宣州區(qū)貍橋鎮(zhèn)昝村中學  汪浩

一、教學目標

1. 知識與技能目標

借助大量重復試驗去感悟試驗頻率穩(wěn)定于理論概率．能用試驗的方法估計一些復雜的隨機事件發(fā)生的概率；

2.方法與過程目標

①結合具體情境，初步感受統(tǒng)計推斷的合理性，進一步體會概率與統(tǒng)計之間的關系。

②經(jīng)歷試驗、統(tǒng)計等活動過程，在活動中在活動中促進他們對知識的學習,進一步發(fā)展學生合作交流的意識和能力.

3．情感態(tài)度價值觀

培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度，提高自身的數(shù)學交流水平，增強與人合作的精神和解決實際問題的能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.發(fā)展辯證思維能力.

二、教學重難點

教學重點:能用試驗方法估計一些復雜的隨機事件發(fā)生的概率.

教學難點:借助大量的重復試驗去感悟試驗頻率穩(wěn)定于理論概率.

三、教學過程

第一環(huán)節(jié)創(chuàng)設問題情境，引入新課

教具準備:大頭針，圖釘，多媒體演示

通過問題串的形式引入新課：

問題：（1）拋圖釘時，圖釘落地有兩種情況，一種是針尖向下（如圖一所示）一種是釘帽向下（如圖二所示），能借助書狀圖或列表分別算出它們的概率嗎？

（2）擲一枚圖釘，有幾種結果?它們是等可能的嗎?

（3）怎樣求這一事件的概率呢?

通過問題的形式向?qū)W生明晰：

（1）用樹狀圖或列表格的方法計算隨機事件的概率．要求試驗出現(xiàn)的各種結果是等可能的，并且試驗出現(xiàn)的結果必須是有限個．

（2）圖釘落地有“朝天”和“傾斜”兩個可能結果，但這兩個可能的結果不是等可能的，也無法知道它們的可能性各是多少.

（3）一個試驗，雖然結果有有限個，但各個結果出現(xiàn)的可能性不相等，也無法知道它們的可能性各是多少，所以不能用樹狀圖或列表格的方法計算隨機事件的概率．只能用用試驗的方法求出其頻率估計其概率.． 因為我們知道：當試驗次數(shù)很大時，試驗頻率穩(wěn)定于理論概率，并可據(jù)此估計某一事件發(fā)生的概率． 

第二環(huán)節(jié)：小組活動探究

活動內(nèi)容1：從一定高度落下的圖釘，落地后可能釘尖著地，也可能釘帽著地．你估計哪種事件發(fā)生的概率大?

活動目的：利用“當試驗次數(shù)較大時，試驗頻率穩(wěn)定于理論概率”來估計某一隨機事件發(fā)生的概率．

活動方式：小組合作交流，全班匯總試驗數(shù)據(jù)，交流研討．

活動工具：形狀、大小完全相同的圖釘．

活動步驟：1．分組：每組4人．

2．每組每人做20次試驗，根據(jù)試驗結果，填寫下表的表格：

3．根據(jù)上表你認為哪種情況的頻率較大?   

4．分別匯總本小組其中兩人、三人、四人、五人的試驗數(shù)據(jù)，相應得到試驗40次、60次、80次、100次時釘帽著地的頻率，填寫下表，并繪制折線統(tǒng)計圖．

5．匯總?cè)喔餍〗M其中一個組．兩個組、三個組、四個組……的試驗數(shù)據(jù)，相應得到試驗100次、200次、300次、400次……時釘帽著地的頻率，并繪制折線統(tǒng)計圖．

6．由折線統(tǒng)計圖，估計釘帽著地的概率．

7．將圖釘擲200次，每擲20次，統(tǒng)計一下兩個組同學“釘帽著地”這一結果出現(xiàn)的次數(shù)，并算出相應的頻率，如下表．將統(tǒng)計數(shù)據(jù)(“釘帽著地”的頻率)畫成折線統(tǒng)計圖，看起來更直觀．

從圖中可發(fā)現(xiàn)，“頂帽著地”的頻率開始“擺動”得很厲害，隨著試驗次數(shù)的增加，這個頻率就開始比較穩(wěn)定了。不同的試驗情況（圖釘?shù)男吞?、離地的高度等）可能會影響試驗的數(shù)據(jù)，因此可能在不同的地區(qū)、不同的學生，做這個試驗會得到不同的“穩(wěn)定值”。筆者曾在教學活動中完成這個過程，得到頻率在56.5％左右擺動．

活動效果及注意事項：

1．注意學生的安全.

2．①圖釘必須從同一個高度自由落下，保證著地時的隨機性和試驗的可重復操作性；

②組內(nèi)同學合作時要進行適當?shù)姆止ぃ?/p>

③體現(xiàn)學生的自主性，試驗活動以及試驗數(shù)據(jù)的匯總等都可以由學生白行組織完成；④教師認真評價學生合作交流的意識和能力，學生的思維水平，學生的動手能力等)

第三環(huán)節(jié)：閱讀拓寬

活動內(nèi)容：閱讀相關文章，做投針式驗.

活動目的：1.通過學讀使學生感受任何一個發(fā)現(xiàn)都凝聚著辛勤的勞動和汗水，培養(yǎng)學生吃苦耐勞精神；給學生一定的拓展空間，讓學生體會到有些高深的數(shù)學中蘊涵的思想極其樸素，從而激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣．

2. 利用“當試驗次數(shù)較大時，試驗頻率穩(wěn)定于理論概率”，并據(jù)此估計針與平行線相交的概率．

活動方式：小組交流，全班研討的方法．

活動過程：

利用數(shù)學史上著名的投針試驗引入問題：

平面上畫著一些平行線，相鄰的兩條平行線之間的距離為a，向此平面任投一長度為l(l<a)的針，該針可能與其中某一條平行線相交，也可能與它們都不相交．能通過列表或畫樹狀圖求出該針與平行線相交的概率嗎?

