“無(wú)窮”是一個(gè)非常神奇的東西。一旦考慮到了無(wú)窮，就會(huì)出現(xiàn)各種不可思議的事情。這里，我們?yōu)榇蠹沂占砹宋鍌€(gè)最有趣的無(wú)窮悖論，大家來(lái)體驗(yàn)一次前所未有的“頭腦風(fēng)暴”吧。
希爾伯特旅館悖論（Hilbert's paradox of Grand Hotel）
希爾伯特旅館有無(wú)限個(gè)房間，并且每個(gè)房間都住了客人。一天來(lái)了一個(gè)新客人，旅館老板說(shuō)：“雖然我們已經(jīng)客滿(mǎn)，但你還是能住進(jìn)來(lái)的。我讓 1 號(hào)房間的客人搬到 2 號(hào)房間，2 號(hào)房間搬到 3 號(hào)房間??n 號(hào)房間搬到 n+1 號(hào)房間，你就可以住進(jìn) 1 號(hào)房間了。”又一天，來(lái)了無(wú)限個(gè)客人，老板又說(shuō)：“不用擔(dān)心，大家仍然都能住進(jìn)來(lái)。我讓 1 號(hào)房間的客人搬到 2 號(hào)房間，2 號(hào)搬到 4 號(hào)，3 號(hào)搬到 6 號(hào)??n 號(hào)搬到 2n 號(hào)，然后你們排好隊(duì)，依次住進(jìn)奇數(shù)號(hào)的房間吧。”
這就是德國(guó)大數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）提出的著名悖論。每個(gè)學(xué)過(guò)集合論的學(xué)生，都應(yīng)該“拜訪(fǎng)”過(guò)這個(gè)奇妙的希爾伯特旅館。雖然人們把它叫做一個(gè)“悖論”，它在邏輯上卻是完全正確的，只不過(guò)大大出乎我們的意料罷了。一扯上無(wú)限，有趣的事說(shuō)也說(shuō)不完。意大利數(shù)學(xué)家伽利略（Galileo Galilei）在他的最后一本科學(xué)著作《兩種新科學(xué)》（Two New Science）中提到一個(gè)問(wèn)題：正整數(shù)集合 {1, 2, 3, 4, ??} 和平方數(shù)集合 {1, 4, 9, 16, ??} 哪個(gè)大呢？一方面，正整數(shù)集合里包含了所有的平方數(shù)，前者顯然比后者大；可另一方面，每個(gè)正整數(shù)平方之后都唯一地對(duì)應(yīng)了一個(gè)平方數(shù)，兩個(gè)集合大小應(yīng)該相等才對(duì)。伽利略比較早地使用了一一對(duì)應(yīng)的思想，可惜沒(méi)有沿著這個(gè)思路更進(jìn)一步思考下去。最后他得出的結(jié)論就是，無(wú)限集是無(wú)法比較大小的。說(shuō)到這里，我們不得不提到德國(guó)另一位偉大的數(shù)學(xué)家喬治·康托（George Cantor），他建立了集合論（set theory），并系統(tǒng)地研究了集合（尤其是無(wú)窮集合）的大小，只不過(guò)這個(gè)大小不是簡(jiǎn)單地叫做“大小”了，而是叫勢(shì)（cardinality）。如果兩個(gè)集合間的元素能建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們就說(shuō)它們等勢(shì)，這也是我們比較集合大小的方式。希爾伯特悖論形象地說(shuō)明了正整數(shù)集合和正偶數(shù)集合是等勢(shì)的。一切和自然數(shù)集合等勢(shì)的集合都稱(chēng)為“可數(shù)集合”（countable set），否則就叫做“不可數(shù)集合”（uncountable set）。
托里拆利小號(hào)（Torricelli‘s Horn）
 
又到幾何悖論時(shí)間了。上面這個(gè)小號(hào)狀的圖形有什么特點(diǎn)？
意大利數(shù)學(xué)家托里拆利（Evangelista Torricelli）將 y=1/x 中 x≥1 的部分繞著 x 軸旋轉(zhuǎn)了一圈，得到了上面的小號(hào)狀圖形（注意，上圖只顯示了這個(gè)圖形的一部分）。然后他算出了這個(gè)小號(hào)的一個(gè)十分牛 B 的性質(zhì)——它的表面積無(wú)窮大，可它的體積卻是 π。這明顯有悖于人的直覺(jué)：體積有限的物體，表面積卻可以是無(wú)限的！換句話(huà)說(shuō)，填滿(mǎn)整個(gè)托里拆利小號(hào)只需要有限的油漆，但把托里拆利小號(hào)的表面刷一遍，卻需要無(wú)限多的油漆！
