不等式與不等式組(1)  

一元一次不等式與一元一次不等式組的解法

——蘇灣中學(xué)　　王宏

本章內(nèi)容在中考中的考查方式主要是填空題、選擇題及解答題中與方程、函數(shù)有關(guān)問(wèn)題中字母系數(shù)的取值范圍的確定．考查的重點(diǎn)是不等式的有關(guān)概念、性質(zhì)、一元一次不等式、一元一次不等式組的解法以及與日常相聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，在方程、函數(shù)的考查中，也常涉及不等式的知識(shí)．常結(jié)合轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比、分類(lèi)討論思想方法.

一、教學(xué)目標(biāo):

    1.能夠根據(jù)具體問(wèn)題中的大小關(guān)系了解不等式的意義和基本性質(zhì)．

    2.會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集．會(huì)解由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組，并會(huì)用數(shù)軸確定解集．

    3.會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)等數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題，會(huì)“逆向”地思考問(wèn)題，靈活的解答問(wèn)題.

二、教學(xué)重點(diǎn)：能熟練的解一元一次不等式與一元一次不等式組

三、教學(xué)難點(diǎn)：能熟練的解一元一次不等式(組)并體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想

四、教學(xué)過(guò)程

（一）知識(shí)梳理

1.知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

2.知識(shí)點(diǎn)回顧

1．不等式

  用不等號(hào)連接起來(lái)的式子叫做不等式．

  常見(jiàn)的不等號(hào)有五種：  “≠”、  “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”．

2．不等式的解與解集

  不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來(lái)，具體表示方法是先確定邊界點(diǎn)。解集包含邊界點(diǎn)，是實(shí)心圓點(diǎn)；不包含邊界點(diǎn)，則是空心圓圈；再確定方向：大向右，小向左。

    說(shuō)明：不等式的解與一元一次方程的解是有區(qū)別的，不等式的解是不確定的，是一個(gè)范圍，而一元一次方程的解則是一個(gè)具體的數(shù)值．

3．不等式的基本性質(zhì)

  (1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式．不等號(hào)的方向不變．如果 ，那么

  (2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．如果 ，那么 （或 ）

 （3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．如果 那么 （或 ）

說(shuō)明：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大小關(guān)系：①a-b>O a>b；②a-b=O a=b；③a-b<O a<b．

4．一元一次不等式

    只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1．系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式．  

    注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O(a≠O，a，b為已知數(shù))．  

5．解一元一次不等式的一般步驟

    解一元一次不等式的一般步驟： 

    (1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；  (4)合并同類(lèi)項(xiàng)；(5)化系數(shù)為1．   

    說(shuō)明：解一元一次不等式和解一元一次方程類(lèi)似．不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向必須改變，這是解不等式時(shí)最容易出錯(cuò)的地方．   

6．一元一次不等式組

  含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組．

    說(shuō)明：判斷一個(gè)不等式組是一元一次不等式組需滿足兩個(gè)條件：①組成不等式組的每一個(gè)不等式必須是一元一次不等式，且未知數(shù)相同；②不等式組中不等式的個(gè)數(shù)至少是2個(gè)，也就是說(shuō)，可以是2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)或更多．  

7．一元一次不等式組的解集

    一元一次不等式組中，幾個(gè)不等式解集的公共部分．叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集．

一元一次不等式組的解集通常利用數(shù)軸來(lái)確定．

8. 不等式組解集的確定方法，可以歸納為以下四種類(lèi)型（設(shè)a>b）

9．解一元一次不等式組的步驟

    (1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；

    (2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集．

    課堂練習(xí)(一)

1．根據(jù)下圖甲、乙所示，對(duì)a，b,c三種物體的重量判斷不正確的是  (    )

     A．a<c     B．a<b    C．a>c     D．b<c

2．關(guān)于 的某個(gè)不等式組的解集在數(shù)軸上可表示如下圖所示，

則原不等式組的解集是__________．

3．不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是    (    )

4.若 ,用“>”號(hào)或“<”號(hào)填空:

(1)  (2)  (3)  (4)

 5.下列各式一定成立的是（    ）

A.   B.   C.   D.  

（二）例題講解

【例1】解不等式：   

解:去分母得

   去括號(hào)得

移項(xiàng)得

合并同類(lèi)項(xiàng)得

把系數(shù)化為1得

【例2】  解不等式組 并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

解:解不等式①得

解不等式②得

不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示為

∴原不等式組的解集是 .

【例3】  已知關(guān)于 的方程5 -2 =3 -6 +1的解滿足-3< ≤2，求 的整數(shù)值．

    解:由5 -2 =3 -6 +1可解得:

       ∵ ,∴ .

∴   ∴

∴ 的整數(shù)解為0、1

課堂練習(xí)(二)

6．求代數(shù)式3( +1)的值不小于5 -9的值的最大的整數(shù) ．

7．解不等式組 ，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．

課堂練習(xí)（三）

8.函數(shù) 的自變量 的取值范圍是_____________．

9.若關(guān)于 的一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 的取值范圍為______________.

10．如果關(guān)于 的不等式(a+1) >a+1的解集為 <l，那么a的取值范圍是(    )

    A．a>0   B．a<0  C．a>-1 D．a<-1

11．已知方程組 的解滿足 ，則(    )．

    A． >-1    B． >1    C． <-l   D. <1

12．已知關(guān)于 的不等式2 + >-5的解集如圖所示，則 的值為（     ）

A.1   B.0     C.-1     D.-2

13．三角形三邊長(zhǎng)分別為3、 、8，求 的取值范圍

14.已知關(guān)于 的不等式組 無(wú)解，求 的取值范圍．

（三）課堂小結(jié)

1.在判斷不等式成立與否或由不等式變形求某些字母的范圍時(shí)，要認(rèn)真觀察不等式的形式與不等號(hào)方向。

2.解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程的步驟大致相同，應(yīng)注意的是：①等式兩邊所乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù)，并根據(jù)不同情況靈活運(yùn)用其性質(zhì)。②不等式組解集的確定方法。③一元一次不等式（組）常與分式、根式、方程、函數(shù)等知識(shí)聯(lián)系，解決綜合性問(wèn)題。

3.求不等式（組）的特殊解

  不等式（組）的解往往是無(wú)數(shù)多個(gè)，但有時(shí)解在某些范圍內(nèi)是有限的，如整數(shù)解、非負(fù)整數(shù)解，要求這些特殊解，首先是確定不等式（組）的解集，然后再找到相應(yīng)的答案。在這類(lèi)題目中，要注意對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

4.確定不等式（組）中字母的取值范圍

  已知求不等式（組）的解集，確定不等式（組）中字母的取值范圍，有以下幾種方法：（1）逆用不等式（組）的解集；（2）分類(lèi)討論確定；（3）借助數(shù)軸確定。

（四）課后練習(xí)

1．已知一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為5，這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為 ，則 的取值范圍是_____________．

2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（ ， ）在第三象限，則 的取值范圍是 (     )．

A.   B.   C.   D.

3.若關(guān)于 的一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ，且 ，則實(shí)數(shù)則 的取值范圍是(  )．

A.   B.   C.  D.

4．解不等式組：

5.求不等式組 的非負(fù)整數(shù)解．

6．求使方程組 的解 、 都是正數(shù)的 的取值范圍．

7．若關(guān)于 的不等式組 的解集為 ≤2，試求 的取值范圍．

8.你能求出三個(gè)不等式 ， ， 的解集的公共部分嗎？