【內(nèi)容摘要】在新課程改革逐步深化的背景下，初中數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和實踐能力，是我們一線教師面臨的必須解決的問題。幾何畫板這個數(shù)學工具軟件已逐漸被數(shù)學教師所認識，也正在被應用到數(shù)學教學中，如何利用幾何畫板開展數(shù)學教學和數(shù)學實驗呢？本文就從初中數(shù)學的函數(shù)、圖形變換、平面幾何的教學和數(shù)學活動、數(shù)學解題的教學等方面來談談幾何畫板在初中數(shù)學教學中的應用與嘗試?！娟P鍵詞】幾何畫板   初中數(shù)學教學     應用嘗試在傳統(tǒng)的數(shù)學教學模式下，知識的掌握、難點的突破，總是靠教師機械反復地講，學生機械反復地練，這樣就導致了學生過重的課業(yè)負擔。學生在學習的過程中總是在反復地識記、反復地再認和保持，這樣很難培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和實踐能力。那么要改變這種教學的狀況，方法之一，就是借助信息技術，再找一個適合數(shù)學教學的平臺――幾何畫板。“幾何畫板”是Windows環(huán)境下的一個動態(tài)的數(shù)學工具軟件。它提供了畫點、畫線（線段、射線、直線）、畫圓（正圓）的工具，以及旋轉(zhuǎn)、平移、縮放、反射等圖形變換功能。幾何畫板又不同于其他繪圖工具，它能動態(tài)地保持給定的幾何關系，便于學生自行動手在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律，從而打破了千百年來數(shù)學學習就是一支筆一張紙的純理論局面，成為提倡數(shù)學實驗，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的有效工具。把它和數(shù)學教學進行有機地整合，能為數(shù)學課堂教學營造一種動態(tài)、開放、新型的教學環(huán)境。本文筆者就談談幾何畫板在初中數(shù)學課堂教學實踐中的簡單應用。

一、幾何畫板在函數(shù)教學中的應用幾何畫板為實現(xiàn)函數(shù)圖象、圖形的動態(tài)變化的全息化，為全方位揭示問題的實質(zhì)提供了可能。在初中數(shù)學教學內(nèi)容里，函數(shù)是教學的重點也是難點。這部分內(nèi)容理論性強，比較抽象，難度較大。例如：學習一次函數(shù)：y=kx+b，要了解函數(shù)圖像隨著k，b的值的變化而變化的情況，是有一定難度的。在傳統(tǒng)教學方式中，要取不同的k、b的值，然后列表在黑板上畫出多個不同的一次函數(shù)圖像，再進行觀察比較。整個過程十分繁瑣，教師和學生的主要精力放在了重復的計算和作圖上，而不是通過觀察、比較、討論而得出結論上，整個過程顯得不夠直觀，重點不突出，效率和效果不佳,如k和b的變化對函數(shù)的影響，函數(shù)值隨著自變量的變化而變化沒法直觀演示，學生往往一知半解，容易造成學生的厭學，更不用說培養(yǎng)學生實踐能力和創(chuàng)新意識。與之相比，借助于電腦，利用《幾何畫板》這個動態(tài)幾何軟件，可以很方便地畫出一次函數(shù)y=kx+b的圖像（如圖1），并且可以把k和b設置為動態(tài)參數(shù)，k和b在這里實際上分別是點A和點B的縱坐標，只要拖動點A和點B就能改變k和b的值，y=kx+b的圖像同時隨之發(fā)生改變，通過觀察函數(shù)圖像的動態(tài)變化，學生很容易得出參數(shù)k和b對函數(shù)圖像的影響，整個過程直觀形象，容易理解，印象深刻。同樣，只要拖動點P，點P的坐標通過幾何畫板的度量功能自動顯示出來，學生容易接受函數(shù)值y隨著自變量x的變化而增大或減小。更為重要的是學生學會用運動變化的觀點看問題，這一點對數(shù)學的學習，特別是對函數(shù)的學習是十分重要的。同樣，對二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像性質(zhì)的研究也是一樣，二次函數(shù)的圖像更復雜，作圖也更繁瑣。因此，使用《幾何畫板》的優(yōu)越性更為明顯，通過動態(tài)改變參數(shù)a、b、c的值，從圖像的變化中可以方便地得到拋物線的開口方向和大小是和a相關的，拋物線與y軸的交點是和c相關的，對稱軸的位置是和b相關的。而且如果有條件的話，可以把課堂從多媒體教室轉(zhuǎn)移到微機教室，讓每個學生都親自動手實驗，改變?nèi)魏我粋€參數(shù)，通過觀察、比較、分析得出自己的結論，這樣的效果更理想，通過觀察函數(shù)圖像的變化，學生在互相討論、教師點撥指導等反饋中，得出自己的結論，逐漸形成自己的知識體系，達到知識的重建。這有利于學生從實踐中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，主動地學習數(shù)學，提高數(shù)學思維能力。這樣，把學生從被動的學習中解脫出來，主動地思考數(shù)學問題，真正體現(xiàn)了新課程的思想。

