C通過(guò)運(yùn)行時(shí)堆棧支持遞歸函數(shù)的實(shí)現(xiàn)。遞歸函數(shù)就是直接或間接調(diào)用自身的函數(shù)。
     許多教科書(shū)都把計(jì)算機(jī)階乘和菲波那契數(shù)列用來(lái)說(shuō)明遞歸，非常不幸我們可愛(ài)的著名的老潭老師的《C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)》一書(shū)中就是從階乘的計(jì)算開(kāi)始的函數(shù)遞歸。導(dǎo)致讀過(guò)這本經(jīng)書(shū)的同學(xué)們，看到階乘計(jì)算第一個(gè)想法就是遞歸。但是在階乘的計(jì)算里，遞歸并沒(méi)有提供任何優(yōu)越之處。在菲波那契數(shù)列中，它的效率更是低的非?？植?。

     這里有一個(gè)簡(jiǎn)單的程序，可用于說(shuō)明遞歸。程序的目的是把一個(gè)整數(shù)從二進(jìn)制形式轉(zhuǎn)換為可打印的字符形式。例如：給出一個(gè)值4267，我們需要依次產(chǎn)生字符‘4’，‘2’，‘6’，和‘7’。就如在printf函數(shù)中使用了%d格式碼，它就會(huì)執(zhí)行類似處理。

     我們采用的策略是把這個(gè)值反復(fù)除以10，并打印各個(gè)余數(shù)。例如，4267除10的余數(shù)是7，但是我們不能直接打印這個(gè)余數(shù)。我們需要打印的是機(jī)器字符集中表示數(shù)字‘7’的值。在ASCII碼中，字符‘7’的值是55，所以我們需要在余數(shù)上加上48來(lái)獲得正確的字符，但是，使用字符常量而不是整型常量可以提高程序的可移植性。‘0’的ASCII碼是48，所以我們用余數(shù)加上‘0’，所以有下面的關(guān)系：

          ‘0’+ 0 =‘0’
          ‘0’+ 1 =‘1’
          ‘0’+ 2 =‘2’
      　　　    ...

　　從這些關(guān)系中，我們很容易看出在余數(shù)上加上‘0’就可以產(chǎn)生對(duì)應(yīng)字符的代碼。接著就打印出余數(shù)。下一步再取商的值，4267/10等于426。然后用這個(gè)值重復(fù)上述步驟。

　　這種處理方法存在的唯一問(wèn)題是它產(chǎn)生的數(shù)字次序正好相反，它們是逆向打印的。所以在我們的程序中使用遞歸來(lái)修正這個(gè)問(wèn)題。

　　我們這個(gè)程序中的函數(shù)是遞歸性質(zhì)的,因?yàn)樗艘粋€(gè)對(duì)自身的調(diào)用。乍一看，函數(shù)似乎永遠(yuǎn)不會(huì)終止。當(dāng)函數(shù)調(diào)用時(shí)，它將調(diào)用自身，第2次調(diào)用還將調(diào)用自身，以此類推，似乎永遠(yuǎn)調(diào)用下去。這也是我們?cè)趧偨佑|遞歸時(shí)最想不明白的事情。但是，事實(shí)上并不會(huì)出現(xiàn)這種情況。

　　這個(gè)程序的遞歸實(shí)現(xiàn)了某種類型的螺旋狀while循環(huán)。while循環(huán)在循環(huán)體每次執(zhí)行時(shí)必須取得某種進(jìn)展，逐步迫近循環(huán)終止條件。遞歸函數(shù)也是如此，它在每次遞歸調(diào)用后必須越來(lái)越接近某種限制條件。當(dāng)遞歸函數(shù)符合這個(gè)限制條件時(shí)，它便不在調(diào)用自身。

在程序中，遞歸函數(shù)的限制條件就是變量quotient為零。在每次遞歸調(diào)用之前，我們都把quotient除以10，所以每遞歸調(diào)用一次，它的值就越來(lái)越接近零。當(dāng)它最終變成零時(shí)，遞歸便告終止。

/*接受一個(gè)整型值（無(wú)符號(hào)0，把它轉(zhuǎn)換為字符并打印它，前導(dǎo)零被刪除*/

#include <stdio.h>

int binary_to_ascii( unsigned int value)
{
          unsigned int quotient;
    
   　　quotient = value / 10;
   　　if( quotient != 0)
       　　　　binary_to_ascii( quotient);
   　　putchar ( value % 10 + '0' );
}

遞歸是如何幫助我們以正確的順序打印這些字符呢？下面是這個(gè)函數(shù)的工作流程。
       1. 將參數(shù)值除以10
       2. 如果quotient的值為非零，調(diào)用binary-to-ascii打印quotient當(dāng)前值的各位數(shù)字

