【課標(biāo)要求】

【知識梳理】

1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.

3.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).

①的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；

相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.

4.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.

5.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法

（1）公式法：，∴頂點(diǎn)是，對稱軸是直線.

 （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對稱軸是直線.

 （3）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.

6.拋物線中，的作用

（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè).

（3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.

 當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(diǎn)（0，）：①，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.

 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .

7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.

12.直線與拋物線的交點(diǎn)

（1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ).

（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)(,).

（3）拋物線與軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

      ①有兩個交點(diǎn)拋物線與軸相交；

      ②有一個交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切；

      ③沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離.

（4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同（3）一樣可能有0個交點(diǎn)、1個交點(diǎn)、2個交點(diǎn).當(dāng)有2個交點(diǎn)時，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個實(shí)數(shù)根.

（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點(diǎn); ②方程組只有一組解時與只有一個交點(diǎn)；③方程組無解時與沒有交點(diǎn).

（6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個根，故

【能力訓(xùn)練】

1．二次函數(shù)y=－x²＋6x－5，當(dāng)           時， ，且隨的增大而減小。

2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第三象限，則的值為（    ）

A．  B．  C．    D． ．

3．拋物線y=x²－2x＋3的對稱軸是直線（  ）

  A．x =2   B．x =－2   C．x =－1  D．x =1    

4． 二次函數(shù)y=x²+2x－7的函數(shù)值是8，那么對應(yīng)的x的值是（  ）

    A．3    B．5    C．－3和5  D．3和－5    

5．拋物線y=x²－x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（  ）

6．二次函數(shù) 的圖象，如圖1－2－40所示，根據(jù)圖象可得a、b、c與0的大小關(guān)系是（  ）

    A．a＞0，b＜0，c＜0   B．a＞0，b＞0，c＞0

    C．a＜0，b＜0，c＜0   D．a＜0，b＞0，c＜0    

7．小敏在今年的校運(yùn)動會跳遠(yuǎn)比賽中跳出了滿意一跳，函數(shù)h=3．5 t－4．9 t²(t的單位s；h中的單位：m）可以描述他跳躍時重心高度的變化．如圖，則他起跳后到重心最高時所用的時間是（   ）

   A．0．71s   B．0.70s  C．0.63s   D．0．36s

8．已知拋物線的解析式為y=－（x—2）²＋l，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（  ）

   A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）

9．若二次函數(shù)y=x²－x與y=－x²+k的圖象的頂點(diǎn)重合，則下列結(jié)論不正確的是（  ）

   A．這兩個函數(shù)圖象有相同的對稱軸

   B．這兩個函數(shù)圖象的開口方向相反

   C．方程－x²+k=0沒有實(shí)數(shù)根

   D．二次函數(shù)y=－x²＋k的最大值為

10．拋物線y=x² +2x－3與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)有（  ）

    A．0個     B．1個    C．2個    D．3個

11．拋物線y=（x—l）² +2的對稱軸是（  ）

    A．直線x=－1        B．直線x=1  C．直線x=2          D．直線x=2

12．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在“①  a＜0，②b＞0，③c＜ 0，④b²－4ac＞0”中，正確的判斷是（  ）

A、①②③④  B、④   C、①②③   D、①④

13．已知二次函數(shù)(a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a、b同號；②當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=－2時，x的值只能取0．其中正確的個數(shù)是（  ）

    A．l個     B．2個   C．3個    D．4個

14．如圖，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，－3），則此拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)有（）

　　A．最大值1    B．最小值－3     C．最大值－3   D．最小值1

　　15．用列表法畫二次函數(shù)的圖象時先列一個表，當(dāng)表中對自變量x的值以相等間隔的值增加時，函數(shù)y所對應(yīng)的值依次為：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一個值不正確，這個不正確的值是（   ）

　　A．506    B．380    C．274    D．182

　　16．將二次函數(shù)y=x²－4x+ 6化為 y=(x—h)²+k的形式：y=___________

　　17．把二次函數(shù)y=x²－4x+5化成y=(x—h)²+k的形式：y=___________

　　18．若二次函數(shù)y=x²－4x+c的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，其中c為整數(shù)，則c=__

_________________（只要求寫一個）．

　　19．拋物線y=(x－1)²+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________．

　　20．二次函數(shù)y=x²－2x－3與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為_________.

　　21. 已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三點(diǎn)，

（1）       求拋物線的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并在給定的直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線。

（2）       若點(diǎn)（x₀,y₀）在拋物線上，且0≤x₀≤4,試寫出y₀的取值范圍。

　　22．華聯(lián)商場以每件30元購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)每天的銷售量（件）與每件的銷售價（元）滿足一次函數(shù)y=162－3x；

（1）寫出商場每天的銷售利潤（元）與每件的銷售價（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果商場要想獲得最大利潤，每件商品的銷售價定為多少為最合適？最大銷售利潤為多少？

23．某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程．下面的二次函數(shù)圖像（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s（萬元）與銷售時間t（月）之間的關(guān)系（即前t個月的利潤總和s與t之間的關(guān)系）．

　　根據(jù)圖像提供的信息，解答下列問題：

?。?span>1）求累積利潤s（萬元）與時間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；

　（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元；

?。?span>3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？

　　24．如圖，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面AB的寬是20米，如果水位上升3米時，水面CD的寬為10米，

　?。?span>1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；

　?。?span>2）現(xiàn)有一輛載有救援物質(zhì)的貨車從甲地出發(fā)，要經(jīng)過此橋開往乙地，已知甲地到此橋千米，（橋長忽略不計）貨車以每小時40千米的速度開往乙地，當(dāng)行駛到1小時時，忽然接到緊急通知，前方連降大雨，造成水位以每小時米的速度持續(xù)上漲，（貨車接到通知時水位在CD處），當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O時，禁止車輛通行；試問：汽車按原來速度行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由；若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應(yīng)超過多少千米？

　　25.已知直線y＝－2x＋b(b≠0)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為y＝x²－(b＋10)x＋c.

　?、湃粼搾佄锞€過點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線y＝－2x＋b上，試確定這條拋物線的解析式；

　?、七^點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，若拋物線的對稱軸恰好過C點(diǎn)，試確定直線y＝－2x＋b的解析式.

　　26．已知拋物線y=(1-m)x²+4x-3開口向下，與x軸交于A(x₁,0)和B(x₂,0)兩點(diǎn)，其中x_l<x₂．

　　(1)求m的取值范圍；

　　(2)若x₁²+ x₂²=10，求拋物線的解析式，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線；

　　27．如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點(diǎn)A在y軸的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=2.

　?。?span>1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

　　（2）求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；

　　（3）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得S_△PBD=S_梯形ABCD。若存在，請求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

　　28．?dāng)?shù)學(xué)活動小組接受學(xué)校的一項任務(wù)：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為6０米的木柵欄圍成一塊生物園地，請設(shè)計一個方案使生物園的面積盡可能大。

(1)活動小組提交如圖的方案。設(shè)靠墻的一邊長為 x 米，則不靠墻的一邊長為(60－2x)米，面積y= (60－2x) x米²．當(dāng)x=15時，y_最大值 =450米²。

(2)機(jī)靈的小明想：如果改變生物園的形狀，圍成的面積會更大嗎？請你幫小明設(shè)計兩個方案，要求畫出圖形，算出面積大?。徊⒄页雒娣e最大的方案．