教學(xué)設(shè)計(jì)思想：本章中，我們主要學(xué)習(xí)了點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，同時對圓的性質(zhì)、圓的切線的判定進(jìn)行了探究。在探究圖形位置關(guān)系的過程中，我們對用數(shù)量關(guān)系揭示幾何圖形位置關(guān)系的思想方法有了較深的理解。本節(jié)課我們不僅要對本章知識來個總括，還要加深對題型的分析，對知識進(jìn)一步掌握。

教學(xué)目標(biāo)：

1．知識與技能

系統(tǒng)的歸納總結(jié)本章的知識內(nèi)容。

2．過程與方法

通過系統(tǒng)地歸納總結(jié)本章的知識內(nèi)容，學(xué)會整理歸納知識的方法，使其條理化、系統(tǒng)化。

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過對圓與各種圖形位置關(guān)系的復(fù)習(xí)，認(rèn)識事物之間是相互聯(lián)系的，通過運(yùn)動和變化，知道事物之間可以相互轉(zhuǎn)化。

通過系統(tǒng)歸納，滲透要抓主要矛盾，“綱舉目張”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。

教學(xué)重點(diǎn)：

系統(tǒng)的歸納總結(jié)本章知識內(nèi)容。

教學(xué)難點(diǎn)：

使所學(xué)的知識結(jié)構(gòu)化。

教學(xué)方法：講授式、引導(dǎo)式。

教學(xué)媒體：投影儀。

教學(xué)安排：１課時。

教學(xué)過程：

（一）引入

經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，第三十五章圓（二）的內(nèi)容學(xué)完了，今天我們這節(jié)課的主要任務(wù)就是回顧一下這段期間所學(xué)的內(nèi)容，將其整理歸納，使之結(jié)構(gòu)化。

（二）探究釋疑

圓是最常見的幾何圖形之一，在生活、生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)用十分廣泛?！皥A”是初中幾何中重要的一章，與前面其他章節(jié)的知識也有著千絲萬縷的聯(lián)系。本章的內(nèi)容比較復(fù)雜，為了便于學(xué)生掌握這些內(nèi)容，安排這節(jié)課將本章內(nèi)容歸納整理，使之結(jié)構(gòu)化。

（三）精講點(diǎn)撥

教師把圖片（圓）投影，讓學(xué)生觀看。

師：同學(xué)們觀看這章的知識框架，回顧一下，你都學(xué)了那些有關(guān)圓的知識呢？（學(xué)生思考，討論探究，然后回答這個問題。學(xué)生的回答必然零散。）

本章的內(nèi)容可概括為三部分：一是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；二是直線與圓的位置關(guān)系，另外還有切線的性質(zhì)及判定；三是圓與圓的位置關(guān)系。

第一部分點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：提問這部分都學(xué)了哪些內(nèi)容。（提問中下等的學(xué)生）

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分為三種：①點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓上；③點(diǎn)在圓外。

總結(jié)：這三種位置關(guān)系與點(diǎn)到圓心的距離（d）、圓的半徑（r）之間有著緊密地聯(lián)系，這放映了“形”與“數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系，也就是說，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，不僅可以用圖形來表現(xiàn)，還可以由數(shù)量關(guān)系來表示。

第二部分直線與圓的位置關(guān)系：（同上）

直線與圓的位置關(guān)系有三種：①直線與圓相離；②直線與圓相切；③直線與圓相交。

設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離是d，則

①直線l與⊙O相離 d>r

②直線l與⊙O相切 d=r

③直線l與⊙O相交 d<r。

直線與圓的位置關(guān)系可用它們的交點(diǎn)個數(shù)來判斷，也可用直線的距離與半徑的大小來判斷，它們是一致的。

還有一部分是圓的切線的性質(zhì)與判定：

讓學(xué)生敘述：

（1）當(dāng)直線與圓相切時具有如下性質(zhì)：

①切線與過切點(diǎn)的半徑垂直；

②經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

（2）依據(jù)如下條件可對圓的切線進(jìn)行判定：

①直線與圓只有一個交點(diǎn)；

②圓心到直線的距離和圓的半徑相等；

③直線就經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑。

第三部分是圓與圓的位置關(guān)系：

圓與圓的位置關(guān)系共五種：①兩圓外離；②兩圓外切；③兩圓相交；④兩圓內(nèi)含；⑤兩圓內(nèi)切。

設(shè)⊙O₁的半徑為R，⊙O₂的半徑為r，R≥r，兩圓的圓心距為d，那么

（1）兩圓外離 d>R+r；

（2）兩圓外切 d>R+r

（3）兩圓相交 R-r<d<R+r

（4）兩圓內(nèi)切 d=R-r；

（5）兩圓內(nèi)含 d<R-r。

（四）典型例題

例1．如圖35-1，⊙ 與⊙ 內(nèi)切，它們的半徑分別為3和1，過 作⊙ 的切線，切點(diǎn)為A,則 A的長為（   ）

A．2

B．4

C．

D．

思路分析：連結(jié) ， ，得到直角三角形 A，再利用勾股定理求 A的長。

解：∵ A與⊙ 相切，

∴ ⊥ A，且 =1。

∵⊙ 與⊙ 內(nèi)切，

∴ =3-1=2

在 中，

∴

故選C。

小結(jié)：連結(jié)過切點(diǎn)的半徑 和兩圓的圓心距 ，構(gòu)造直角三角形達(dá)到解題目的，在圓中，有關(guān)半徑、弦長、弦心距之間的計(jì)算，常用的處理方法是利用半徑、半弦長、弦心距組成直角三角形，再結(jié)合勾股定理求解。