　　3. 接著，打印步驟1中除法運(yùn)算的余數(shù)

　　注意在第2個(gè)步驟中，我們需要打印的是quotient當(dāng)前值的各位數(shù)字。我們所面臨的問(wèn)題和最初的問(wèn)題完全相同，只是變量quotient的值變小了。我們用剛剛編寫(xiě)的函數(shù)（把整數(shù)轉(zhuǎn)換為各個(gè)數(shù)字字符并打印出來(lái)）來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。由于quotient的值越來(lái)越小，所以遞歸最終會(huì)終止。

　　一旦你理解了遞歸，閱讀遞歸函數(shù)最容易的方法不是糾纏于它的執(zhí)行過(guò)程，而是相信遞歸函數(shù)會(huì)順利完成它的任務(wù)。如果你的每個(gè)步驟正確無(wú)誤，你的限制條件設(shè)置正確，并且每次調(diào)用之后更接近限制條件，遞歸函數(shù)總是能正確的完成任務(wù)。

　　但是，為了理解遞歸的工作原理，你需要追蹤遞歸調(diào)用的執(zhí)行過(guò)程，所以讓我們來(lái)進(jìn)行這項(xiàng)工作。追蹤一個(gè)遞歸函數(shù)的執(zhí)行過(guò)程的關(guān)鍵是理解函數(shù)中所聲明的變量是如何存儲(chǔ)的。當(dāng)函數(shù)被調(diào)用時(shí)，它的變量的空間是創(chuàng)建于運(yùn)行時(shí)堆棧上的。以前調(diào)用的函數(shù)的變量扔保留在堆棧上，但他們被新函數(shù)的變量所掩蓋，因此是不能被訪問(wèn)的。

　　當(dāng)遞歸函數(shù)調(diào)用自身時(shí)，情況于是如此。每進(jìn)行一次新的調(diào)用，都將創(chuàng)建一批變量，他們將掩蓋遞歸函數(shù)前一次調(diào)用所創(chuàng)建的變量。當(dāng)我追蹤一個(gè)遞歸函數(shù)的執(zhí)行過(guò)程時(shí)，必須把分?jǐn)?shù)不同次調(diào)用的變量區(qū)分開(kāi)來(lái)，以避免混淆。

　　程序中的函數(shù)有兩個(gè)變量：參數(shù)value和局部變量quotient。下面的一些圖顯示了堆棧的狀態(tài)，當(dāng)前可以訪問(wèn)的變量位于棧頂。所有其他調(diào)用的變量飾以灰色的陰影，表示他們不能被當(dāng)前正在執(zhí)行的函數(shù)訪問(wèn)。

假定我們以4267這個(gè)值調(diào)用遞歸函數(shù)。當(dāng)函數(shù)剛開(kāi)始執(zhí)行時(shí)，堆棧的內(nèi)容如下圖所示：
 
執(zhí)行除法之后，堆棧的內(nèi)容如下：

 
接著，if語(yǔ)句判斷出quotient的值非零，所以對(duì)該函數(shù)執(zhí)行遞歸調(diào)用。當(dāng)這個(gè)函數(shù)第二次被調(diào)用之初，堆棧的內(nèi)容如下：
 
堆棧上創(chuàng)建了一批新的變量，隱藏了前面的那批變量，除非當(dāng)前這次遞歸調(diào)用返回，否則他們是不能被訪問(wèn)的。再次執(zhí)行除法運(yùn)算之后，堆棧的內(nèi)容如下：
 
quotient的值現(xiàn)在為42，仍然非零，所以需要繼續(xù)執(zhí)行遞歸調(diào)用，并再創(chuàng)建一批變量。在執(zhí)行完這次調(diào)用的出發(fā)運(yùn)算之后，堆棧的內(nèi)容如下：
 
此時(shí)，quotient的值還是非零，仍然需要執(zhí)行遞歸調(diào)用。在執(zhí)行除法運(yùn)算之后，堆棧的內(nèi)容如下：
 

　　不算遞歸調(diào)用語(yǔ)句本身，到目前為止所執(zhí)行的語(yǔ)句只是除法運(yùn)算以及對(duì)quotient的值進(jìn)行測(cè)試。由于遞歸調(diào)用這些語(yǔ)句重復(fù)執(zhí)行，所以它的效果類似循環(huán)：當(dāng)quotient的值非零時(shí)，把它的值作為初始值重新開(kāi)始循環(huán)。但是，遞歸調(diào)用將會(huì)保存一些信息（這點(diǎn)與循環(huán)不同），也就好是保存在堆棧中的變量值。這些信息很快就會(huì)變得非常重要。