二、幾何畫板在圖形變換教學中的應用 幾何畫板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放和反射變換。在圖形變換的過程中，圖形的某些性質(zhì)始終保持一定的不變性，幾何畫板能很好地反應出這些特點。圖2是研究軸對稱變換（幾何畫板中稱為“反射變換”）的幾何畫板課件，△ABC和△A′B′C′關于y軸對稱。任意拖動三角形ABC的頂點或邊上任取的點D，雖然圖形的位置、形狀和大小在發(fā)生變化，但對應點的連線段始終保持被對稱軸垂直平分，再觀察對應點的坐標，發(fā)現(xiàn)對應點橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等的特點。圖3是研究平移變換的幾何畫板課件，△A′B′C′是△ABC平移后的圖形。只要拖動矢量點或三角形上的點，圖形中始終保持對應點連線段平行且相等,四邊形AA′C′C始終是平行四邊形。再仔細觀察圖形中點的坐標，可以發(fā)現(xiàn)任意一對對應點的橫坐標的差都一樣，縱坐標的差也一樣，例如點A與A′的橫坐標的差是3.07, 點B與B′的橫坐標的差也是3.07； 點A與A′的縱坐標的差是0.14, 點B與B′的縱坐標的差也是0.14(取近似值后結果有時會產(chǎn)生一些誤差)。而這些在以往的數(shù)學教學中，在黑板上作圖，不僅畫變換圖形比較費時枯燥，而且無法表達這種變化中的不變因素。因此，用幾何畫板來研究圖形的變換更有利于培養(yǎng)學生探究知識的興趣。如果把教學活動移到微機教室進行，讓每個學生親手實驗，不斷改變?nèi)切位蛟瓐D形的形狀、大小和位置，學生就能看到變換后的圖形隨著原圖形的變化而變化，能更好地理解變換的本質(zhì)特征。而對每一點的坐標的研究也觀察得更清晰，這樣更有利于培養(yǎng)學生的實踐能力和探究意識。

三、幾何畫板在平面幾何教學中的應用幾何畫板能動態(tài)地保持平面圖形中給定的幾何關系，利用這一特點便于在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律。如平行、垂直，中點，角平分線等等都能在圖形的變化中保持下來，不會因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學中如果能很好地發(fā)揮幾何畫板中的這些特性，就能為數(shù)學教學增輝添色。如在平行四邊形的教學中，平行四邊形與特殊的平行四邊形之間有必然的聯(lián)系，也有明顯的區(qū)別。要弄清楚它們之間的關系，借助于幾何畫板，則一目了然。在幾何畫板里，先畫一個平行四邊形ABCD，然后拖動頂點C，改變它的形狀，從圖上方的度量值可以發(fā)現(xiàn)，AC和BD的長度在不斷變化，但AC和BD總是互相平分的，對邊的關系始終保持平行且相等（如圖4）。在圖4的基礎上，如果拖動頂點C，當∠DAB=90?時，其余三個角也同時變?yōu)?0?，這顯然是矩形，這時平行四邊形的對角線相等了，并且保持對角線互相平分。繼續(xù)拖動點C，使AD=AB，這時，AB=BC=CD=DA，顯然，四邊形ABCD是菱形，這時平行四邊形的對角線互相垂直了，并且依然保持對角線互相平分。在菱形的基礎上，繼續(xù)拖動點C，使∠DAB=90?，這時，四邊形ABCD是正方形了，此時的對角線相等且互相垂直平分。通過上述的操作，讓學生充分認識到從平行四邊形到正方形的變化過程，這比用木棒演示，黑板上畫更加直觀，而且木棒演示，黑板上畫不可能準確快速測出各部分線段和角的值，因此不容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。因此，用幾何畫板來研究平行四邊形，能深刻理解矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形。如果放在微機教室上課，學生除按教師設定的目標去完成外，學生往往能發(fā)現(xiàn)更多的東西，如過對角線交點任畫一條直線，被平行四邊形對邊（或延長線）截得的部分被對角線的交點平分。這樣，不知不覺中培養(yǎng)學生的探究能力和問題解決的能力。其次，幾何畫板還被用于對平面幾何的變式教學，不僅增加教學容量，拓展學生的思路，還有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。如圖5，AB=AC，D是△ABC內(nèi)一點，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE。求證：BD=CE。  對這個例題的教學，我用幾何畫板做了這樣一個課件，先畫一個等腰三角形，AB=AC，在三角形內(nèi)部取一點D，用“變換”工具把△ABD逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)。得到△AEC。當完成對BD=CE的證明后，我提出：當點D在△ABC邊上或外部時，其他條件不變，上面的結論還成立嗎？我一邊提問一邊拖動點D，如圖6，這樣不僅增加了課堂教學的容量，增加了變式的速度，說到做到，又給人自然流暢，耳目一新的感覺。其實，如果我們深刻挖掘教材，會有許多這樣的例子，不用化多少時間，收到很好的效果。如在學習了角平分線性質(zhì)后，學生知道三角形的角平分線的交點到各邊的距離相等，如果把條件改為三角形一個內(nèi)角的平分線與一個外角平分線的交點，那這點到三角形的各邊的距離相等嗎？可以先用幾何畫板演示，再讓學生來證明。