類(lèi)似的二維幾何悖論中，最著名的要屬“科赫雪花”（Koch Snowflake）了?？坪昭┗ㄊ且环N經(jīng)過(guò)無(wú)窮多次迭代生成的分形圖形，下圖就是前三次迭代的過(guò)程，迭代過(guò)程的極限便是科赫雪花了。它也有一個(gè)類(lèi)似的性質(zhì)：它的面積有限，周長(zhǎng)卻是無(wú)限的。用無(wú)限的周長(zhǎng)包圍了一塊有限的面積，真是另類(lèi)的“無(wú)中生有”?。?br> 
芝諾悖論（Zeno's paradoxes）
芝諾悖論是由古希臘哲學(xué)家芝諾（Zeno）提出的一組悖論。其中的幾個(gè)悖論還可以在亞里士多德（Aristotle）的《物理學(xué)》（Physics）一書(shū)中找到。最有名的是以下兩個(gè)。
阿基里斯與烏龜?shù)你Ｕ摚ˋchilles and the tortoise Paradox）：在跑步比賽中，如果跑得最慢的烏龜一開(kāi)始領(lǐng)先跑得最快的希臘勇士阿基里斯，那么烏龜永遠(yuǎn)也不會(huì)被阿基里斯追上。因?yàn)橐胱返綖觚?，阿基里斯必須先到達(dá)烏龜現(xiàn)在的位置；而等阿基里斯到了這個(gè)位置之后烏龜已經(jīng)又前進(jìn)了一段距離。如此下去，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。
二分法悖論（Dichotomy Paradox）：運(yùn)動(dòng)是不可能的。你要到達(dá)終點(diǎn)，必須首先到達(dá)全程的 1/2 處；而要到達(dá) 1/2 處，必須要先到 1/4 處??每當(dāng)你想到達(dá)一個(gè)點(diǎn)，總有一個(gè)中點(diǎn)需要先到，因此你是永遠(yuǎn)也到不了終點(diǎn)的。其實(shí)，你根本連動(dòng)都動(dòng)不了，運(yùn)動(dòng)是不可能的。
羅素（Bertrand Russell）曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，這組悖論“為從他那時(shí)起到現(xiàn)在所創(chuàng)立的幾乎所有關(guān)于時(shí)間、空間以及無(wú)限的理論提供了土壤”。阿爾弗雷德·諾斯·懷特海德（Alfred North Whitehead）這樣形容芝諾：“知道芝諾的人沒(méi)有一個(gè)不想去否定他的，所有人都認(rèn)為這么做是值得的”，可見(jiàn)爭(zhēng)議之大。無(wú)數(shù)熱愛(ài)思考的人也被這些悖論吸引，試圖給這些出人意料的結(jié)論以合理的解釋。
當(dāng)古希臘哲學(xué)家第歐根尼（Diogenes）聽(tīng)到芝諾的“運(yùn)動(dòng)是不可能的”這個(gè)命題時(shí)，他開(kāi)始四處走動(dòng)，以證明芝諾的荒謬，可他并沒(méi)有指出命題的證明錯(cuò)在哪里。
亞里士多德對(duì)阿基里斯悖論的解釋是：當(dāng)追趕者與被追者之間的距離越來(lái)越小時(shí)，追趕所需的時(shí)間也越來(lái)越小。他說(shuō)，無(wú)限個(gè)越來(lái)越小的數(shù)加起來(lái)的和是有限的，所以可以在有限的時(shí)間追上。不過(guò)他的解釋并不嚴(yán)格，因?yàn)槲覀兒苋菀着e出反例：調(diào)和級(jí)數(shù) 1+1/2+1/3+1/4+…… 的每一項(xiàng)都遞減，可是它的和卻是發(fā)散的。
阿基米德（Archimedes）發(fā)明了一種類(lèi)似于幾何級(jí)數(shù)求和的方法，而問(wèn)題中所需的時(shí)間是成倍遞減的，正是一個(gè)典型的幾何級(jí)數(shù)，所以追上的總時(shí)間是一個(gè)有限值。這個(gè)悖論才總算是得到了一個(gè)過(guò)得去的解釋。直到 19 世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家們才為無(wú)限過(guò)程的問(wèn)題給出了一個(gè)形式化的描述。
盡管我們可以用數(shù)學(xué)方法算出阿基里斯在哪里以及什么時(shí)候追上烏龜，但一些哲學(xué)家認(rèn)為，這些證明依然沒(méi)有解決悖論提出的問(wèn)題。出人意料的是，芝諾悖論在作家之中非常受歡迎，列夫·托爾斯泰在《戰(zhàn)爭(zhēng)與和平》中就談到了阿基里斯和烏龜?shù)墓适?，路易?#183;卡羅爾（Lewis Carroll）寫(xiě)了一篇阿基里斯和烏龜之間的對(duì)話(huà)，阿根廷作家豪爾赫·路易斯·博爾赫斯（Jorge Luis Borges）也多次在他的作品中談到阿基里斯悖論。
球與花瓶（Balls and Vase Problem）