通過“圖釘試驗”，學生可以初步得到，生] 由于相交和不相交的可能性不相同，因此這個事件的概率也不能列表或畫樹狀圖求出該針與平行線相交的概率．但可以利用試驗，依據(jù)“當試驗次數(shù)較大時，試驗頻率穩(wěn)定于理論概率”來估計該針與平行線相交的概率．

學生活動，步驟如下：

1．分組，三人一組．（一人統(tǒng)計）

2.取一張白紙，在上面畫一組平行線．它們之間的距離為2厘米，另外準備一根1厘米長的針．在紙下面墊一層柔軟的東西，使針落在紙面上時不會彈跳起來．

通過試驗，得到數(shù)據(jù)后，請學生利用計算器計算試驗總次數(shù)除以直線與平行線相交的次數(shù)，學生會將發(fā)現(xiàn)商好像是π的一個近似值．而且投擲次數(shù)越多，所得到的商與π越接近．

有了這一感性認識后，給學生提供一些關于該試驗的歷史數(shù)據(jù)。

請同學們打開書閱讀“讀一讀”——投針試驗．這篇短文介紹了關于投針試驗的一些歷史資料，以及其概率與π之間的關系，據(jù)此獲得一種估計π的值的方法．并將其引申為現(xiàn)在廣泛使用的蒙特卡洛方法，旨在給學生一定的拓展空間，讓學生體會到有些高深的數(shù)學中蘊涵的思想極其樸素，從而激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣．

如果班級學生整體情況比較好，可能會有學生提問：“把總的次數(shù)(即相交的與不相交的次數(shù)之和)除以相交的次數(shù)，得到的商是圓周率的近似值，投擲次數(shù)越多，得到π的近似值越精確，為什么會這樣呢?”

教師可以有選擇性的講解以下內(nèi)容：（講解的方式不一定在課堂，不一定是面向全體同學，也可以僅向有需要的學生提供以下的閱讀資料或“拓展資源”中的《有關的投針試驗的閱讀文章》）

當針與直線相交時，必有其上的某1毫米處相交．而每1毫米最可能與直線相交的機會是相等的，它的次數(shù)應為全針與直線相交的最可能次數(shù)k的 ．如果針上某一段長n毫米，那么這一段與直線最可能相交的次數(shù)應為 ，即最可能的相交次數(shù)和針的長度成正比．

需要指出的是，這個最可能的相交次數(shù)只與針的長度成正比，而與針的形狀無關．例如，我們將10毫米的針彎成兩段，一段長x毫米，另一段長為(10-x)毫米，那么這兩段的最可能與直線相交的次數(shù)分別為 和 .這樣，全針的最可能相交次數(shù)仍為 ＝k，即這個最可能相交次數(shù)與針的形狀無關．當然，將針的形狀彎成某種形狀后，有時可能在針的某兒處都和直線相交，這時應把每一個交點都記作相交一次．

現(xiàn)在將針彎曲成一個圓形．假定這時的針的粗細仍是均勻的，且圓的直徑等于20毫米，那么每投一次圓環(huán)總能和直線相交于兩點(正好和兩條直線相切也記作兩個交點)．投擲n次，相交次數(shù)為2n次．對于10毫米的針，它的最可能相交次數(shù)是k次．由于圓環(huán)的長是π·20毫米，等于針長的2π倍，所以圓環(huán)相交次數(shù)應是針的最可能的相交次數(shù)的2π倍，即2n=2π·k，

活動效果及注意事項：

學生好奇心強,但是目的性不強,教師注意引導學生考慮試驗的目的是什么,使試驗處在探究的氛圍中.

注意:1.每組學生都確定相同的L和a，保證試驗結果統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以匯總．

2.在試驗過程中，有時針與線是否相交較難判斷，學生可能為此發(fā)生一些爭執(zhí)，教師可以適當?shù)丶右灾笇В缃ㄗh學生忽略這次試驗或者認為相交、不相交各計半次，等等．避免學生過多地停留于此.

3．每組至少完成100次試驗，分別記錄下其中相交和不相交的次數(shù)．

4．統(tǒng)計全班的試驗數(shù)據(jù)，估計針與平行線相交的概率．

第四環(huán)節(jié)：課堂小結

這節(jié)課我們學會了用試驗的方法估計一些復雜隨機事件發(fā)生的概率，并親自體驗到了“當試驗次數(shù)較大時，試驗頻率穩(wěn)定于理論概率，并可據(jù)此估計某一事件發(fā)生的概率”．經(jīng)歷試驗、統(tǒng)計等活動過程． 

第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1．習題6．4

2．繼續(xù)投針試驗，加大投針試驗次數(shù)估算π的值．

3．課外活動與探究

隨便說出3個正數(shù)，以這3個數(shù)為邊長一定能圍成一個三角形嗎?一定能圍成一個鈍角三角形(其中最大邊的平方大于另兩邊的平方和)嗎?估計能圍成一個鈍角三角形的概率． 

四、教學反思

投針試驗是一節(jié)活動課,因而要注意學生的自主性，試驗活動和數(shù)據(jù)的匯總都可以交給給學生去做,力圖讓學生通過親身的試驗,統(tǒng)計過程獲得用試驗的方法估計復雜事件發(fā)生的概率的體驗.