例2．如圖35-2，已知等腰 ，以腰 為直徑作⊙O，交底邊BC于P,PE⊥AC,垂足為E。

求證：PE是⊙O的切線。

思路分析：要正PE是⊙O的切線，已知PE與⊙O有交點(diǎn)P，所以只要連結(jié)OP垂直于PE即可。

證明：連結(jié)OP。

∵AB=AC,∴∠B=∠C

∵OB=OP,∴∠B=∠OPB

∵∠OPB=∠C,∴OP∥AC

∵PE⊥AC,∴OP⊥PE

∴PE是⊙O的切線。

小結(jié)：在證明直線和圓相切時，若已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn)，常連結(jié)這點(diǎn)和圓心的半徑，再證所作半徑與這條直線垂直。

例3．已知點(diǎn)P到⊙O的最短距離是3cm，最長距離是9 cm，求⊙O半徑。

思路分析：由題意知P點(diǎn)在不在圓上，那么應(yīng)有兩種情況：P點(diǎn)在圓內(nèi)或P點(diǎn)在圓外。

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時，如圖35-3， ， ，則

∴⊙O的半徑是6cm。

（2）當(dāng)點(diǎn)P在圓外時，如圖35-4， ， ，則

∴⊙O的半徑是3cm。

答：⊙O的半徑是6cm或3 cm。

小結(jié)：圓的兩解問題一般都沒有給出圖形，解答的關(guān)鍵是全面分析題設(shè)條件，畫出符合題意的所有圖形，再分別求解。

例4．如圖35-5，以 的一條直角邊 為直徑作⊙O，交斜邊BC于E，F是AC的中點(diǎn)。

求證：EF是⊙O的切線。

思路分析：連續(xù)OE，因?yàn)?SPAN lang=EN-US>EF過半徑OE的外端，要判斷EF是⊙O的切線，需證明∠OEF= ,

證明：連結(jié)OE、AE

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB= ,∠AEC=

∵FE=FA

∴∠1=∠2

∵OE= AE,

∴∠3=∠4

∵∠1+∠3=∠2+∠4= ,即∠OEF= ，

∴EF是⊙O的切線。

小結(jié)：連結(jié)OE，是為了構(gòu)造切線的基本圖形，以便證明OE⊥OF。

例5．如圖35-6，⊙O的半徑為5，P為OE外一點(diǎn)，OP=8cm。求：（1）以P為圓心作⊙P與⊙O相切，則⊙P半徑是多少？（2）當(dāng)⊙P與⊙O相交時，⊙P的半徑的取值范圍是多少？

思路分析：（1）相切有兩種可能，即外切與內(nèi)切。

（2）⊙P與⊙O相交時，則有|r-5|<8<r+5解不等式組可求r的取值范圍。

解：（1）當(dāng)⊙P與⊙O外切時，有5+r=8,r=3（cm）。

當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切時，有r-5=8,r=13（cm）

所以當(dāng)r=3cm或13cm時，⊙P與⊙O相切。

（2）當(dāng)⊙P與⊙O相交時，有

|r-5|<8<r+5，

解得3<r<13

即當(dāng)3cm<r<13cm時，⊙P與⊙O相交。

小結(jié)：兩圓相切包含兩圓外切與兩圓內(nèi)切，兩圓外切與內(nèi)切對應(yīng)的關(guān)系式分別是d=R+r和d=R-r（R>r），它們起著分界作用，分別是外離與相交、相交與內(nèi)含的分界點(diǎn)。

例6．如圖35-7，海中小島A，它周圍20海里內(nèi)有暗礁，一漁船跟蹤漁群由西向東航行，在B點(diǎn)測得小島A在北偏東60°方向上，航行30海里到達(dá)C點(diǎn)，這時小島A在北偏東 方向上，如果漁船不改變方向，繼續(xù)向東追蹤捕撈，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？

思路分析：如果把漁船的航線看作直線，暗礁看作以點(diǎn)A為圓心，20海里為半徑的圓及圓的內(nèi)部，漁船是否觸礁，關(guān)鍵是看航線是否經(jīng)過暗礁區(qū)，即看直線與圓是哪一種位置關(guān)系。

解：過點(diǎn)A做AD⊥BC于D

由題意可知

∵

∴ （海里）

在 中， ，即

∴ 海里 海里。

∴漁船無觸礁危險(xiǎn)。

小結(jié)：通過分析聯(lián)想，把實(shí)際問題與所學(xué)知識有機(jī)聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵。

例7．小明要在半徑為1m ,圓心角為60°的扇形鐵皮上剪取一個面積盡可能大的正方形鐵皮，小明在扇形鐵皮上設(shè)計(jì)了如圖35-8的甲、乙兩種方案，請你幫小明計(jì)算一下，按甲、乙兩種方案剪取的正方形的面積，并估算哪個正方形的面積較大。（估算時， 取1.73，結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）

思路分析：要比較甲、乙兩種方案剪取的正方形面積的大小，關(guān)鍵在于求出每個正方形的邊長。

解：方案甲：連接 ，設(shè) ，則 。

在 中， ，

即

解得

方案乙：作 ⊥ 于 ，交 與 則 分別是 和 的中點(diǎn)， ，連結(jié) 。

設(shè) ，則 在 中，

∴

若取 ，則

∴ ，即按甲方案剪得的正方形面積較大。

小結(jié)：通過學(xué)習(xí)本專題，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又應(yīng)用于實(shí)踐，逐漸提高分析問題、解決實(shí)際問題的能力。

板書設(shè)計(jì)：