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——“式與方程”和“正比例、反比例”備課解讀與難點透視 賁友林 “式與方程”、“正比例、反比例”都是“數(shù)與代數(shù)”領域的教學內(nèi)容。“式與方程”主要學習代數(shù)初步知識，包括用字母表示數(shù)、簡易方程和列方程解決簡單的實際問題。“正比例、反比例”是小學最后階段學習的內(nèi)容，主要學習比、比例、按比例分配、比例尺、正比例、反比例。這兩部分內(nèi)容是學生學習數(shù)學的重要轉折點，即從算術的學習轉向代數(shù)的學習，從對“數(shù)量”的理解轉向?qū)?#8220;關系”的探討。它們是后續(xù)學習數(shù)學的重要基礎。 一，內(nèi)容變化解讀。 與傳統(tǒng)的“代數(shù)初步知識”、“比和比例”教學內(nèi)容相比，《數(shù)學課程標準（實驗稿）》中的“式與方程”和“正比例、反比例”的內(nèi)容安排從表面上看，似乎沒有大的變化。但是《標準》在這兩部分內(nèi)容的目標定位、具體要求以及相應的教材編寫建議方面，有了許多實質(zhì)性的改變。在目標上更強調(diào)以下幾點： 1，重視教學內(nèi)容的思想價值。 在“式與方程”、“正比例、反比例”的研究中，充滿著已知與未知、特殊與一般、具體與抽象的對立與統(tǒng)一，充滿著運動、變化的思想。以學生所要學習的“正比例”為例，其圖像的呈現(xiàn)形式，從表面上看是靜止的，但從列表、描點到連線這一過程看，卻是運動的、變化的。再進一步考察，畫成的圖像從表面上看是完整的，其實是局部的、不完整的。因為它還可以延伸，即不斷地運動、發(fā)展、變化。 在以往的教學中，重視的往往是教學內(nèi)容本身，就內(nèi)容教內(nèi)容，忽視這些內(nèi)容所包含的重要的數(shù)學思想與教育價值，從而使教學如同蜻蜓點水，缺乏深度與后繼生長力。我們應充分認識到“式與方程”、“正比例、反比例”這兩部分內(nèi)容所蘊含的數(shù)學思想方法及教育價值，不露痕跡地滲透于教學過程中，促進學生對所學知識的理解與掌握，提高認識能力，形成良好的數(shù)學素養(yǎng)。如“用字母表示數(shù)”，是數(shù)學中對學生進行辯證思維教育的開端。列含有字母的式子，可以使學生體會“用字母表示數(shù)”能夠簡潔地表示實際問題中的數(shù)量關系，方便地表達一般規(guī)律，是對數(shù)量關系的概括性表述；而在“求含有字母的式子的值”的學習中，通過將每一個變量取定一個數(shù)值代入式子，經(jīng)運算而獲得一個確定的值的過程，使學生體會“對應”的思想，領悟“變化”與“確定”之間的辯證關系。通過對“求含有字母的式子的值”操作過程的描述，即以具體的數(shù)值代替字母，可以使學生初步感受“換元”的思想。總之，在用字母表示數(shù)的教學中，可以有意識地滲透符號化、對應、換元等思想方法，既加深學生對“用字母表示數(shù)”的理解，又促進他們接觸、了解代數(shù)的研究方法，初步體會相應的數(shù)學思想方法的精神實質(zhì)。再如，認識比例的教學，把圖形的擴大、縮小與比例知識的學習聯(lián)系起來，滲透數(shù)形結合的思想，既使“比例”的引入顯得比較直觀、自然，學生容易理解，也促進學生感受數(shù)量關系與空間形式的聯(lián)系。 2，強調(diào)對模式與關系的體會、理解。 方程的學習，以往注重的是有關概念和技能，如什么叫方程，什么叫方程的解，什么叫解方程，方程的解與解方程有什么不同，怎樣解方程等。再如列方程解應用題，歷來被看作是教學的重點和難點，在教學中，教師往往滿足于頭頭是道地給學生分析等量關系，機械地列出方程，解答問題。這樣的教學，學生沒有經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，無法體會方程是現(xiàn)實世界的數(shù)學模型，應用意識和實踐能力的培養(yǎng)也就成了一句空話。 方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的數(shù)學模型。《標準》強調(diào)從“數(shù)學建模”的角度開展方程的教學。結合具體的總是情境教學方程的含義，如“用式子表示天平兩邊物體的質(zhì)量關系”，讓學生通過觀察、分析，寫出式子，再比較式子的異同，在討論和交流中，由具體到抽象感受、理解方程的含義。解方程的教學，讓學生依據(jù)等式的性質(zhì)對數(shù)學模型進行變換，探求方程的解。教學列方程解決簡單的實際問題，要求學生在問題情境中，探索、研究、尋求已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立數(shù)量之間的相等關系，即把日常語言抽象成數(shù)學語言（數(shù)量關系式），進而轉換成符號語言（方程式）。在經(jīng)歷多次這樣的活動后，學生將逐步感受到方程與實際問題的聯(lián)系，領會數(shù)學建模的思想和基本過程，提高解決問題的能力和信心。 函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學模型。正比例、反比例中隱含的數(shù)學函數(shù)思想，對學生后續(xù)學習數(shù)學、物理、化學等學科有重要的促進作用。學習正比例、反比例，數(shù)學思維方式發(fā)生重要轉折，即思維從靜止走向運動，從離散走向連續(xù)，從運算走向關系。以入教學“正比例、反比例”，教師的著力點往往是引導學生判斷兩種相關聯(lián)的量是否成比例，是成正比例還是反比例，以及怎樣應用比例知識解答應用題。在《標準》中，通過繪圖、估計值、找實例交流等不同于以往的教學活動，幫助學生體會兩個變量之間相互依存的關系，豐富關于變量的經(jīng)歷，為以后學習函數(shù)概念打下基礎。 3，注重在具體情境中去體驗、理解有關知識。 “式與方程”、“正比例、反比例”的具體教學目標十分強調(diào)“在具體情境中”進行教學。這是因為，小學階段，學生的數(shù)學思維從以具體形象思維為主要形式向抽象邏輯思維為主要形式過渡，其抽象邏輯思維在很大程度上仍與感性經(jīng)驗直接相關聯(lián)。“式與方程”、“正比例、反比例”的內(nèi)容在表達形式上比較抽象，作為代數(shù)、函數(shù)學習的啟蒙階段，通過創(chuàng)設與學生生活環(huán)境、知識背景密切相關的，又是學生感興趣的學習情境，把學習的過程置于一個學生能夠體驗的環(huán)境，從而在直觀的感受中，理解字母表達式所反映的等量關系，并會用代數(shù)的方式解決一些實際問題，掌握正比例、反比例知識。這正如《標準》所認為的：數(shù)學學習“不僅要考慮數(shù)學自身的特點，更應遵循學生學習數(shù)學的心理規(guī)律”。 如果說數(shù)字符號是對生活中各種物體個數(shù)的抽象概括，那么代數(shù)式則是對各種數(shù)字符號的抽象概括。在認識用字母表示數(shù)時，教材一般從學生熟悉的生活中選擇一些典型數(shù)量關系，先讓學生用算式表示問題的結果，再通過改變具體數(shù)量，抽象出用字母表示數(shù)，寫出相應的含有字母的式子。具體情境能激活學生已經(jīng)積淀的算術層面對數(shù)量關系的理解，支撐學生在代數(shù)層面對數(shù)量關系的理解。既使新知識“含有字母的式子”的學習過程有場景作依托，又使學生在讀解式子時便于產(chǎn)生聯(lián)想并理解和表述，使學生在學習抽象的代數(shù)知識中感到言之有物，還能認識到代數(shù)的學習可以使我們對數(shù)量關系的表達更清晰、簡潔。這一數(shù)學活動的過程，幫助學生從“算術”走向“代數(shù)”，促進學生體驗數(shù)學的概括性和抽象性，發(fā)展符號感。再如，“會用方程表示簡單情境中的等量關系”這一目標的重點也是“在具體情境中，用方程建立等量關系”。 4，加強與中學數(shù)學的銜接。 