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共軛矩陣-共軛矩陣 共軛矩陣又稱Hermite陣。Hermite陣中每一個(gè)第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的共軛相等。埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對(duì)其主對(duì)角線以復(fù)共軛方式對(duì)稱,即是ai,j=a*j,i。 對(duì)于 A=\{a_{i,j}\}\inC^{n\timesn} 有： a_{i,j}=\overline{a_{j,i}}，其中\(zhòng)overline{(\cdot)}為共軛算符。 記做： A=A^H\quad 例如： \begin 3&2+i\\2-i&1\end 就是一個(gè)Hermite陣。 顯然，Hermite陣主對(duì)角線上的元素必須是實(shí)數(shù)。對(duì)于只包含實(shí)數(shù)元素的矩陣（實(shí)矩陣），如果它是對(duì)稱陣，即所有元素關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱，那么它也是Hermite陣。也就是說，實(shí)對(duì)稱陣是Hermite陣的特例。 性質(zhì) 若A和B是Hermite陣，那么它們的和A+B也是Hermite陣；而只有在A和B滿足交換性（即AB=BA）時(shí)，它們的積才是Hermite陣。 可逆的Hermite陣A的逆矩陣A-1仍然是Hermite陣。 如果A是Hermite陣，對(duì)于正整數(shù)n，An是Hermite陣. 方陣C與其共軛轉(zhuǎn)置的和C+C^*是Hermite陣. 方陣C與其共軛轉(zhuǎn)置的差C-C^*是skew-Hermite陣。 任意方陣C都可以用一個(gè)Hermite陣A與一個(gè)skew-Hermite陣B的和表示: C=A+B\quad\mbox\quadA=\frac(C+C^*)\quad\mbox\quadB=\frac(C-C^*). Hermite陣是正規(guī)陣，因此Hermite陣可被酉對(duì)角化，而且得到的對(duì)角陣的元素都是實(shí)數(shù)。這意味著Hermite陣的特征值都是實(shí)的，而且不同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，因此可以在這些特征向量中找出一組Cn的正交基。 n階Hermite方陣的元素構(gòu)成維數(shù)為n2的實(shí)向量空間，因?yàn)橹鲗?duì)角線上的元素有一個(gè)自由度，而主對(duì)角線之上的元素有兩個(gè)自由度。 如果Hermite陣的特征值都是正數(shù)，那么這個(gè)矩陣是正定陣，若它們是非負(fù)的，則這個(gè)矩陣是半正定陣。 |
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