一個工程，如果10個人來完成，需要30天；20人來完成，需要15天。看起來這樣推理是沒有問題的。因為工程總量是個定值，完成時間與參與工程的人數(shù)成反比。這樣的問題不常常在我們的資料上出現(xiàn)么？

只要稍一延伸，就會發(fā)現(xiàn)問題。30人來完成，需要10天；300人來完成，需要1天；3000人來完成，需要0.1天……照這樣推理，原來需要幾十人修建幾個月的樓房，只要人足夠多，就可以在一瞬間之內(nèi)建好！雖然我們常說：人多好辦事，但這也太不可思議了吧。

之所以得出這種不符合實際的結(jié)論，是因為在很多實際問題中，反比例函數(shù)模型的成立，是要求自變量的取值在一定范圍內(nèi)的。

而在反比例函數(shù)教學的時候，教材考慮到學生的接受能力，沒有引入函數(shù)的定義域，那老師們更談不上強調(diào)。

反比例函數(shù)教學，對總量為定值強調(diào)較多。但有時候，由于有些人考慮不周到，把總量不為定值的問題也當作簡單的反比例函數(shù)來處理了。典型的例子就是牛吃草問題。

一片草地能夠讓10頭牛吃30天，如果有15頭牛，能吃幾天呢？如果簡單地認為：牛頭數(shù)越多，吃的天數(shù)就越少，二者是反比例關(guān)系，應該是于30×10÷15=20天。

此問題當然不會這樣簡單。牛吃的草，有的是原來的，有的是這些天里新長的，又不是只吃原來草場上的那些草。牛多了，新長的草還不夠牛吃的，夠吃的天數(shù)會比20天少。至于到底是多少天，由于題目條件不足，沒法計算。下面我們給出一個完整的題目。

有一片草地，如果放牧24頭牛，則6天吃完牧草，如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草。假設草每天勻速生長，每頭牛吃草的量是相等的。如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？

解這類問題的關(guān)鍵就是要注意到，雖然草總在生長，但操場上原來的草是定值，而草是勻速生長，所以每天新長出的草量也是不變的。抓住不變量，我們可以得到下面4個關(guān)系式；顯然（3）和（4）可看作是（2）的變式。

?。?/span>1）草的生長速度＝（對應的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）；

（2）原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長速度×吃的天數(shù)；

（3）吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長速度）；

（4）牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長速度。

所以此題解答為：

草的生長速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12（份草）

原有草量：21×8-12×8=72（份草）

16頭?？沙裕?/span>72÷(16-12)=18（天）

此問題大有來頭，最早是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的，記載在他的《普遍的算術(shù)》一書中。

此類問題的研究很有必要，因為在實際生活中可以找到很多這樣的例子。譬如超市的收銀臺平均每小時有60名顧客前來排隊付款，每一個收銀臺每小時能應付80名顧客付款。某天某時刻，超市如果只開設一個收銀臺，付款開始4小時就沒有顧客排隊了，問如果當時開設兩個收銀臺，則付款開始幾小時就沒有顧客排隊了。

分析：一個收銀臺4小時處理4*80=320名顧客付款，4小時中有4*60=240名顧客前來排隊，則超市開設一個收銀臺時有320-240=80名顧客要付款。設當時開設兩個收銀臺付款開始x小時就沒有顧客排隊了，則80+60x=2*80x，解得x=0.8。

有人認為這道題是道錯題，理由是：收銀員每小時能應付80名顧客，但只來60名，這說明收銀員完全可以應付的過來啊。何必還要考慮增設收銀臺呢？

提出質(zhì)疑說明他有過思考。假設每分鐘來一個顧客，收銀員馬上處理，來一個走一個，確實用不著排隊，更不用增設收銀臺?？墒穷櫩偷牡絹硎请S機的，而不是均勻的。以最差的情況來說，60名顧客同時來付款，那么后面的人就要等四五十分鐘了。而在一般情況下，可能要等半小時以上。等得太久，顧客可能會放棄購物，這是超市不愿意看到的，所以要考慮增加收銀臺。

而增加收銀臺，則意味著超市將增加成本，而且超市并不是每時每刻都那么忙。兩者權(quán)衡之下，超市會根據(jù)需要增加收銀臺，但絕不會增加太多。

當然，有些數(shù)學題人為簡化了生活中的一些問題。譬如下面這道排隊問題。

畫展九點開門，但早有人排隊等候入場，從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3個入場口，9點零9分就不再有人排隊，如果開5個入場口，9點零5分就沒有人排隊，第一個觀眾到達的時間是什么時間？

解：設每分鐘來x個人，每個入場口每分鐘進y人，第一個觀眾到達時距9點有z分鐘，由題可得:x(z+9)/(3*9*y)=x(z+5)/(5*5*y),解得z=45,所以第一個到達的時間是8點15分。

排隊論是運籌學的一個分支，主要研究系統(tǒng)隨機聚散現(xiàn)象和隨機服務系統(tǒng)工作過程的數(shù)學理論和方法。排隊論應用十分廣泛，千萬不要覺得只有排著長龍的地方，才有排隊論！譬如一條線路要安排多少輛公交車，移動公司要安排多少個接電話的客服，醫(yī)院要安排多少張病床，很多實際問題都要用到排隊論。甚至可以說，排隊論適用于一切服務系統(tǒng)，尤其在通信系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、計算機、存貯系統(tǒng)、生產(chǎn)管理系統(tǒng)等領(lǐng)域。

評價一個排隊系統(tǒng)的好壞要以顧客與服務機構(gòu)兩方面的利益為標準，既要滿足服務對象的需要，又要使機構(gòu)的費用最經(jīng)濟或某些指標最優(yōu)。就顧客來說總希望等待時間或逗留時間越短越好，從而希望服務臺個數(shù)盡可能多些但是，就服務機構(gòu)來說，增加服務臺數(shù)，就意味著增加投資，增加多了會造成浪費，增加少了要引起顧客的抱怨甚至失去顧客，增加多少比較好呢？顧客與服務機構(gòu)為了照顧自己的利益對排隊系統(tǒng)中的3個指標：隊長、等待時間、服務臺的忙期都很關(guān)心。因此這3個指標也就成了排隊論的主要研究內(nèi)容。