以前小學階段的解方程，其基本依據(jù)是加與減、乘與除之間的逆運算關系。中學學習解方程用的是代數(shù)的方法。《標準》明確要求：在小學里學習解方程也是利用等式的性質(zhì)，這樣中學學習不再是另起爐灶。小學里解方程的教學，與中學數(shù)學教學的銜接，不僅僅表現(xiàn)為解方程方法的一致，更有價值的是：思考問題的方法趨向一致。根據(jù)四則運算的互逆關系解方程，屬于算術領域的思考方法；用等式性質(zhì)解方程，屬于代數(shù)領域的解方程。兩者有聯(lián)系，但后者是前者的發(fā)展與提高。這樣，在解方程的教學中，學生將逐步接受并運用代數(shù)的方法思考、解決問題，使思維水平得到提高。 二，教材梳理。 在不同版本的教材中，這兩部分內(nèi)容的編寫有較多的一致性，如，都安排在第二學段，都采用了循序漸進、螺旋上升的編寫方式。但具體到哪一冊教材安排了哪些內(nèi)容，不同版本的教材略有不同。由于數(shù)學知識前后之間具有系統(tǒng)性、邏輯性，因而各版本教材中具體知識點學習的先后順序是相同的。 1，遵循知識的形成過程，符合學生認知發(fā)展規(guī)律。 以蘇教版教材為例，對“式與方程”、“正比例、反比例”這兩部分具體內(nèi)容的編排布局作如下的梳理。 “式與方程”——先是學習用字母表示數(shù)，為學習方程及其他代數(shù)知識奠定基礎。用字母表示數(shù)，教材先是通過簡單的問題情境，讓學生理解字母可以表示數(shù)，并學習用含有字母的式子表示簡單的數(shù)量、數(shù)量關系的計算公式；再聯(lián)系一些稍復雜的數(shù)學問題，引導學生進一步學習用含有字母的式子表示稍復雜的數(shù)量、數(shù)量關系和計算公式，接著學習化簡形如“ax±bx”這樣含有字母的式子，既初步“涉足”代數(shù)式運算，又為后繼學習了解形如ax±bx=c的方程作準備。到方程部分，教材首先結合具體的情境，引導學生認識等式和方程，了解等式與方程的關系；再探索并理解等式的性質(zhì)，學習解只有加法或減法、乘法、除法的簡單方程；然后學習列方程解決簡單的實際問題。在學習只有加、減、乘、除一步計算的方程之后，再由淺入深、由易到難，探討解稍復雜一些的方程以及解稍復雜一些的實際問題。在解決整數(shù)、小數(shù)實際問題的基礎上，結合分數(shù)、百分數(shù)的學習，探討列方程解決分數(shù)、百分數(shù)的實際應用問題。 “正比例、反比例”——這部分內(nèi)容在《標準》中僅涉及“按比例分配”、“正比例、反比例”，猶如冰山露出水面之一角。按比例分配的學習前提是認識比，比與分數(shù)除法有著較多的聯(lián)系，因而教材在學生學習了分數(shù)除法之后，安排比的認識，探索比的基本性質(zhì)，并在比的應用（按比例分配）中加深理解比。比的學習又是比例的基礎，在學習正比例、反比例之前，教材安排了比例尺的學習。關于比例尺，教材先是通過實際問題認識比例尺，理解比例尺的意義，再讓學生探索解決已知比例尺和圖上距離，求實際距離的實際問題以及綜合應用比例尺和空間與圖形的知識解決實際問題。 2，教材對這兩部分內(nèi)容作了早期孕伏。 例如，學習“用字母表示數(shù)”，字母并不是一下子很突兀地呈現(xiàn)于學生面前。在此之前，教學加法和乘法的運算定律時，已經(jīng)引導學生用字母表示各運算定律；在第一學段學習長方形、正方形等平面圖形的面積計算時，已經(jīng)接觸了用字母表示各圖形的面積計算公式；這些都是學習“用字母表示數(shù)”的基礎。又如，學生通過前面幾個學期“算術”內(nèi)容的學習，對簡單實際問題中的基本數(shù)量關系已比較熟悉。以“速度、時間、路程”為例，在以往解決具體問題的過程中，學生初步理解了三者之間的關系，而在學習用字母表示數(shù)之后，進行抽象概括，用公式表示，這樣對數(shù)量關系的認識與理解達到更高的抽象水平。而這些，又是學習方程時建立數(shù)學模型的重要知識基礎。再如，關于正比例、反比例的教學，教材在此之前也安排了相關的問題設計。如蘇教版三年級教材結合乘法、除法的教學，練習中安排了如下習題： ●王老師準備用72元錢去買筆記本。如果買單價是2元的，能買多少本？如果買單價是3元、4元或6元的呢？
觀察上表，你有什么發(fā)現(xiàn)？ ●小紅家養(yǎng)了5匾蠶，平均每匾能收180個蠶繭。你能把下表填寫完整嗎？
觀察上表，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 像這樣的練習，學生通過計算、觀察、比較，體會數(shù)量之間相互依存的關系，為后繼學習正、反比例埋下伏筆。 三，教學中值得特別注意的問題。 “式與方程”是代數(shù)學習的開端；“正比例、反比例”使學生進入對“關系”的探討。作為學生進行數(shù)學學習的重要轉折點，教師在教學中要注意的問題比較多。下面結合一些具體案例作探討。 1，學習用字母表示數(shù)，不能一蹴而就。 用字母表示數(shù)是代數(shù)學習的首要環(huán)節(jié)，理解用字母表示數(shù)的意義是學習代數(shù)的關鍵，也是在后續(xù)學習中運用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)進行交流的前提條件。字母表示數(shù)的思想，深刻地提示和指明了存在于一類問題中的共性和普遍性，把認識和推理提到一個更高的水平。學生對用字母表示數(shù)的理解，要在經(jīng)歷大量運用字母表示具體情境中數(shù)量關系的活動中實現(xiàn)。 英國關于兒童數(shù)學概念發(fā)展水平的研究表明，學生對字母表示數(shù)的理解方式可以概括為六個水平： （1）一看到字母，就直接賦予它一個數(shù)值；（2）對題中的字母視而不見，不理睬，或者承認其存在，但不賦予它任何意義；（3）把代數(shù)式中的字母看作具體物體的記號，或直接看作物體；（4）把字母看作特定的未知量，這時字母在兒童心中是某個（具體的）未知數(shù)的記號，可以直接參與運算；（5）把字母看作廣義的數(shù)，這時，在兒童心中字母是數(shù)，而且可以取多個值；（6）把字母看作變量，即兒童把字母看作可在一定范圍內(nèi)的變數(shù)，兩組這種數(shù)之間有一種系統(tǒng)的關系。 研究還表明，只有少部分學生把字母看作廣義的數(shù)，把字母看作變量的就更少了。大多數(shù)學生把字母當作具體的對象。正如一位教授所言：“字母表示數(shù)”，是一個非常豐富而又“難產(chǎn)”的概念。由此，我們要建立這樣的認識：學生經(jīng)歷從用數(shù)字表示數(shù)到用字母表示數(shù)的過程是一個漫長的過程，需要經(jīng)歷大量的活動，積累豐富的經(jīng)驗，讓學生在具體情境中反復體會用字母表示數(shù)的意義。在小學，學生對代數(shù)知識的認識非常膚淺。例如，許多學生認為2x=9與2y=9的意義不同。我們要注意糾正學生在學習中形成的不恰當概念。在教學時，從學生熟悉的生活中選擇一些典型的數(shù)量關系，引導學生用字母表示數(shù)。具體說來，要抓住三個環(huán)節(jié)：如何引入用字母表示數(shù)；怎樣引導學生理解含有字母的式子不僅表示數(shù)，還表示數(shù)量關系；注意讓學生體會用字母表示數(shù)的好處。 案例1：用字母表示數(shù) 片段1：創(chuàng)設情境，引入用字母表示數(shù)。 課件呈現(xiàn)學生分小組用小棒擺三角形的場景。場景1：一組學生擺了1個三角形。場景2：一組學生擺了2個三角形。場景3：一組學生擺了3個三角形。場景4：一組學生擺三角形，但所擺的三角形的個數(shù)從場景中辨識不出來。 教師依次提問并完成板書： 擺1個三角形用3根小棒； 擺2個三角形用小棒的根數(shù)是：2×3； 擺3個三角形用小棒的根數(shù)是：3×3； 場景4呈現(xiàn)后，提問：他們擺了多少個三角形？要用幾根小棒？ 學生做出“擺4個三角形”、“擺5個三角形”等各種猜測后，有學生指出：他們可能擺了任意個三角形。 