OC曲線...

zgb8046 2010-10-11

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什么是OC曲線

　　當用一個確定的抽檢方案對產品批進行檢查時，產品批被接收的概率是隨產品批的批不合格品率p變化而變化的，它們之間的關系可以用一條曲線來表示，這條曲線稱為抽樣特性曲線，簡稱為OC曲線。

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OC曲線的性質

　?。?）抽樣特性曲線和抽樣方案是一一對應關系，也就是說有一個抽樣方案就有對應的一條OC曲線；相反，有一條抽樣特性曲線，就有與之對應的一個抽檢方案。

　?。?） OC曲線是一條通過（0，1）和（1，0）兩點的連續(xù)曲線。

　　（3） OC曲線是一條嚴格單調下降的函數曲線，即對于p1L（p2）。

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OC曲線與（n|c）方案中參數的關系 ^[1]

　　由于OC曲線與抽樣方案是一一對應的，故改變方案中的參數必導致OC曲線發(fā)生變化。但如何變化呢？它們之間的變化有什么關系呢？下面分三種情況進行討論。

　?。?）保持n固定不變，令c變化，則如果c增大，則曲線向上變化，方案放寬；如果c減小，則曲線向下變形，方案加嚴。

　　（2）保持c不變，令n變化，則如果n增大，則曲線向下變形，方案加嚴；反之n減小，則曲線向上變形，方案放寬。

　?。?） n，c同時發(fā)生變化，則如果n增大而c減小時，方案加嚴；若n減小而c增大時，則方案放寬；若n和c 同時增大或減小時，對OC曲線的影響比較復雜，要看n和c的變化幅度各有多大，不能一概而論。如果n和c盡量減少時，則方案加嚴；對于n和c不同量變化的情況，只要適當選取它們各自的變化幅度，就能使方案在（0，pt）和（pt，1）這兩個區(qū)間的一個區(qū)間上加嚴，而另一個區(qū)間上放寬，這一點對我們是很有用的。

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百分比抽樣的不合理性^[1]

　　我國不少企業(yè)在抽樣檢查時仍沿用百分比抽檢法，所謂百分比抽檢法，就是不論產品的批量大小，都規(guī)定相同的判定數，而樣本也是按照相同的比例從產品批中抽取。即如果仍用c表示判定數，用k表示抽樣比例系數，則抽樣方案隨交檢批的批量變化而變化，可以表示為（kN|c）。通過OC曲線與抽樣方案變化的關系很容易弄清楚百分比抽檢的不合理性。因為，對一種產品進行質量檢查，不論交檢產品批的批量大小，都應采取寬嚴程度基本相同的方案。但是采用百分比抽檢時，不改變判定數c，只根據批量不同改變樣本容量n，因而對批量不同的產品批采用的方案的寬嚴程度明顯不同，批量大則嚴，批量小則寬，故很不合理。百分比抽檢實際是一種直覺的經驗做法，沒有科學依據，因此應注意糾正這種不合理的做法。

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抽檢方案優(yōu)劣的判別^[1]

　　既然改變參數，方案對應的OC曲線就隨之改變，其檢查效果也就不同，那么什么樣的方案檢查效果好，其OC曲線應具有什么形狀呢？下面就來討論這一問題。

（1）理想方案的特性曲線

　　在進行產品質量檢查時，總是首先對產品批不合格品率規(guī)定一個值p0來作為判斷標準，即當批不合格品率p≤p0時，產品批為合格，而當p>p0時，產品批為不合格。因此，理想的抽樣方案應當滿足：當p≤p0時，接收概率L（p）=1，當p>p0時，L（p）=0。其抽樣特性曲線為兩段水平線，如下圖所示：

理想方案實際是不存在的，因為，只有進行全數檢查且準確無誤才能達到這種境界，但檢查難以做到沒有錯檢或漏檢的，所以，理想方案只是理論上存在的。

（2）線性抽檢方案的OC曲線

　　所謂線性方案就是（1|0）方案，因為OC曲線是一條直線而得名的，如下圖所示，

　　由上圖可見，線性抽檢方案是從產品批中隨機地抽取1個產品進行檢查，若這個產品不合格，則判產品為批不合格品，若這個產品不合格，則判產品批不合格。這個方案的抽樣特性函數為：

因為它和理想方案的差距太大，所以，這種方案的檢查效果是很差的。

　　理想方案雖然不存在，但這并不妨礙把它作為評價抽檢方案優(yōu)劣的依據，一個抽檢方案的OC曲線和理想方案的OC曲線接近程度就是評價方案檢查效果的準則。為了衡量這種接近程度，通常是首先規(guī)定兩個參數p0和p1（p0<p1），p0是接收上限，即希望對p≤p0的產品批以盡可能高的概率接收；p1是拒收下限，即希望對 p≥p1的產品批以盡可能高的概率拒收。若記α=1-L（p0），β=L（p1），則可以通過這四個參數反映一個抽檢方案和理想方案的接近程度，當固定 p0，p1時，α、β越小的方案就越好；同理若對固定的α、β值，則p0和p1越接近越好；當α和β→0，p0→p1時，則抽檢方案就趨于理想方案。