四、幾何畫板在數(shù)學活動中被廣泛應用人教版數(shù)學教材中，安排了許多關于 “信息技術應用”的選學內(nèi)容， 如“探索兩直線的位置關系”、“用計算機畫函數(shù)圖像”、“探索反比例函數(shù)的性質(zhì)”等。教材中安排的一些“數(shù)學活動”也可用幾何畫板來進行，如在人教版數(shù)學教材八冊下第19章結束安排了一個“中點四邊形”的數(shù)學活動。中點四邊形是什么四邊形呢？我做了一個幾何畫板的課件（如圖7），任意畫一個四邊形，分別取各邊的中點，形成一個四邊形EFGH。分別讓幾何畫板測出原四邊形和中點四邊形的所有邊、角、對角線的值，以便于研究四邊形EFGH的形狀及其與原四邊形的關系。(1)拖動四邊形ABCD的頂點C，讓學生仔細觀察，學生很快發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH始終是平行四邊形。我乘機提出：“為什么呢？你能證明你的結論嗎？”學生此時很興奮，馬上積極思考起來。(2)繼續(xù)拖動四邊形ABCD的頂點C，當拖動到AC=BD時，問學生這是什么四邊形時，學生根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，馬上答出是矩形。“你的根據(jù)是什么？現(xiàn)在四邊形ABCD有什么特別的嗎？”，并請學生說說已知條件和結論，并口頭證明自己的結論。用同樣的方法還能得到菱形、正方形。最后總結得出一般四邊形的中點四邊形是平行四邊形；當四邊形的對角線相等時，中點四邊形是矩形；當四邊形的對角線垂直時，中點四邊形是菱形；當對角線相等且垂直時，中點四邊形是正方形。以前教學時，我們也在黑板上畫出這樣幾個圖，但既費時費勁，又只是靜態(tài)地進行研究，其效果遠遠不如動態(tài)的黑板­­­­­­-----幾何畫板這樣形象、直觀。而且通過演示，學生很快知道中點四邊形與原四邊形的對角線是否互相平分無關，只與原四邊形對角線的位置關系和數(shù)量關系有關。如果在微機教室上課可以讓學生反復嘗試，也許學生的發(fā)現(xiàn)比我們想象的更多更精彩。

另外，在解決一些數(shù)學難點問題時，幾何畫板能發(fā)揮獨特的作用。如在學習了梯形后，安排了這樣一個習題：給你一個任意四邊形，要求把它剪成四塊，你能拼成平行四邊形、矩形、梯形、正方形嗎？這個問題用傳統(tǒng)的方法解決確實比較困難，即使用剪拼的方法去做，也很難完成，更不用說說明不能拼的理由。但是用幾何畫板來做能很好解決這個問題。我用幾何畫板做了一個課件（如圖8）：先任意畫四邊形ABCD，分別取四邊的中點H、G、M、J。連結HM，在HM上任取兩點L、K，連結JK、GL。分別以G、H為中心，對四邊形GCML和HKJA作旋轉(zhuǎn)變換（或說中心對稱變換），得到四邊形GBM′L′和HNJ′B。再把四邊形KJDM平移（利用平移變換）到四邊形BJ′K′M′的位置。這樣，只要拖動點K和L，再觀察四邊形LNK′L′就可以了?，F(xiàn)在已知邊LN和邊K′L′平行。通過拖動點K和L，發(fā)現(xiàn)只要JK與LG不平行，四邊形LNK′L′就是梯形，如果JK=GL，四邊形LNK′L′就是等腰梯形；當JK與LG平行時，四邊形LNK′L′就是平行四邊形；當∠JKH和∠MLG都是直角時，四邊形LNK′L′就是矩形。而要想拼成一個菱形，必須使LG=HK且JK∥LG，這對一般四邊形ABCD是不可能的，所以在一般情況下，無法拼成菱形和正方形。上述剪拼過程，在傳統(tǒng)的教學中很難完成，若完全依靠學生的想象將是非常困難的。其實幾何畫板在數(shù)學教學中應用遠遠不止這些，如畫直觀圖，在黑板上畫是很費時的，但在幾何畫板4.06版中可用鼠標一點完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫板功能，多去實踐，把它與數(shù)學教學有機地整合，就能使它在數(shù)學教學中發(fā)揮巨大的作用?，F(xiàn)在學校硬件設施水平在不斷提高，大部分學校建有微機教室，不要把微機教室只當成信息技術課的專用教室，讓數(shù)學課走出傳統(tǒng)的課堂，甚至多媒體課堂，走進微機教室，走進網(wǎng)絡教室，只有這樣，幾何畫板在數(shù)學教學或數(shù)學實踐中的應用才更廣泛，更深刻。