師：我贊同你的說法。擺任意個三角形，要用多少根小棒？ 學生獨立思考后全班交流。 生1：可以用？×3，用？代表未知的多少個三角形。 生2：可以用（ ）×3。 生3：可以用X表示，用了X×3根。 師：X表示什么？ 生3：X表示三角形的個數(shù)。 生4：用字母表示，用a表示。 師：當不知具體有多少個時，通?？梢杂米帜副硎緮?shù)。（板書：用字母表示數(shù)） 用字母表示數(shù)，看似簡單，實則不然。如何引入字母？教師讓學生經(jīng)歷從“具體事物——個性化地用符號表示——學會數(shù)學地表示”這一逐步符號化、形式化的過程，在交流、分享的過程中豐富經(jīng)驗。學生用自己的語言進行描述，并在師生互動過程中運用符號將這個關系和規(guī)律表示出來。 片段2：感悟含有字母的式子既表示數(shù)，又表示數(shù)量關系。 師：咱們來玩?zhèn)€猜年齡的游戲。誰悄悄地在我耳邊告訴我：今年幾歲了？ 學生耳語時，教師板書：b b＋22 師：如果b和b+22中有一個是我的歲數(shù)，有一個是他的歲數(shù)，想一想，究竟哪一個表示我的歲數(shù)，哪一個是他的呢？說說你的想法。 結合學生的回答，教師引導學生領會“從式子b+22中可以看出老比這位學生大22歲”。 師：看到這個式子b+22，你能聯(lián)想到什么呢？比如，他1歲時，我多大？ 學生例舉回答學生的歲數(shù)與老師的歲數(shù)之后，教師小結：字母b表示的是一個可以變化的數(shù)，但只要b確定了，b+22就是一個確定的數(shù)。 師：如果用n表示老師的歲數(shù)，這位學生的歲數(shù)可以表示為—— 生：n-22。 師：從這個式子中，我們可以看出：這位學生比老師—— 生：小22歲。 師：對！n-22，既表示這位同學的歲數(shù)，又表示了他和我兩人歲數(shù)之間的關系。 用字母表示數(shù)的教學，學生除了經(jīng)歷運用含有字母的式子表示數(shù)量關系和變化規(guī)律的過程之外，反過來，當他們面對一個含有字母的式子時，要能理解它所代表的實際意義，理解其中所蘊含的規(guī)律，并據(jù)此進行解釋或解決問題。上面的教學，熟悉的具體場景給學生一個從具體到抽象的依據(jù)和支柱，使學生既能夠從具體情境中抽象出“含有字母的式子”，讀懂式子的含義，又能夠面對一個含有字母的式子聯(lián)想情境，闡述基子所表示的意義。通過b和b+22的比較，幫助學生讀懂b+22這個含有字母的式子的內(nèi)涵，領會其同意又表示兩個數(shù)量之間的關系。 片段3：體會用字母表示數(shù)的簡潔與便利。 師：我們已學過運算定律。還記得嗎？能寫出來嗎？ 學生在表格中填寫后，教師指著加法交換律a+b=b+a，提問：a和b分別表示什么？ 生：a、b表示兩個加數(shù)，兩個加數(shù)交換位置，和不變。 師：為什么不用數(shù)表示？ 生：簡單。 師：用具體的數(shù)只能反映具體的例子，有局限性，用字母表示呢？ 生：字母可以表示任意一個數(shù)，數(shù)字只表示具體的一個數(shù)。 出示文字：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。 師：為什么不用文字表示？ 生：用字母表示方便。 生：不啰唆。 師：是的，用字母表示，簡明易記，便于應用。 教師充分利用學生已有的知識和經(jīng)驗“舊話重提”，通過對以往已經(jīng)學過的運用字母表示運算定律進行再認識，促使學生進一步體會字母可以代表任何數(shù)，并初步體會用字母表示數(shù)的簡明與普遍性。 2，認識方程，不能一告了之。 方程思想的首要方面是“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型”。因此，教學應通過設計豐富的情境，讓學生經(jīng)歷建立方程模型的過程。在教學認識方程時，教師就要有“建模”意識。 小學生由于認識的局限性，他們往往把運算中的等號看作是“做什么”的標志。如在算式“3+2”的后面寫上等號，往往被理解為執(zhí)行運算的標志。他們通常把等號解釋為“答案是……”而實際上，他們應把等號看作是相等和平衡的符號，逐步認識到：這個符號表示一種關系，即等號兩邊的數(shù)量是相等的，也就是在3+2與5之間建立了相等的關系。由此可見，在以往的教學中我們要注意糾正如下“錯誤”，如，學生學習兩步計算的實際問題時，有學生列出這樣的算式：3×5=15＋2=17（本），而正確的寫法應當是：3×5=15（本），15＋2=17（本），或3×5＋2=17（本）。認識方程以及后續(xù)方程的學習，等式是學生需要面臨和著力理解的重要代數(shù)概念。 案例2：“方程的意義”片段（河南 牛獻禮） 場景1：超市舉行學習用品大展銷。部分商品的標價是：日記本單價5元，文具盒單價10元，足球單價30元，書包、乒乓球拍未標注單價。 師：書包、乒乓球拍的單價不知道，我們可以怎么表示？ 生：分別用x、y表示它們的單價。 師：如果拿50元錢去購買商品，用錢的結果會有哪幾種不同的情況？（三種情況：有余額、不夠、剛好用完。） 師：如果請你自己購物的話，你準備選擇什么？把你的購買情況與用錢結果用式子表示出來。 學生獨立思考，根據(jù)不同買法寫出不同的式子：30+10+5×250，30+x=50，10+y＜50等。 場景2：一場籃球比賽，紅、藍兩隊打得很激烈。組織學生根據(jù)場景圖中的信息用數(shù)學式子表示兩隊比分關系：26＜33。 師：紅隊教練叫暫停，作了戰(zhàn)術調(diào)整，剛上場的一段時間里，只有紅隊連續(xù)得了x分，請你猜一猜，兩隊的情況會怎樣呢？你能用數(shù)學式子表示比分可能出現(xiàn)的幾種關系嗎：26+x＜33，26+x＞33，26+x=33。 場景3：天平上，4塊月餅的質(zhì)量一共是400克。學生用式子表示：4x=400。 場景4：一個水壺里裝滿了2000毫升水，剛好倒?jié)M2個熱水瓶和1個200毫升的杯子。學生用式子表示：2x+200=2000。 教師將剛才對場景描述所得到的式子集中呈現(xiàn)。 師：你能把這些式子按照一定的標準進行分類嗎？在小組里先說一說，再匯報。 組1：我們把有等號的式子分成一類，有大于號、小于號的式子分成一類。 根據(jù)學生的匯報，教師將上述式子作如下整理： 是否是等式 30+10+5×2=50 10+y＜50 30+x=50 26＜33 26+x=33 26+x＜33 4x=400 26+x＞33 2x+200=2000 組2：有的式子中有字母，可分成一類；式子中沒有字母的，分成一類。 師：對！字母在這些式子中表示的是——未知數(shù)。我們可以把這樣的分類方法和剛才一組匯報的分類方法綜合起來。 教師對上述整理的式子進行整理。 是否是等式 ① ② 30+x=50 10+y＜50 26+x=33 26+x＜33 4x=400 26+x＞33 2x+200=2000 是否含有 未知數(shù) 30+10+5×2=50 26＜33 ③ ④ 師：我們同學通過思考、交流，把這些式子分成了4類。請觀察這4類式子，說一說每一類式子有什么特征？ …… 師：正如我們同學所描述的像第①類式子這樣，含有未知數(shù)的等式是方程。 以上教學片段，從生活實際——購物場景中引入，學生有生活的經(jīng)驗，很自然地想到用錢結果會有三種情況，用式子表示，引出等式與不等式；在等式與不等式的比較中建構對“相等關系”、“等式”的理解。接著，在不同的場景中，用數(shù)學方式表述現(xiàn)實場景中各種關系，再通過觀察、比較、分類、交流等活動，概括方程概念。概念的構建過程，并不是由教師機械地傳授乃至直接告訴學生，而是用數(shù)學符號提煉現(xiàn)實生活中特定關系的過程。方程對小學生來說，不僅是形式上的認識，也是感受在解決實際問題過程中建立模型的過程。 3，解方程的教學，不能一仍舊貫。 方程作為一種重要的思想方法，它對豐富學生解決問題的策略，提高解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)有著重要的意義。與以往教學不同的是，解方程的教學，一是與解決實際問題結合，學生根據(jù)實際問題列出方程后，再探索方程的解法。二是學生在解方程的過程中，要探索、理解再應用等式的性質(zhì)。我們還要認識到：解方程的著眼點不僅僅是去求方程的解的過程，而是在求方程的解的過程中，進行數(shù)學模型的變換，進一步體會“相等關系”。 案例3：“利用等式的性質(zhì)解方程”教學片段 出示場景圖：一共有9個皮球，盒內(nèi)有x個，盒外有3個。 提問：你能根據(jù)圖列出方程嗎？ 板書：x+3=9 啟發(fā)：怎樣解這個方程？你有什么辦法？把你的辦法先和小組里的同學交流。 學生在全班交流后，教師運用課件將天平圖如如下動態(tài)演示：
