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兩個速度不同的人或車，慢的先行（領先）一段，然后快的去追，經(jīng)過一段時間快的追上慢的。這樣的問題一般稱為追及問題。有時，快的與慢的從同一地點同時出發(fā)，同向而行，經(jīng)過一段時間快的領先一段路程，我們也把它看作追及問題，因為這兩種情況都滿足
速度差×時間=追及（或領先的）路程 對于有三個以上人或車同時參與運動的行程問題，在分析其中某兩個的運動情況的同時，還要弄清此時此刻另外的人或車處于什么位置，他（它）與前兩者有什么關系。 分析復雜的行程問題時，最好畫線段圖幫助思考 理解并熟記下面的結論，對分析、解答復雜的行程問題是有好處的。 （3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同時間內，甲、乙一共行的 【例1】甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。如果兩人都按原定速度行進，那么4小時相遇；現(xiàn)在兩人都比原計劃每小時少走1千米，那么5小時相遇。A、B兩地相距多少千米？ 【分析】可以想象，如果甲、乙兩人以現(xiàn)在的速度（比原計劃每小時少走1千米）仍然走4小時，那么他們不能相遇，而是相隔一段路。這段路的長度是多少呢？就是兩人4小時一共比原來少行的路。由于以現(xiàn)在的速度行走，他們5小時相遇，換句話說，再行1小時，他們恰好共同行完這段相隔的路。這樣，就能求出他們現(xiàn)在的速度和了。 【解】1×4×2÷（5-4）×5=40（千米）
這道題屬于相遇問題，它的基本關系式是：速度和×時間=（相隔的）路程。但只有符合“同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過相同時間相遇”這樣的特點才能運用上面的關系式。不過，當出現(xiàn)“不同時出發(fā)”或“沒有相遇（而是還相隔一段路）”的情況時，應該通過轉化條件，然后應用上面的關系式。 【例2】小王、小張步行的速度分別是每小時4.8千米和 5.4千米。小李騎車的速度為每小時10.8千米。小王、小張從甲地到乙地，小李從乙地到甲地，他們三人同時出發(fā)，在小張與小李相遇5分鐘后，小王又與小李相遇。小李騎車從乙地到甲地需多長時間？ 【分析】為便于分析，畫出線段圖36-1： 圖中C點表示小張與小李相遇地點，D點表示他們相遇時小王所在地點。 根據(jù)題意，小王從D點、小李從C點同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過5分鐘相遇。因此，DC的長為 這段長度也是相同時間內，小張比小王多行的路程。這里的“相同時間”指從三人同時出發(fā)到小張與小李相遇所經(jīng)過的時間。這段時間為 1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分） 這就是說，小張行完AC這段路（也就是小李行完CB這段路）用了130分鐘，而小李的速度是小張速度的2（=10.8÷5.4）倍，所以小李行完AC這段路只需小張的一半時間（65分）。 【解】（留給讀者完成，答案是195分鐘。） 【分析】先畫出示意圖圖37-1如下（圖37-1中A點表示爸爸第一次追上小明的地方，B點表示他第二次追上小明的地方）。從圖37-1上看出，在相同時間（從第一次追上到第二次追上）內，小明從A點到B點，行完（8-4=）4千米；爸爸先從A點到家，再從家到B點，行完（8+4=）12千米?？梢姡职值乃俣仁切∶鞯模?2÷4=）3倍。從而，行完同樣多的路程（比如從家到A點），小明所用的時間就是爸爸的3倍。 由于小明從家出發(fā)8分鐘后爸爸去追他，并且在A點追上，所以，小明從家到A點比爸爸多用8分鐘。這樣可以算出，小明從家到A所用的時間為 8÷（3-1）×3=12（分） 【解】8÷（3-1）×3×X2=24（分） 【例4】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。甲車每小時行45千米，乙車每小時行36干米。相遇以后繼續(xù)以原來的速度前進，各自到達目的地后又立即返回，這樣不斷地往返行駛。已知途中第二次相遇地點與第三次相遇地點相距40千米。A、B兩地相距多遠？
公務員考試行測數(shù)量關系之行程問題解題原理及方法
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【分析】我們同樣還是畫出示意圖 37-2（圖 37-2中P、M、N分別為第一次、第二次、第三次相遇地點）： 設 AB兩地的距離為“1”。由甲、乙兩車的速度可以推知：在相同時 通過演示我們還可以知道，第二次相遇時，甲、乙兩車一共行完了3個全程（AB+BM+BA+AM）；第三次相遇時，它們一共行完了5個全程（AB+BA+AN+BA+AB+BN）。 下面，我們只要找出與“40千米”相對應的分率（也就是MN占全程的幾分之幾）。 【解】
我們來討論封閉線路的行程問題。 解決封閉路線中的行程問題，仍要抓住“路程=速度×時間”這個基本關系式，搞清路程、速度、時間三者之間的關系。 封閉路線中的行程問題，可以轉化為非封閉路線中的行程問題來解決。在求兩個沿封閉路線相向運動的人或物體相遇次數(shù)時，還可以借助圖示直觀地解決。 直線上的來回運動、鐘表上的時針分針夾角問題，實質上也是封閉路線中的行程問題。 【例5】甲、乙兩名同學在周長為300米圓形跑道上從同一地點同時背向練習跑步，甲每秒鐘跑3.5米，乙每秒鐘跑4米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點？ 【分析】要知道甲還需跑多少米才能回到出發(fā)點，實質上只要知道甲最后一次離開出發(fā)點又跑出了多少米。我們先來看看甲從一開始到與乙第十次相遇時共跑了多遠。不難知道，這段時間內甲、乙兩人共跑的路程是操場周長的10倍（300×10=3000米）。因為甲的速度為每秒鐘跑3.5米，乙的速度為每秒鐘跑4米，由上一講我們可以知道，這段時間內甲共行1400 知道甲還需行100（=300-200）米。 1400÷300=4（圈）……200（米） 300-200=100（米） 【例6】如圖38-1，A、B是圓的一條直徑的兩端，小張在A點，小王在B點，同時出發(fā)逆時針而行，第一周內，他們在C點第一次相遇，在D點第二次相遇。已知C點離A點80米，D點離B點60米。求這個圓的周長。 【分析】這是一個圓周上的追及問題。從一開始運動到第一次相遇，小張行了80米，小王行了“半個圓周長+80”米，也就是在相同的時間內，小王比小張多行了半個圓周長，然后，小張、小王又從C點同時開始前進，因為小王的速度比小張快，要第二次再相遇，只能是小王沿圓周比小張多跑一圈。從第一次相遇到第二次相遇小王比小張多走的路程（一個圓周長）是從開始到第一次相遇小王比小張多走的路程（半個圓周長）的2倍。也就是，前者所花的時間是后者的2倍。對于小張來說，從一開始到第一次相遇行了80米，從第一次相遇到第二次相遇就應該行160米，一共行了240米。這樣就可以知道半個圓周長是180（=240-60）米。 【解】（80+80×2-60）×2=360（米） 【例3】2點整以后，經(jīng)過多長時間時針與分鐘第一次垂直、第三次垂直？ 【分析】分針的速度比時針快，2點整時，分針在時針后面 2格，要使分針與時針第一次垂直，分針應在時針前面3（=12÷4）格。也就是說，這段時間內分針應比時針多走5格。而分針每小時走12格，時針每小時走1格。 每個小時內時針與分針重合一次垂直兩次。 時針與分針第三次垂直，分針應比時針多跑（5+12=）17格。所以要經(jīng) |
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