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OC曲線案例分析

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案例一:用OC曲線對抽樣方案的評價^[2]

　　抽樣檢驗是質量管理的工作之一，也是檢驗產品質量的一種十分重要、經濟的手段。在對某型產品進行裝箱檢驗時感到檢驗規(guī)范中的抽樣方案一樣本量過大，檢驗成本過高，經與顧客代表協(xié)商，增大AQL值，減少樣本量，采用抽樣方案二，降低了檢驗成本。產品批量N=125，方案一為(n=20| $A c = 0, R e = 1$ ),方案二為(n=5| $A c = 0, R e = 1$ ),下面oc曲線對兩方案進行比較和評價。

　　一、接收概率與OC曲線(1)接收概率抽樣方案是實施抽樣檢驗的主要依據，計數抽樣方案包括樣本量力和判定數組 $A c$ 和 $R e$ ， $A c$ 是樣本中發(fā)現的不合格品數的上限值，R_e是下限值。設采用一次抽樣方案(n| $A c, R e$ )進行抽樣檢驗，從批中抽取包含力個單位產品的樣本，在這個樣本中包含的不合格品數實際上是一個隨機變量，用』滾示這個隨機變量。由于“X=1”、“X=2”、…直到“ $X = A c$ ”都可以判斷出接收，而這些事件是互不相容的。用 $P a (P)$ 表示當批不合格品率為p時抽樣方案的接收概率，則有：

　　 $P_a(P)=\sum_{d=0}^{A_c}P(X=d)$ 　　(1)

　　根據概率論知識可知，樣本中不合格品數唯一服從超幾何分布，接收概率可由下式給出：

　　 $P_a(P)=\sum_{d=0}^{A_c}P(X=d)=\sum_{d=0}^{A_c}H(d,n,N_P,N)=\sum_{d=0}^{A_c}\frac{C^d_{N_P}C^{n-d}_{N-N_P}}{C^n_N}$ 　　(2)

　　式中：N_p——批中總的不合格品數。

　　公式(2)計算起來較復雜，常采用二項分布和泊松分布近似計算法以簡化運算。實際上當Ⅳ相對于力較大(如N≥10n)時，這三種公式的計算結果比較接近[1]。國家標準GB／T 2828.1-2003《技術抽樣檢驗程序第1部分：按接受質量限(AQL)檢索的逐批檢驗抽樣計劃》標準中對方案接收概率的計算，均采用泊松分布或二項分布計算公式計算[2]。當AQL>10.O時，按泊松分布計算，適用于每百單位產品不合格數的檢驗，其公式為：

　　 $P_a(P)=\sum_{d=0}^{A_c}(np)^de^(-np)/d!$ 　　(3)

　　當AQL≤10.0時，按二項分布計算，適用于不合格品百分數檢驗，其公式為：

　　 $P_a(P)=\sum_{d=0}^{A_c}C^d_n(P)^d(1-P)^{n-d}$ 　　(4)

　　(2)OC曲線

　　通常稱式(1)所給定的函數P_a(P)為抽樣方案(n| $A c, R e$ ))的抽檢特性函數，簡稱Oc函數。如果以p為橫坐標，以 $P a (P)$ 為縱坐標，則P和P_a(P)構成的一系列點所連成的曲線就是抽樣檢驗特性曲線(The Operating Characteristic Curve)，簡稱OC曲線。每個抽樣方案，都有它特定的OC曲線，在實際檢驗中，提交批的質量水平是不知道的，0C曲線形象地顯示了在任一假定的質量水平(即不合格品百分數)下批被接收的概率。OC曲線對于正確選取、使用抽樣方案及評價抽樣方案都有很重要的作用。

　　二、OC曲線影響因素分析根據(2)式，一次抽樣方案的OC曲線與參數Ⅳ、力、么，有關，這些參數的不同組合，就得到不同形狀的OC曲線。下面分析N、n、 $A c$ 對OC曲線的影響。

　　(1)批量N對OC曲線的影響

　　從上圖中A、B、C三種抽樣方案的OC曲線可以看出，N的變化對OC曲線的影響很小。當Ⅳ相對力很大時(n/N≤0.1)時，不考慮N的影響所以，通常把一次抽樣檢驗方案只寫出(n, $A c$ )就可以了。