結合演示過程，板書解方程的過程。 引導：x=6是不是正確的答案呢？我們可以通過檢驗來判斷…… 從以上教學片段可見，“天平”為處理方程提供了一個強有力的智力圖像。方程類似于一組天平，方程中的等號表示處于平衡狀態(tài)，用天平平衡的道理，形象直觀地幫助學生深化對“相等關系”的理解。利用等式性質(zhì)解方程，重要的是幫助學生建立如下規(guī)則：在等式的兩邊進行相同的運算，那么平衡就得到了維持。解方程的過程，不能演繹為操作、訓練解方程技巧的過程，而應當成為深刻理解上述規(guī)則的過程。 還要指出的是：在教學解方程的過程中，注意教給學生檢驗的方法，并在練習中經(jīng)常提醒學生對解方程過程中的每一步進行檢驗。 4，比的認識與應用教學，不能一語道破。 掌握比是學習正、反比例的基礎。比的概念實質(zhì)上兩個數(shù)量進行比較，表示它們之間的倍比關系。任何相關聯(lián)的兩個量的比，都可以抽象為兩個數(shù)的比。在認識比時，我們應以比的意義的理解為突破口，引導學生進入對兩個數(shù)關系的探討。這一過程，不是由由用一兩句話去說明，而應由學生在數(shù)學活動中充分感悟。 案例4：“比的意義”教學片段（湖北 劉建紅） 師：最近，市質(zhì)監(jiān)局對市場上甲、乙兩種太陽能熱水器的質(zhì)量狀況進行抽樣調(diào)查，調(diào)查結果是這樣的：
師：如果我想買一臺熱水器，大家?guī)臀页龀鲋饕?，應該買哪個系列呢？為什么？ 生：應該買乙系列熱水器。這是因為5＞2，甲系列不合格數(shù)＞乙系列不合格數(shù)。 師：你說得有道理。如果抽查的情況是這樣的——
師：你現(xiàn)在的想法是—— 生：我覺得應該買甲系列熱水器，這是因為甲系列的不合格率為5÷150= 師：你很有見解，我先同。這是從甲、乙兩大系列不合格臺數(shù)占抽查臺數(shù)的比率，比較出兩者之間的關系和區(qū)別。你知道還可以怎樣比嗎？ 生：還可以通過先求出兩大系列不合格臺數(shù)與抽查臺數(shù)之間的倍數(shù)關系來比：5÷2=2.5；150÷50=3。 生：還可以用150÷5=30，50÷2=25，…… 師：請大家觀察這些比較的方法，有什么相同的地方？ 生：都是用除法來比的。 師：對！都是運用除法比較兩個數(shù)量之間的關系，這又可以用一種新的表示形式：比。 板書： 5÷150 甲系列不合格臺數(shù)和抽查臺數(shù)的比是5比150。 2÷50 乙系列不合格臺數(shù)和抽查臺數(shù)的比是2比50。 5÷2 甲系列不合格臺數(shù)和乙系列不合格臺數(shù)的比是5比2。 150÷5…… 50÷2…… 師：請大家觀察板書的內(nèi)容，同桌交流一下，什么叫做比？ …… 以上教學在學生已有的認知基礎上，通過引導比較兩個數(shù)量之間的關系，逐步領悟：單純從絕對量的多少進行比較是不夠的，有時有一定的局限性，還要用相對量來比較。再根據(jù)知識的連接點和生長點，從“運用除法，比較兩個數(shù)量之間的關系”轉入對“比”的認識，讓學生感受到“比是兩個數(shù)之間關系的一種表示形式”，從而緊緊扣住“比”的實質(zhì)內(nèi)涵，幫助學生初步建立比的概念。 按比例分配在實際生活中有著廣泛的應用，它的數(shù)學意義是應用比的概念把一個數(shù)量按照一定的比來進行分配。教學“按比例分配”，以往較多的是關注如何解決問題，甚至是應用不同的解法解決問題，但弱化了對比的意義的理解。下面的教學中，教師注重在解決問題的過程中從理解比的意義出發(fā)，既解決了問題，又體會了比的應用，深化了對比的理解。 案例5：“按比例分配” 教師出示規(guī)格為5×5的方格圖：這節(jié)課，先請大家做一個涂色練習。 學生躍躍欲試。 師：請給25個方格分別涂上紅色或黃色。 學生面露不解之色，有學生質(zhì)疑：紅顏色涂多少格？黃顏色呢？ 師：你能用數(shù)學語言間接說明紅、黃顏色的方格各涂多少嗎？ 生：紅色的方格占 師：你是應用“分數(shù)”進行陳述，如果告訴我們：紅色方格個數(shù)與黃色方格的比是3：2，你能涂出來嗎？怎么想呢？ …… 師：從“3：2”中我們知道了什么？ 生：紅色方格個數(shù)與黃色方格個數(shù)之間的關系。 師：對！比，提示了兩者之間的關系。 從條件缺失到提示3：2及對3：2的追問，教師的著眼點都是讓學生感受按比例分配的過程，是理解比的過程，也是體會比的意義與價值的過程，從而將學生的視角引向?qū)?#8220;關系”的關注。 5，學習正比例和反比例，不能一概而論。 正比例和反比例是兩個變量的考察。與以往相比，無論是內(nèi)容還是要求，變化都比較大。首先，我們要注意的是：要通過具體問題的討論，使學生認識成正比例和反比例的量，而不能背誦形式化的結論。 根據(jù)正比例、反比例的意義，判斷兩種相關聯(lián)的量是不是成正比例，比較抽象，學生不易理解。因此需要創(chuàng)設具體的問題幫助學生認識。例如，一輛汽車在高速公路上行駛，每小時行100千米，2小時行多少千米？3小時、4小時……呢？學生在回答這些問題后，可以讓學生把相關的數(shù)據(jù)填入表格中，然后說一說有什么發(fā)現(xiàn)，時間和路程有什么變化，這兩種變化著的量之間存在什么關系？接著再舉此類問題的實例，讓學生充分討論，教師給予歸納，引出相關概念。 在了解了什么是成正比例、反比例關系的量之后，我們還要注意：對正比例、反比例的教學要求是不同的，《標準》明確指出：通過將正比例關系描繪在有坐標系的方格紙上，加深學生對正比例的認識。 案例6：正比例 教師在課始即明確“以前從數(shù)的角度學了正、反比例，今天再從‘形’的角度繼續(xù)學習正比例的意義”。然后出示兩個表格的數(shù)據(jù)（見下圖），請學生自選一個，在方格圖上描出各點，再把各點順次連接起來，看看圖像如何，與同伴交流。 例1：
例2：
學生畫圖，小組交流，再全班交流。學生發(fā)現(xiàn)得到的是一條直線，并且都是向上的，也能解釋原因。老師再出示兩組正比例圖象，坐標分別是鋼筆支數(shù)與錢數(shù)、公里數(shù)與時間，并要求學生說明圖象表示的具體數(shù)關系，以及具體直線上某點代表的意義。 圖像對于理解變量之間的關系具有十分重要的意義，其作為表示變化規(guī)律的方法之一，有著其他表示方式不能替代的作用。上面的教學將正比例關系用坐標系的圖像來表示，相應的關系“可視化”，進一步讓學生體會函數(shù)思想。數(shù)形結合，促進學生對成正比例的量的變化規(guī)律有一個形象鮮明的印象，使學生能在日常語言與圖、表語言之間靈活轉換。 ——“探索規(guī)律”備課解讀與難點透視 浙江省杭州現(xiàn)代小學數(shù)學教育研究中心課題組 一，《標準》解讀。 數(shù)學從屬于科學，那么數(shù)學是一門怎樣的科學？在這些根源性問題的哲學思辨中，“數(shù)學是模式的科學”得到了更多的認同。“也就是說，在數(shù)學中我們是通過（量化）模式的建構，并以此為直接對象來從事客觀世界量化規(guī)律性研究的。”基于此，我們就能理解在數(shù)學學習中存在大量的規(guī)律、公式和算法，也就不難理解《數(shù)學課程標準（實驗稿）》從一個新的視角定位“探索規(guī)律”，并對學生探求模式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律提出新的要求。 