我們有無(wú)限個(gè)球和一個(gè)花瓶，現(xiàn)在我們要對(duì)它們進(jìn)行一系列操作。每次操作都是一樣的：往花瓶里放 10 個(gè)球，然后取出 1 個(gè)球。那么，無(wú)窮多次這樣的操作之后，花瓶里有多少個(gè)球呢？
有人或許會(huì)說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題顯然是荒謬的——這個(gè)過(guò)程需要耗費(fèi)無(wú)窮的時(shí)間，我們不可能等到那個(gè)時(shí)候。那么，我們不妨換一個(gè)問(wèn)法，避開(kāi)所需時(shí)間無(wú)窮的問(wèn)題：在差一分鐘到正午 12 點(diǎn)時(shí)進(jìn)行第 1 次操作，在差 30 秒（1/2 分鐘）到正午 12 點(diǎn)時(shí)進(jìn)行第 2 次操作，在差 1/2 n-1 分鐘到 12 點(diǎn)時(shí)進(jìn)行第 n 次操作。那么，12 點(diǎn)的時(shí)候，花瓶里有幾個(gè)球呢？
看似簡(jiǎn)單的描述，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家的解釋?zhuān)瑓s出現(xiàn)了千奇百怪的答案。最直觀的答案當(dāng)然就是花瓶里有無(wú)限個(gè)球了，因?yàn)槊看味荚黾恿?9 個(gè)球，無(wú)限次之后，當(dāng)然有無(wú)限個(gè)球。數(shù)學(xué)家 Allis 和 Koetsier 卻不這么認(rèn)為。他們認(rèn)為，12 點(diǎn)時(shí)瓶子里沒(méi)有球，因?yàn)槲覀兊?1 次放進(jìn) 1 至 10 號(hào)球，然后取出 1 號(hào)球，第 2 次放入 11 至 20 號(hào)球，然后取出 2 號(hào)球??注意到，n 號(hào)球總是在第 n 次操作時(shí)被取出來(lái)了，因此無(wú)限操作下去，每個(gè)球都會(huì)被取出來(lái)！細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)說(shuō)法也有問(wèn)題：前面的證明假設(shè)我們?nèi)〕龅囊来问?1 號(hào)球、2 號(hào)球、3 號(hào)球等等，如果我們改成依次取 10 號(hào)球、20 號(hào)球、30 號(hào)球，那么最后瓶子里又出現(xiàn)了無(wú)限個(gè)球了。哪種觀點(diǎn)是正確的呢？于是邏輯學(xué)家詹姆斯·亨勒（James M. Henle）和托馬斯·泰馬祖科（Thomas Tymoczko）認(rèn)為，花瓶里有任意個(gè)球。他們還給出了具體的構(gòu)造方法，說(shuō)明最終花瓶里的球可以是任意數(shù)目。
1953 年，這個(gè)悖論由英國(guó)數(shù)學(xué)家利特爾伍德（John Edensor Littlewood）在他的書(shū)《一個(gè)數(shù)學(xué)家的集錦》（A Mathematician‘s miscellany）中首先提出，1976 年謝爾登·羅斯（Sheldon Ross）在他的《概率論第一課》（A First Course in Probability）又一次介紹了這個(gè)問(wèn)題，所以它又被稱(chēng)為“羅斯·利特爾伍德悖論”（Ross-Littlewood Paradox）。
無(wú)限長(zhǎng)的桿（Infinite Rod）
有一張無(wú)限大的桌子，上面豎直地插著一根有限長(zhǎng)的支柱。然后取一根無(wú)窮長(zhǎng)的金屬桿，把它的一頭鉸接在支柱頂端，另一頭則伸向無(wú)窮遠(yuǎn)處。金屬桿可以繞著支柱頂端自由地上下轉(zhuǎn)動(dòng)。假設(shè)金屬桿和桌子都是無(wú)比堅(jiān)硬的剛體。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這根無(wú)限長(zhǎng)的金屬桿根本不會(huì)往下轉(zhuǎn)動(dòng)！因?yàn)榻饘贄U和桌子都很堅(jiān)硬，如果它們相交，必然會(huì)損壞一個(gè)，所以唯一的辦法就是金屬桿與桌面平行。那么我們看到的現(xiàn)象就是一根無(wú)限長(zhǎng)的金屬桿，在空中僅僅靠一個(gè)點(diǎn)就保持水平！
這個(gè)有趣的問(wèn)題是由數(shù)學(xué)家雷蒙德·斯穆里安（Raymond Smullyan）在一本慶祝馬丁·加德納 90 歲生日的書(shū)中介紹的。另外，如果我們把鉸接的點(diǎn)移到金屬桿的中部，那么金屬桿就動(dòng)彈不得，穩(wěn)穩(wěn)地和桌面平行了！