　　現(xiàn)在quotient的值變成了零，遞歸函數(shù)便不再調(diào)用自身，而是開(kāi)始打印輸出。然后函數(shù)返回，并開(kāi)始銷毀堆棧上的變量值。

每次調(diào)用putchar得到變量value的最后一個(gè)數(shù)字，方法是對(duì)value進(jìn)行模10取余運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)0到9之間的整數(shù)。把它與字符常量‘0’相加，其結(jié)果便是對(duì)應(yīng)于這個(gè)數(shù)字的ASCII字符，然后把這個(gè)字符打印出來(lái)。
 
接著函數(shù)返回，它的變量從堆棧中銷毀。接著，遞歸函數(shù)的前一次調(diào)用重新繼續(xù)執(zhí)行，她所使用的是自己的變量，他們現(xiàn)在位于堆棧的頂部。因?yàn)樗膙alue值是42，所以調(diào)用putchar后打印出來(lái)的數(shù)字是2。
 
接著遞歸函數(shù)的這次調(diào)用也返回，它的變量也被銷毀，此時(shí)位于堆棧頂部的是遞歸函數(shù)再前一次調(diào)用的變量。遞歸調(diào)用從這個(gè)位置繼續(xù)執(zhí)行，這次打印的數(shù)字是6。在這次調(diào)用返回之前，堆棧的內(nèi)容如下：
 
現(xiàn)在我們已經(jīng)展開(kāi)了整個(gè)遞歸過(guò)程，并回到該函數(shù)最初的調(diào)用。這次調(diào)用打印出數(shù)字7，也就是它的value參數(shù)除10的余數(shù)。
 
然后，這個(gè)遞歸函數(shù)就徹底返回到其他函數(shù)調(diào)用它的地點(diǎn)。
如果你把打印出來(lái)的字符一個(gè)接一個(gè)排在一起，出現(xiàn)在打印機(jī)或屏幕上，你將看到正確的值：4267

漢諾塔問(wèn)題遞歸算法分析：

　　一個(gè)廟里有三個(gè)柱子，第一個(gè)有64個(gè)盤(pán)子，從上往下盤(pán)子越來(lái)越大。要求廟里的老和尚把這64個(gè)盤(pán)子全部移動(dòng)到第三個(gè)柱子上。移動(dòng)的時(shí)候始終只能小盤(pán)子壓著大盤(pán)子。而且每次只能移動(dòng)一個(gè)。

　　1、此時(shí)老和尚（后面我們叫他第一個(gè)和尚）覺(jué)得很難，所以他想：要是有一個(gè)人能把前63個(gè)盤(pán)子先移動(dòng)到第二個(gè)柱子上，我再把最后一個(gè)盤(pán)子直接移動(dòng)到第三個(gè)柱子，再讓那個(gè)人把剛才的前63個(gè)盤(pán)子從第二個(gè)柱子上移動(dòng)到第三個(gè)柱子上，我的任務(wù)就完成了，簡(jiǎn)單。所以他找了比他年輕的和尚（后面我們叫他第二個(gè)和尚），命令：

          ① 你丫把前63個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到第二柱子上

          ② 然后我自己把第64個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到第三個(gè)柱子上后

          ③ 你把前63個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到第三柱子上

      2、第二個(gè)和尚接了任務(wù)，也覺(jué)得很難，所以他也和第一個(gè)和尚一樣想：要是有一個(gè)人能把前62個(gè)盤(pán)子先移動(dòng)到第三個(gè)柱子上，我再把最后一個(gè)盤(pán)子直接移動(dòng)到第二個(gè)柱子，再讓那個(gè)人把剛才的前62個(gè)盤(pán)子從第三個(gè)柱子上移動(dòng)到第三個(gè)柱子上，我的任務(wù)就完成了，簡(jiǎn)單。所以他也找了比他年輕的和尚（后面我們叫他第三和尚），命令：

          ① 你把前62個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到第三柱子上

          ② 然后我自己把第63個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到第二個(gè)柱子上后

          ③ 你把前62個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到第二柱子上

　　3、第三個(gè)和尚接了任務(wù)，又把移動(dòng)前61個(gè)盤(pán)子的任務(wù)依葫蘆話瓢的交給了第四個(gè)和尚，等等遞推下去，直到把任務(wù)交給了第64個(gè)和尚為止（估計(jì)第64個(gè)和尚很郁悶，沒(méi)機(jī)會(huì)也命令下別人，因?yàn)榈剿@里盤(pán)子已經(jīng)只有一個(gè)了）。