《標準》把“探索規(guī)律”作為內(nèi)容結構中的一個重要方面，第一學段要求：發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的簡單規(guī)律；第二學段要求：探求給定事物中隱含的規(guī)律或變化趨勢。同時還要求“探索并理解簡單的數(shù)量關系”、“探索和理解運算規(guī)律”、“探索具體問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律”，等等。“探索規(guī)律”蘊藏著重要的教育內(nèi)涵和價值，也從一個側面說明了“探索規(guī)律”的教育地位和意義。探索規(guī)律并非是一個全新的內(nèi)容，在以前的數(shù)學學習中早有呈現(xiàn)，只是沒有得到高度重視和持續(xù)關注，知識相對散落，編排較為隨機。在新課程中，這部分內(nèi)容被獨立出來，其實也只是相對獨立，因為它還是要依托“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計與概率”、“實踐與綜合應用”等領域的基礎知識和基本技能。 二、“探索規(guī)律”的教學意義。 《辭?！穼?#8220;規(guī)律”解釋為：事物之間的內(nèi)在的必然聯(lián)系和趨勢。至于“探索”，則是當代學習理論所倡導的，強調(diào)獨立思考和發(fā)現(xiàn)。因此，探索規(guī)律是一個發(fā)現(xiàn)關系、發(fā)展思維的過程，有利于學生夯實基礎，更能夠體現(xiàn)數(shù)學思考，凸顯過程與方法，同時，也能夠讓學生在自主探索與思考中感受到學習的快樂，形成積極的學習情感與態(tài)度。 1，實現(xiàn)夯實基礎與思維發(fā)展的結合。 注重“雙基”，規(guī)律的探索才會變得更有可能。探索規(guī)律不是數(shù)學學習中的“空中樓閣”，它是在認識個體學習對象的基礎上，發(fā)現(xiàn)個體之間的關系或者事物發(fā)展趨勢的過程。而這種關系或趨勢的獲得，從某種角度看來，恰愉是在追尋數(shù)學的本質(zhì)，是一個數(shù)學化的過程。因此，探索規(guī)律的加強，為實現(xiàn)夯實基礎與思維發(fā)展之間的結合提供了更多的可能。 案例1：
從掌握基本知識和技能的角度看，本題要求學生能根據(jù)具體的實物用相應的數(shù)來表示，并能正確書寫。然而作為探索規(guī)律的要求，則是在這個基礎上發(fā)現(xiàn)圖與圖、數(shù)與數(shù)之間的關系，能夠從這些數(shù)中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的變化規(guī)律：每次都多2。這種基于一組數(shù)據(jù)現(xiàn)象的概括，從關注實物與數(shù)的對應關系到關注數(shù)與數(shù)之間的變化關系，正是探索規(guī)律所追尋的思維發(fā)展的具體體現(xiàn)。 2，改進學生的學習方式。 改進學生的學習方式是新課程的一個主要目標。在數(shù)學學習過程中有多種學習方式并存，我們應該處理好接受性學習與自主、合作、探究的學習方式之間的關系，兩者不能相互替代。因為“學什么與怎樣學是分不開的”，離開了學習內(nèi)容，學習方式本身也無優(yōu)劣之說。而作為探索規(guī)律的教學，應該依托內(nèi)容來驅(qū)動學生進行自主思考、主動探究，根據(jù)需要進行合作學習。 探索規(guī)律的內(nèi)容更需要學生自主思考。例如：5×5=（ ），6×6=（ ），7×7=（ ），8×8=（ ），…你能發(fā)現(xiàn)什么？引導學生發(fā)現(xiàn)相鄰的數(shù)的平方數(shù)之間的變化關系。這樣的探索規(guī)律，需要學生思考“是什么”，而且還要知道“為什么”，學生在學習的過程中，不僅需要知道每一個算式的結果，而且還要發(fā)現(xiàn)結果之間的變化關系，而知道了變化關系：分別相差11，13，15，…也僅僅解決了規(guī)律是什么的問題。對于學生的學習來說，還有一個更重要的問題是“為什么”。引導學生利用乘法的分配律來作解釋，如：6×6=（5＋1）×（5＋1）=5×5＋5＋5＋1；也就是a×a=b×b＋2b＋1，a，b為相鄰的自然數(shù)，a＞b。學生反思探索規(guī)律的過程中有觀察、有猜想、有驗證，而相應的能力往往是在學生自主思考的過程中形成的。 探索規(guī)律中有一部分內(nèi)容可以采用合作學習的方式組織教學，發(fā)展學生的合作能力。 案例2：神奇的“495” 任選三個數(shù)，如7、9、2，組成一個三位數(shù)，最大的數(shù)是（ ），最小的數(shù)是（ ），用最大的數(shù)減去最小的數(shù)，差是（ ）。將差的三個數(shù)字再組成一個最大的三位數(shù)和一個最小的三位數(shù)，求出它們的差，重復上面的做法。 972-279=693 963-369=594 954-459= 請你想三個不相同的數(shù)字，按上面的做法做一做，看看有什么發(fā)現(xiàn)。 在日常教學中我們不難發(fā)現(xiàn)，有的合作是來自老師的指令，而并非是學生的自覺自愿。理想的合作，應該是在學生個體獨立思考的基礎上，因?qū)W習需要而自主尋求的合作。這個問題的關鍵在于學習活動本身是否需要合作。就該案例而言，當出現(xiàn)結果是“495”后，便不斷地重復了，這會是一種巧合嗎？從教學的組織形式來分析，可以單獨完成，也可以小組合作。我們可以想見，與獨立學習相比，小組之間的合作探究從知識形成的角度來說，獲得的規(guī)律更具有數(shù)學的普遍性，因為例證不是來自一個個體，而是一個群體。當然，小組合作與獨立學習相比還有其他的教育價值。 探索規(guī)律本身就是一種探究活動。探究性學習不僅天然地應成為其普遍的學習方式，反過來，探索規(guī)律這一內(nèi)容也能很好地發(fā)展學生的探究能力。 案例3：曬50塊手帕要多少個夾子呢？
像這樣用一個夾子夾住相鄰的兩塊手帕，一共要多少個夾子？ 與一般基礎知識和基本技能的學習相比，探索規(guī)律的教學具有更大的思維強調(diào)，具有更大的挑戰(zhàn)性和思維驅(qū)動性。求夾50塊手帕所要的夾子，首先要通過學生的理解，把這個生活問題轉化成數(shù)學問題，這是思維的抽象，也是數(shù)學化的過程。50塊手帕，那么多，直接去操作太麻煩，所以要促使學生主動探尋其中的規(guī)律。怎么發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？先從數(shù)量少的開始，1塊，2塊，3塊，4塊……從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律：夾子個數(shù)比手帕塊數(shù)多1。是不是所有的情況都是這樣的呢？然后驗證。最后，再應用規(guī)律解決問題。這個探索規(guī)律的過程，就是一個“觀察思考發(fā)現(xiàn)問題，提出猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，驗證規(guī)律，應用規(guī)律解決問題”的過程。這個過程也正是一個學生主動探究的學習過程。作為致力于發(fā)展思維的探索規(guī)律來說，其內(nèi)容更具綜合性和間接性，并不是基礎知識的簡單回顧或重復，也不是基本技能的同一水平層次的操練或鞏固，而是一種提升，需要學生從綜合性問題中抽象出數(shù)學問題，或者將具有現(xiàn)實性的問題轉化為數(shù)學問題來解決。探索規(guī)律的這些特點，決定了它的教學與探究性學習的不解之緣。 至此，改變學生的學習方式不是來自教師的指令，而是來自探索規(guī)律的內(nèi)容本身。這樣的學習方式是來自學生內(nèi)需，不是外在的壓力，更不是一種形式上的模仿。 