   下圖是圖像識(shí)別中廣泛用到的特征臉（eigen face），提取出特征臉有兩個(gè)目的，首先是為了壓縮數(shù)據(jù)，對(duì)于一張圖片，只需要保存其最重要的部分就是了，然后是為了使得程序更容易處理，在提取主要特征的時(shí)候，很多的噪聲都被過濾掉了。跟下面將談到的PCA的作用非常相關(guān)。

    特征值的求法有很多，求一個(gè)D * D的矩陣的時(shí)間復(fù)雜度是O(D^3), 也有一些求Top M的方法，比如說power method，它的時(shí)間復(fù)雜度是O(D^2 * M), 總體來說，求特征值是一個(gè)很費(fèi)時(shí)間的操作，如果是單機(jī)環(huán)境下，是很局限的。

PCA：

    主成分分析（PCA）與LDA有著非常近似的意思，LDA的輸入數(shù)據(jù)是帶標(biāo)簽的，而PCA的輸入數(shù)據(jù)是不帶標(biāo)簽的，所以PCA是一種unsupervised learning。LDA通常來說是作為一個(gè)獨(dú)立的算法存在，給定了訓(xùn)練數(shù)據(jù)后，將會(huì)得到一系列的判別函數(shù)（discriminate function），之后對(duì)于新的輸入，就可以進(jìn)行預(yù)測(cè)了。而PCA更像是一個(gè)預(yù)處理的方法，它可以將原本的數(shù)據(jù)降低維度，而使得降低了維度的數(shù)據(jù)之間的方差最大（也可以說投影誤差最小，具體在之后的推導(dǎo)里面會(huì)談到）。

    方差這個(gè)東西是個(gè)很有趣的，有些時(shí)候我們會(huì)考慮減少方差（比如說訓(xùn)練模型的時(shí)候，我們會(huì)考慮到方差-偏差的均衡），有的時(shí)候我們會(huì)盡量的增大方差。方差就像是一種信仰（強(qiáng)哥的話），不一定會(huì)有很嚴(yán)密的證明，從實(shí)踐來說，通過盡量增大投影方差的PCA算法，確實(shí)可以提高我們的算法質(zhì)量。

    說了這么多，推推公式可以幫助我們理解。我下面將用兩種思路來推導(dǎo)出一個(gè)同樣的表達(dá)式。首先是最大化投影后的方差，其次是最小化投影后的損失（投影產(chǎn)生的損失最?。?/STRONG>