　　(2)接收判定數 $A c$ 對OC曲線的影響

　　從上圖可以看出，當抽樣方案中的Ⅳ和刀確定， $A c$ 由大變小時，0C曲線由右向左移動，而且傾斜度變大，說明方案的檢驗特性也在變化。當處于同樣的P值時， $A c$ 值減少使接收概率P_a(p)降低，這就意味著方案變嚴。反之若 $A c$ 值增加，接收概率 $P a (p)$ 也在增加，則抽樣檢驗方案放寬。

　　另外，曲線由右向左移動并非是平行移動，曲線越向左移就變得更陡，使接收概率的變化率增大，也就使靈敏度增加。

　　(3)樣本量n對OC曲線的影響

　　從上圖可以看出，當方案的N和 $A c$ 確定，n增加使OC曲線由右向左移動，意味著方案變嚴。反之n減小，則曲線向上變形，方案放寬。

　　(4)樣本量力和接收數A，同時發(fā)生變化時對OC曲線的影響。

　　N、 $A c$ ，同時發(fā)生變化，則如果n增大而 $A c$ 。減小時，方案加嚴；若n減小而 $A c$ ，增大時，則方案放寬；若n和 $A c$ ，同時增大或減小時，對OC曲線的影響比較復雜，要看n和 $A c$ 的變化幅度各有多大，不能一概而論。如果n和 $A c$ ，盡量減少時，則方案加嚴；對于n和 $A c$ 不同量變化的情況，只要適當選取它們各自的變化幅度，就能使方案在(0, $P t$ )和( $P t$ ,1)這兩個區(qū)間的一個區(qū)間上加嚴，而另一個區(qū)問上放寬，這一點對我們是很有用的。

　　三、抽樣方案優(yōu)劣的判別

　　既然改變參數，方案對應的OC曲線就隨之改變，其檢查效果也就不同，那么什么樣的方案檢查效果好，其OC曲線應具有什么形狀呢?下面就來討論這一問題。

　　(1)理想方案的OC曲線

　　在進行產品質量檢查時，總是首先對產品批不合格品率規(guī)定一個值 $P 0$ (即AQL)來作為判斷標準，即當批不合格品率p≤ $P 0$ 時，產品批為合格，而當p>P_0時，產品批為不合格。因此，理想的抽樣方案應當滿足：當p≤ $P 0$ 時，接收概率 $P a (p) = 1$ ，當 $p > P 0$ 時， $P a (p) = 0$ 。其抽樣特性曲線為兩段水平線，見下圖。

　　(2)抽樣方案的辨別率

　　我們希望實際的OC曲線應盡可能接近于理想的OC曲線，才具有相當好的辨別力，使質量好的批能以高概率接收，對質量差的批應以高概率拒收。一個抽檢方案的OC曲線和理想方案的OC曲線接近程度就是評價方案檢查效果的準則。為了衡量這種接近程度，通常是首先規(guī)定兩個參數 $P 0$ 和 $P 1 (P 0 < P 1)$ ， $P 0$ 是接收上限，即希望對p≤P_0的產品批以盡可能高的概率(一般認為大于95％)接收； $P 1$ 是拒收下限，即希望對p≥ $P 0$ 的產品批以盡可能低的概率(一般認為小于10％)接收。常用辨別率伽定量地衡量某個抽樣方案的即抽樣方案區(qū)分好批與壞批的綜合能力，p足值越小，方案的鑒別力越高，說明不合格品率一旦增高，接收概率將迅速降低。OR表達式如下：

　　 $OR=\frac{P_{0.10}}{P_{0.95}}$ 　　(5)

　　式中： $P 0.10$ ——接收概率為0.10時對應的質量水平；

　　 $P 0.95$ ——接收概率為0.95時對應的質量水平。

　　(3)抽樣檢驗的兩類風險

　　抽樣檢驗是一個通過部分(樣本)去判斷總體(批)的統(tǒng)計推斷過程，因此就可能出現兩類錯誤判斷，即可能把合格的產品批錯判為不合格的產品批，這種錯判稱為第一類錯誤；還有可能把不合格的產品批判為合格品，后一類錯誤稱為第二類錯誤。

　　若規(guī)定p≤ $P 0$ 的產品批為質量好的產品批，p≥P_1的產品批為質量很差的產品批。由于存在著兩類錯判，所以p≤ $P 0$ 的產品批不能排除拒收的可能性，這一可能性的大小用 $α = 1 - P a (P 0)$ 來表示，稱為第一類錯判率，因這類錯判會給生產方帶來損失，口又稱為生產方風險。同樣p≥P_1的產品批不能排除接收的可能性，這種可能性的大小用 $β = 1 - P a (P 1)$ 表示，稱為第二類錯判率，由于第二類錯判率表示給使用方帶來的損失的大小，β又稱為使用方風險。兩種誤判的可能性可以從抽查特性曲線上看出來，如下圖所示。