3，給學生創(chuàng)造成功的數(shù)學學習體驗。 教育俗語“跳一跳，摘桃子”，是寓意學習具有一定的挑戰(zhàn)性，學生才會樂于參與，才會產(chǎn)生學習的成功感。從教育學“成就動機理論”也同樣可以發(fā)現(xiàn)：當問題的成功可能性P=50%時，學生的學習動機強度最大，最愿意參與學習。在教學實踐中，我們也可以發(fā)現(xiàn)“隨隨便便的成功，學生很難有深刻的體驗”。由此，與一般的教學內(nèi)容相比，探索規(guī)律具有一定的挑戰(zhàn)性，具有吸引學生參與學習、參與挑戰(zhàn)的一種潛質(zhì)，探索規(guī)律的教學，能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，讓學生在探究過程中體驗到學習成功的不易，同時也真切地體會到學習的快樂。 案例4：探索 幾十一乘幾十一的乘法速度（《現(xiàn)代小學新數(shù)學》第6冊） 1，根據(jù)下面的算式和乘積，尋找規(guī)律。 11 21 31 51 ×11 ×41 ×41 ×61 121 861 1271 3111 2，分小組討論：算式的特點和積的規(guī)律。 3，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律做下面各題。 21×21= 61×81= 41×41= 31×51= 71×51= 91×31= 在學習了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的基礎上，引導學生來探索特殊類型乘法算式速算的規(guī)律，首先引導學生觀察算式，概括出特殊類型的特征，然后發(fā)現(xiàn)積與乘數(shù)之間的關系，提出猜想，再通過舉例，驗證猜想，表達發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。一旦學生發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，這樣不僅方便了計算，更增強了學習的信心。 三、教學內(nèi)容分析。 著名優(yōu)秀教師張?zhí)煨⑾壬恢鳖^注小學生思維能力的培養(yǎng)，他認為對于小學生而言，探索規(guī)律在內(nèi)容上，除了對數(shù)學中的法則、共識、性質(zhì)等規(guī)律的探索以外，還包括數(shù)、式、符號、圖形排列規(guī)律的探索，也包括數(shù)與數(shù)之間的規(guī)律和運算規(guī)律的探索以及數(shù)形結合規(guī)律的探索等內(nèi)容。 1，探索數(shù)的規(guī)律。 案例5：
如上圖：教材以學生的生活經(jīng)驗為基礎設計了“排隊”的情景，將1～5五個自然數(shù)依次呈現(xiàn)，形象地提示了相鄰數(shù)之間的關系，讓學生從整體上感知自然數(shù)組成的基本原理：每一個數(shù)比前面一個數(shù)大1，反之前一個數(shù)比后一個數(shù)小1，引導學生體驗數(shù)的序列性規(guī)律。 探索數(shù)的規(guī)律，不是游離于數(shù)的認識的一種“另辟蹊徑”，而是基于數(shù)的認識，同時又不局限于單個數(shù)的認識，用發(fā)現(xiàn)多個數(shù)之間的聯(lián)系或者變化規(guī)律，以此來加深對數(shù)的理解。對于低年級的學生來說，除了規(guī)律本身，這種樂于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的意識也是值得關注的。弗賴登塔爾就曾舉過一個例子：小朋友從1數(shù)到100，有時他們會很不耐煩地數(shù)，數(shù)了一些數(shù)后，31，32，33，34，35，…“就這樣繼續(xù)下去”。就怎樣繼續(xù)下去呢？0后面是1，1后面是2，2后面是3，…，9后面是0，同時在左邊添加1。之所以這樣說，說明學生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。我們不期望他們?nèi)フJ識多位數(shù)，也不期望他們明白無限大的存在，我們珍視的是學生善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的意識。 2，探索式的規(guī)律。 案例6：
把一些算式排列在一起，讓學生去發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律也是“探索規(guī)律”的內(nèi)容。如上案例中，奪紅旗的兩條不同路線，安排了兩組不同的進位加法算式，在計算的基礎上引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。雖然算式簡單，但蘊藏的規(guī)律卻非常豐富。從左側的加法算式中，引導學生可以發(fā)現(xiàn)：加數(shù)7不變，另一個加數(shù)遞曾1，結果和也遞增1；從右側看，加數(shù)8不變，另一個加數(shù)遞增1，結果和也遞增1。而橫向比較，還蘊含的規(guī)律是：一個加數(shù)增加1，另一個加數(shù)減少1，和相等。這樣的探索規(guī)律，起點低，但拓展空間大。在數(shù)的運算教學中，重要的是讓學生學會探求方法、總結規(guī)律，而不是死記結論，只有經(jīng)過自己的探索，才能“知其然”，并知其“所以然”。探索式的規(guī)律，就不只要求知道式的結果，而是通過比較發(fā)現(xiàn)式與式之間的異同，發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律，而應用規(guī)律又能作用于式的結果的得出。 3，探索形的規(guī)律。 案例7：六連方
6個正方形會有多少種不同的排列法呢？引導學生如何有序地排列才能不遺漏不重復呢？在這個排列的過程中，學生需要正確辨別各個正方形之間的空間位置關系，也要弄清圖形與圖形之間的關系，看是否有重復。引導學生動手操作，如通過畫圖探索六連方的規(guī)律。在畫出所有的六連方后，結合對正方體的認識，再繼續(xù)探索：哪些六連方會是正方體的展開圖呢？進一步發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。類似于這樣探索圖形之間的變化規(guī)律，就是探索形的規(guī)律的主要內(nèi)容。 4，探索數(shù)與形結合的規(guī)律。 案例8：
數(shù)與形是數(shù)學研究的基本內(nèi)容，將數(shù)與形的規(guī)律加以聯(lián)系，讓學生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，是“探索規(guī)律”的另一個重要內(nèi)容。 如上案例，先觀察上面圖形與下面圖形中數(shù)的變化，再根據(jù)規(guī)律在下面的空格中填上合適的數(shù)。學生在解決這些問題時，如果只從數(shù)或形的規(guī)律去思考是不夠的。一方面需要考慮圖形的對稱（上下對稱和左右對稱）；另一方面需要考慮數(shù)的排列規(guī)律，通過數(shù)形結合的思想去探索規(guī)律，解決問題。在探索數(shù)與形的規(guī)律中，一方面關注數(shù)與數(shù)之間的大小變化關系；另一方面還關注了空間觀念的培養(yǎng)，同時數(shù)形結合的探索規(guī)律也很好地把數(shù)學中的不同領域整合在一起。 四、探索規(guī)律的數(shù)學教育價值。 “探索規(guī)律”作為一個獨立的教學領域，其內(nèi)容之間有時也是相互交融、綜合呈現(xiàn)的，在一個問題情境中，既有數(shù)的規(guī)律、式的規(guī)律，也可能并存形的規(guī)律。不管內(nèi)容怎樣，都體現(xiàn)著豐富的教育價值。 1，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)感和符號感。 新課程關注學生數(shù)感的培養(yǎng)，但學生的數(shù)感是在學習過程中逐步體驗和建立起來的，探索規(guī)律作為一個數(shù)學知識結構的重要部分，也是培養(yǎng)學生數(shù)感的重要載體。 案例9：