　　4、到此任務(wù)下交完成，到各司其職完成的時(shí)候了。完成回推了：

第64個(gè)和尚移動(dòng)第1個(gè)盤(pán)子，把它移開(kāi)，然后第63個(gè)和尚移動(dòng)他給自己分配的第2個(gè)盤(pán)子。
第64個(gè)和尚再把第1個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到第2個(gè)盤(pán)子上。到這里第64個(gè)和尚的任務(wù)完成，第63個(gè)和尚完成了第62個(gè)和尚交給他的任務(wù)的第一步。

　　從上面可以看出，只有第64個(gè)和尚的任務(wù)完成了，第63個(gè)和尚的任務(wù)才能完成，只有第2個(gè)和尚----第64個(gè)和尚的任務(wù)完成后，第1個(gè)和尚的任務(wù)才能完成。這是一個(gè)典型的遞歸問(wèn)題。 現(xiàn)在我們以有3個(gè)盤(pán)子來(lái)分析：

第1個(gè)和尚命令：

          ① 第2個(gè)和尚你先把第一柱子前2個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到第二柱子。（借助第三個(gè)柱子）

          ② 第1個(gè)和尚我自己把第一柱子最后的盤(pán)子移動(dòng)到第三柱子。

          ③ 第2個(gè)和尚你把前2個(gè)盤(pán)子從第二柱子移動(dòng)到第三柱子。

　　　很顯然，第二步很容易實(shí)現(xiàn)（哎，人總是自私地，把簡(jiǎn)單留給自己，困難的給別人）。

其中第一步，第2個(gè)和尚他有2個(gè)盤(pán)子，他就命令：

          ① 第3個(gè)和尚你把第一柱子第1個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到第三柱子。（借助第二柱子）

          ② 第2個(gè)和尚我自己把第一柱子第2個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到第二柱子上。

          ③ 第3個(gè)和尚你把第1個(gè)盤(pán)子從第三柱子移動(dòng)到第二柱子。

　　　同樣，第二步很容易實(shí)現(xiàn)，但第3個(gè)和尚他只需要移動(dòng)1個(gè)盤(pán)子，所以他也不用在下派任務(wù)了。（注意：這就是停止遞歸的條件，也叫邊界值）

第三步可以分解為，第2個(gè)和尚還是有2個(gè)盤(pán)子，命令：

          ① 第3個(gè)和尚你把第二柱子上的第1個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到第一柱子。

          ② 第2個(gè)和尚我把第2個(gè)盤(pán)子從第二柱子移動(dòng)到第三柱子。

          ③ 第3個(gè)和尚你把第一柱子上的盤(pán)子移動(dòng)到第三柱子。
                   
分析組合起來(lái)就是：1→3 1→2 3→2 借助第三個(gè)柱子移動(dòng)到第二個(gè)柱子 |1→3 自私人留給自己的活| 2→1 2→3 1→3借助第一個(gè)柱子移動(dòng)到第三個(gè)柱子|共需要七步。

如果是4個(gè)盤(pán)子，則第一個(gè)和尚的命令中第1步和第3步各有3個(gè)盤(pán)子，所以各需要7步，共14步，再加上第1個(gè)和尚的1步，所以4個(gè)盤(pán)子總共需要移動(dòng)7+1+7=15步，同樣，5個(gè)盤(pán)子需要15+1+15=31步，6個(gè)盤(pán)子需要31+1+31=64步……由此可以知道，移動(dòng)n個(gè)盤(pán)子需要（2的n次方）-1步。

　　　從上面整體綜合分析可知把n個(gè)盤(pán)子從1座（相當(dāng)?shù)谝恢樱┮频?座（相當(dāng)?shù)谌樱?

（1）把1座上（n-1）個(gè)盤(pán)子借助3座移到2座。
     （2）把1座上第n個(gè)盤(pán)子移動(dòng)3座。
（3）把2座上（n-1）個(gè)盤(pán)子借助1座移動(dòng)3座。

下面用hanoi（n,a,b,c）表示把1座n個(gè)盤(pán)子借助2座移動(dòng)到3座。

很明顯:    (1)步上是 hanoi(n-1,1,3,2)
               (3)步上是 hanoi(n-1,2,1,3)
用C語(yǔ)言表示出來(lái)，就是：
#include <stdio.h>
int method(int n,char a, char b)
{
     printf("number..%d..form..%c..to..%c.."n",n,a,b);
     return 0;
}
int hanoi(int n,char a,char b,char c)
{
     if( n==1 ) move (1,a,c);
     else
          {
               hanoi(n-1,a,c,b);
               move(n,a,c);
               hanoi(n-1,b,a,c);
          };
     return 0;
}
int main()
{
     int num;
     scanf("%d",&num);
     hanoi(num,'A','B','C');
     return 0;
}