　　 $P 0$ 、 $P 1$ 、α和β都是抽樣檢查的重要參數，對一個確定方案，可以通過這幾個參數去進行分析評價。若記 $α = 1 - P a (P 0)$ , $β = 1 - P a (P 1)$ ，則可以通過這四個參數反映一個抽檢方案和理想方案的接近程度，當固定 $P 0$ 、 $P 1$ 時，α、β越小的方案就越好；同理若對固定的α、β值，則 $P 0$ 和 $P 1$ 越接近越好，即 $P 1 / P 0$ 越小越好；當α和 $\beta\to0$ , $P_0\to P_1$ ，則抽檢方案就趨于理想方案。

　　四、用0C曲線對兩抽樣方案的評價

　　(1)OC曲線的比較

　　某型產品包裝檢驗兩抽樣方案中產品批量N=125，檢驗水平為S-3，方案一AQL=0.65，方案二AQL=2.5。利用公式(4)的OC函數，分別繪制兩方案的OC曲線，見下圖。

　　方案一：n=20； $A c = O$ ， $R e = l$ 。

　　方案二：n=5； $A c = O$ ， $R e = 1$ 。

　　從圖6兩條曲線可以看出，在同一質量水平p值下，方案一對應的接收概率要小于方案二對應的接收概率，可以說方案一比方案二嚴格。這與前面提到的樣本量對OC曲線的影響分析是一致的，即接收數 $A c$ 不變，樣本量力增加，曲線變陡，方案變嚴格。這里所說的嚴是對生產方而言，但對使用方是有利的。

　　(2)辨別力的比較從OC曲線上還可以求得接收概率為0．1和0.95時，分別對應的質量水平P_{0.10}和P_{0.95},根據公式(5)計算出兩方案的OR值，結果如下:

　　 $OR_1=\frac{P_{0.10}}{P_{0.95}}=\frac{0.109}{0.0256}=42$

　　 $OR_2=\frac{P_{0.10}}{P_{0.95}}=\frac{0.369}{0.01021}=36.1$

　　由于 $O R 1 < O R 2$ ,因此可以說方案二的鑒別力高于方案一。

　　(3)兩種風險的比較設 $P 0 = 0.0 l$ ， $P 1 = 0.1$ ，兩方案的雙方風險分別見表l。

　　兩方案α與β的比較

方案	n	P_a{P_0}α	β
1	20	0.82	$α 1$ =0.18	$β 1$ =0.12
2	5	0.95	$α 2$ =0.05	$β 2 = 0.59$

　　從理論上講，當固定 $P 0$ 、 $P 1$ 時，α、β越小的方案就越好。但從數理統(tǒng)計角度看，β很小時，樣本量n將非常大。因此，使用方不能強求α=β或β≤α。使用方承擔的真實風險完全依賴于提供產品的質量，當有足夠理由證明產品質量很好時，使用方承擔的風險是很小的。因此，使用方應把注意力放在生產方的質量管理體系的功能上，以減小使用方風險。

　　對于逐批連續(xù)生產，是在生產方已具備了成批生產合格產品的情況下投產的，所以制定抽樣方案時優(yōu)先考慮保護生產方^[3]。

　　根據以上原則， $α 2 < α 1$ ，因此，應選擇方案二。

通過對某型產品包裝檢驗兩種抽樣方案OC曲線的對比，可以看出方案一比方案二嚴格，對生產方不利；

通過對兩方案鑒別力的計算，方案二的鑒別力高于方案一；

從保護生產方的角度出發(fā)，我們應該選取α小的方案，即方案二；

O C曲線是建立在概率論與數理統(tǒng)計基礎之上的抽樣檢驗特性曲線，利用它可以較好地確定合格質量水平(AQL)、生產方風險、消費方風險、檢驗水平；

抽樣方案的選擇實際上是買賣雙方質量損失和經濟性的平衡。根據OC曲線的特性，各單位可以根據自身產品的質量水平，確定合理的抽樣方案，使得產品批能以高概率被接收，從而降低生產方風險，提高生產效益；同時根據使用方提出的抽樣方案，加強對產品質量的監(jiān)督和檢驗，調整生產，從而達到生產方和使用方雙贏的目的。

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參考文獻

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 洪國芳.《生產管理學》.計數抽樣檢查的一般原理
↑ 程萬影,徐毅,郝雪穎.用OC曲線對抽樣方案的評價[J].國防技術基礎,2008,(5)
↑ 肖惠.GB／T2828.1-2OO3《(計數抽樣檢驗程序第1部分:按接收質量限(AQL)檢索的逐批檢驗抽樣計劃》理解與實施[M].北京:中國標準出版社,2003