1，看卡片，找規(guī)律，后面接著畫。
教材巧妙地將“探索規(guī)律”滲透到認識數(shù)等有關知識的教學中，采用看圖數(shù)數(shù)、寫數(shù)、填一填、圈一圈、找規(guī)律畫點等練習形式，讓學生在具體情境中感知和體驗。在比較數(shù)與數(shù)之間的大小關系以及變化規(guī)律中，增強對數(shù)的感悟。 《標準》強調(diào)發(fā)展學生的符號感，并指出：“符號感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，并用符號來表示。”探索規(guī)律的過程中，要把規(guī)律從具體的情境中抽象出一般的模型，就很需要借助符號來思考。這個符號不僅僅是一個代號，起著縮寫的簡約作用，更重要的是可以借助符號操作和推導，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的本質(zhì)。 案例10： 請你想好一個數(shù)記在心里，現(xiàn)在將它加上5，然后乘以2，再減去4，再除以2，然后減去你記在心里的那個數(shù)，結果得到的數(shù)是什么？請你算出來，但不要告訴我，因為我已經(jīng)知道了。請你猜我是怎么知道的？ n，n+5，2n+10，2n+6，n+3，3。 最后的結果一定是3。 在以上的教學中，教師引導學生從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，從而體驗將問題解決過程“符號化”的優(yōu)越性。 2，有利于培養(yǎng)學生的觀察能力。 觀察就是找出事物的特征、結構的內(nèi)在聯(lián)系，以便掌握數(shù)、形、式等規(guī)律。觀察題目的特征，聯(lián)想學過的有關知識，探索解題思路的過程，也就是培養(yǎng)學生觀察能力的過程。 案例11： 整理“10以內(nèi)加法表”，學生可從多方向進行觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律——①從橫行觀察……②從豎列觀察……③從斜列觀察……經(jīng)過討論交流、猜想、驗證，作出一般的歸納，在頭腦中建立數(shù)學模型。
學生通過觀察算式的排列規(guī)律、悟出道理和方法后，老師進一步安排了“活動與探索”的內(nèi)容：“應用你觀察、發(fā)現(xiàn)算式之間的規(guī)律，獨立整理十幾加幾的算式”。學生親自經(jīng)歷“觀察規(guī)律——建立模型——解釋和應用”的學習過程，體會到了規(guī)律的應用價值。 3，有利于培養(yǎng)學生的推理能力。 “經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”是《標準》對推理能力培養(yǎng)的主要闡述。能力發(fā)展絕不等同于知識和技能的獲得，不是“懂”了，也不是“會”了，而是學生在學習過程中自己“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律、“悟”出道理和思想方法。這種“發(fā)現(xiàn)”只能在教學活動中進行，因此教材給學生提供了豐富的素材，創(chuàng)設了探索交流的空間，組織、引導學生“經(jīng)歷觀察、探究、猜想、驗證等數(shù)學活動過程”，并把推理能力的培養(yǎng)有機地融合在這樣的“過程”之中。 案例12： 這些算式有什么規(guī)律？ 13―9= 15―9= 12―9= 14―9= 13―9= 15―8= 12―8= 14―8= 觀察算式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？學生可能會猜想：減數(shù)不變，被減數(shù)與差之間的變化規(guī)律；也可能猜：被減數(shù)不變，減數(shù)與差之間的變化規(guī)律。驗證：12－9=，14－9=；12―9=，12―8=；原來的猜想成立嗎？再繼續(xù)驗證，結論成立嗎……這是一個經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、驗證的過程，既有合情推理又有演繹推理，學生學到的不只是結論，還包括學習方法和數(shù)學思想方法。 4，有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。 探索規(guī)律的教學中可以提供一些開放題，通過信息呈現(xiàn)的選擇性與問題解決策略的多樣性，來培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。 案例13： 1，□里該填什么數(shù)？
2，在□里填合適的數(shù)，你有哪些不同的填法？
第1題，學生根據(jù)相鄰數(shù)之間的遞增關系：2+1=3，3+2=5，5+3=8，8+4=12在方框里填12；也可以運用相鄰數(shù)之和等于第三個數(shù)的規(guī)律，在方框里填13……同樣的問題，由于學生觀察規(guī)律的角度不同，因此呈現(xiàn)的思維方式不同，解題策略也不相同，培養(yǎng)了學生的發(fā)散性思維。第2題，由于題目只給出了一個數(shù)，因此學生就可以根據(jù)對數(shù)、式、形規(guī)律的理解，自己構建規(guī)律。筆者曾經(jīng)就類似的題目在一年級學生中做過案例分析，所測試的總人數(shù)中有86.2%的學生能構建五種及以上的規(guī)律，共得出37種不同的方法，解題策略呈多樣性，這充分說明了“探索規(guī)律”的教學對培養(yǎng)學生發(fā)散性思維能力的重要性。 5，有利于滲透數(shù)學建模思想。 數(shù)學模型是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關系，采用形式化的數(shù)學語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學結構。在探索規(guī)律的教學中，需要引導學生概括出事物的共性特征，或者分析數(shù)量之間的本質(zhì)關系，在數(shù)學思考的基礎上數(shù)學地表達。從具體情境中探索出規(guī)律，是將問題一般化的過程。一般化超越了具體問題的具體形態(tài)，深刻提示和指明了存在于一類問題中的共性和普遍性，把認識和推理提到一個更高的水平。這也包含在當前頗有爭議的應用題教學中。傳統(tǒng)的應用題教學在，對那些固化解決問題方法、僵化學生解題策略的做法應當摒棄，但對學生來說，從紛繁的具體問題中概括出問題的共性特征，形成一種對應的解決問題的策略，用一種結構化的數(shù)學模型來解決問題，這應該是值得倡導的。 案例14： （1）一輛客車2小時行駛180千米，照這樣計算，5小時行駛多少千米？ （2）3瓶飲料27元，5瓶這樣的飲料要多少元？ （3）旅游紀念品廠3小時生產(chǎn)60個產(chǎn)品，照這樣計算，8小時可以生產(chǎn)多少個產(chǎn)品？ 此例通過先后安排三個不同問題的解決，試圖引導學生發(fā)生各個問題之間的異同，不同的數(shù)量關系（分別從單價、數(shù)量、總價，速度、時間、路程和工作效率、工作時間、工作總量來描述），卻有相同的問題結構，有同樣的問題解決的策略，都要先求出單一量，再根據(jù)數(shù)量求出相應的總量。 五、教學中要注意的問題。 1，從無序到有序。 從教材知識呈現(xiàn)方式看，探索規(guī)律的內(nèi)容在增強。每當教材向?qū)W生提供觀察、思考與猜測的機會時，更多地要問學生諸如“你發(fā)現(xiàn)了什么”這樣的問題，提示學生注意探索其規(guī)律，逐漸增強學生探索規(guī)律的意識。然而，探索規(guī)律作為小學數(shù)學知識結構新的部分，也需要系統(tǒng)的眼光，構建一個適合學生學習的序列。在新課程實施過程中，孤立地看某些探索規(guī)律比較難，但從實際教學效果看，卻發(fā)現(xiàn)學生掌握得比較理想，這就是探索規(guī)律系統(tǒng)編排、有序訓練所帶來的積極影響。 案例15：數(shù)列的規(guī)律 （1）1，2，3，4，5，（ ），（ ）——遞增 （2）20，18，16，14，（ ），（ ）——遞減 （3）1，2，4，8，（ ），（ ）——擴大倍數(shù)關系 （4）32，16，8，（ ），（ ）——縮小倍數(shù)關系 （5）1，3，7，15，（ ），（ ）——幾倍多幾關系 （6）1，2，3，5，8，（ ），（ ）——前兩個數(shù)的和等于第三個數(shù) 就數(shù)的排列而言，有很多適合學生探索的規(guī)律，教學時就在于如何有序地編排，由易到難，螺旋上升，以便于學生順序發(fā)現(xiàn)規(guī)律，成功地進行探索。誠然，在不同階段，對學生也應該有不同的要求，如題：（ ），（ ），12，（ ），（ ）。在不同的學習階段，學生的解決策略也不同。教學時，不能不分析學生原探索規(guī)律的基礎，而對學生的探索能力做片面的要求和評價。從無序到有序，不僅指的是數(shù)學問題，也同時指的是要求。 2，兼顧動手、動口與動腦。 倡導學生動手操作和動口表達，是當前新課程倡導的學習方式，因為借助動手操作，可以利用直觀培養(yǎng)學生的思維；利用數(shù)學語言的交流，可以增強學生的數(shù)學表達能力。而對于具體的課堂教學而言，并不是學生動手操作越多越好，動口表達的機會越多越好，在動手和動口的背后，最關鍵的是看學生是否已經(jīng)動腦。理智的教學不應把表面的“動”解釋為數(shù)學在實現(xiàn)“做中學”。只有把外化的行為與內(nèi)在的思維活動結合在一起，才是有效的數(shù)學學習活動。 案例16： 為了教學有趣的排列（二年級），教師創(chuàng)設了一個又一個有趣的情境。 情境1：在三個圓中畫不同的顏色：紅黃藍，有幾種不同畫法？ ○ ○ ○ 情境2：安排擺卡片的游戲：用漢字卡片“做”、“好”、“事”，可以有幾種不同的排列方法，讀一讀（做好事，做事好，好做事，好事做，事做好，事好做）。 情境3：三輛汽車開在路上，有幾種不同的先后順序？ 情境4：三個人站在一排拍照，有幾種不同的站法？ 該案例的設計，是希望把數(shù)學知識與學生現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，通過一些方便操作的活動以及學生所熟悉的事物，發(fā)現(xiàn)事物排列的規(guī)律。對于二年級的學生來說，剛開始接觸排列的規(guī)律時，是需要借助實際情境的，讓每一個孩子動手操作，感受到規(guī)律的存在。但經(jīng)歷了幾個不同的情境后，應當引導學生發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的本質(zhì)規(guī)律，也無需每換一個情境，仍然重復機械的操作，而是應該思考問題的共同屬性，為以后用一個乘法算式來求得幾種不同的排列方法作準備。由此看來，強調(diào)動手操作，不能因此降低學生的思維強度，失去鍛煉學生思維的機會。依托表象來思考可能存在的排列情況，比看到直觀圖示來分析排列的現(xiàn)象更有教育價值。 3，要給出充足的時間與空間。 從在一個單位時間設計一個教學活動的角度看，教材的編寫和課堂教學的設計都是“選擇的藝術”。教學目標的多元化也促使教學時要更注重效率。沒有充足的時間和空間作保障，有效學習就成為空談。然而教學時間的控制權是屬于占主導作用的教師，還是占主體作用的學生，在現(xiàn)實教學中，盡管我們認同“以學生為本”、“換位思考”，但從教學現(xiàn)狀看來，做起來很難。 案例17： 兩位數(shù)加一位數(shù)的進位加法，設計一組對比的練習： 5＋7= 8＋4= 15＋7= 18＋4= 25＋7= 28＋4= 35＋7= 38＋4= 出示題目后，老師往往會馬上問：你發(fā)現(xiàn)了什么？ 有個別學生舉手，老師請學生回答…… 這樣表面看“效率比較高”，但這僅僅是個別現(xiàn)象，對于這樣的問題情境，學生需要充足的思考時間作保證，都有可能讓更多的人有盡可能多的發(fā)現(xiàn)，充分發(fā)揮本題的教學功能。教學中，我們希望在計算的基礎上自主探索規(guī)律，既能溝通20以內(nèi)進位加法和100以內(nèi)兩位數(shù)加一位數(shù)的進位加法之間的聯(lián)系，在已有的認知系統(tǒng)中建構新的算法；同時，縱向比較，發(fā)現(xiàn)其中有一個加數(shù)不變，另一個加數(shù)的個位也相同，不同的只是第一個加數(shù)的十位。它們在計算過程中有一個共性特征：和的十位總是比加數(shù)的十位多1，這也正是進位加法的本質(zhì)特征所在。教學是選擇的藝術，對于教材的編著者來說是一種選擇，對于課堂教學來說也是一種選擇，種種選擇背后都承載著責任。 4，倡導技術的適當支持。 新課程重視新技術的應用。《標準》在第二學段明確要求所有學生應學會使用計算器探索規(guī)律，解決更為廣泛的現(xiàn)實問題。用計算器探索規(guī)律得到了普遍的認同。因為，在探索規(guī)律的過程中，不是單一地為了鞏固學生的計算能力，重心在于讓學生探索出計算背后的本質(zhì)規(guī)律。 案例18：數(shù)字寶塔 1×1=1 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=1234321 11111×11111=123454321 111111×111111=12345654321 在教學探索規(guī)律的內(nèi)容時，我們應該鼓勵學生使用計算器來參與探索規(guī)律的過程，有了技術的支持，就會使探索規(guī)律變得更為高效。就上題而言，列一個豎式算出結果，對探索干什么來說并不重要，重要的是在計算中發(fā)現(xiàn)，用若干相同的“1”組成的數(shù)相乘時，結果有什么特點，產(chǎn)生這個特點的原因是什么？這個規(guī)律的普遍性怎樣？就拿上題來說，10個1組成的數(shù)相乘時，結果又是怎樣？與原來發(fā)現(xiàn)的規(guī)律有何異同？這些問題才是探索規(guī)律所追求的價值。 5，強調(diào)過程性評價。 對于課程改革而言，評價問題至關重要；對于小學數(shù)學中的探索規(guī)律教學而言，評價也有著舉足輕重的作用。探索規(guī)律這部分教學內(nèi)容的評價更強調(diào)過程，更注重多元，切勿以“知識的掌握”論英雄、以“規(guī)律的獲得”論成敗。 案例19：烤餅問題 有一個鍋，同時可以烤2個餅，烤一面要3分鐘，烤10個這樣的餅要幾分鐘？ 一節(jié)課后，這樣的現(xiàn)象客觀存在：A學生和B學生最后都算出了正確的結果，我們是否就說A、B兩位學生取得了同樣的成效？還有A學生前測已經(jīng)有了正確的結果，上了課后，后測他還正確，我們是否說這個學生在學習上沒有進步？這些問題的回答顯然都不能如此簡單。對于探索規(guī)律而言，不能僅從知識和技能的掌握與鞏固來評價目標的達成，我們還應該關注探索的過程與方法。就上題而言，一個學生面對要解決烤10個餅的問題的時候，學生是否有意識先嘗試從1個餅開始，化繁為簡，用轉化的方法來解決問題，這是數(shù)學學習的一種重要的方法；在有了解決問題的方法后，學生能否從優(yōu)化的角度嘗試在解決問題的多種方案中尋找最優(yōu)方案，應用運籌思想以及對策論方法？這也正是教學的重要目標。再從學習的情感、態(tài)度和價值觀領域來看，探索規(guī)律的過程是否吸引了學生的積極參與，興趣如何，是否尊重客觀事實、質(zhì)疑猜想？是否會與人合作、善于交流？這也正是數(shù)學學習不可或缺的理性精神。 |
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