摘要：利用一緩和曲線算例，通過數(shù)學分析，推導出緩和曲線逐樁坐標計算公式，此公式可作為道路測設中的范例來運用，有很強的指導意義。

關(guān)鍵詞：緩和曲線、公式、逐樁坐標

一、 引言

道路建設中，由于受地形或地質(zhì)影響，經(jīng)常需要改變線路方向，為滿足行車要求，往往要用曲線把兩條直線連接起來。曲線的構(gòu)成形式無外乎圓曲線和緩和曲線，本文以河北省沿海高速某曲線段為例推導出緩和曲線的逐樁坐標計算公式，以方便圖紙的審核，滿足施工放樣的需求。本公式具有良好的操作性，方便施工、提高精度，可作為道路測設中的范例運用。

二、公式推導

1 、實例數(shù)據(jù)

河北省沿海高速公路一緩和曲線（如圖）： AB 段為緩和曲線段， A 為 ZH 點， B 為 HY 點， R_B=800m ； A 點里程為 NK0+080 ，切線方位角為 θ_A=100 ° 00 ′ 24.1 ″，坐標為 X_A=4355189.493,Y_A=476976.267 ； B 點里程為 NK0+158.125 ，切線方位角為 θ_B=102 ° 48 ′ 15.6 ″，坐標為 X_B=4355174.669 ， Y_B=477052.964 ，推求此曲線段內(nèi)任意點坐標。

2 、公式推導及實例計算

方法一：弦線偏角法

1 ）公式推導

由坐標增量的計算方法我們不難理解，求一點坐標可以根據(jù)其所在直線的方位角以及直線上另一點的坐標和距待求點的距離。所以我們可以利用 ZH 點，只要知道待求點距 ZH 點的距離（弦長 S ）和此弦與 ZH 點切線方位角的夾角（轉(zhuǎn)角 a ），即可求出該點坐標。

根據(jù)回旋線方程 C=RL ，用 B 點數(shù)據(jù)推導出回旋線參數(shù)：

C=RL_S=800*78.125=62500 （ L_S 為 B 點至 ZH 點的距離）

設待求點距 ZH 點距離為 L

因回旋線上任意點的偏角 β₀=L²/2RL_S, 且轉(zhuǎn)角 a=β₀/3 ，

可得該點轉(zhuǎn)角 a 。（曲線左轉(zhuǎn)時 a 代負值）。

根據(jù)緩和曲線上的弧弦關(guān)系 S=L-L⁵/90R²L_S² ，

可以求出待求點至 ZH 點的弦長。

然后我們利用坐標增量計算公式可以推導出緩和曲線任意點坐標計算公式：

X=X_A+S*cos （ θ_A+a ） =4355189.493+ （ L-L⁵/90R²L_S² ） *cos （ θ_A+L²/6RL_S ）

Y=Y_A+S*sin （ θ_A+a ） =476976.267+ （ L-L⁵/90R²L_S² ） * sin （ θ_A+L²/6RL_S ）

式中 θ_A=100 ° 0 ′ 24.1 ″

2 ）實例計算

現(xiàn)在我們利用此公式計算樁號為 NK0+140 的坐標

第一步，求出 L=140-80=60 米

第二步，求出 a=180L²/6 π RL_S=0 ° 33 ′ 00.14 ″

第三步，求出 S=L-L⁵/90R²L_S²=60-60⁵/ （ 90*800²*78.125² ） =59.998

第四步：將 a ， S 值代入緩和曲線計算公式，可求出樁號為 NK0+160 點的坐標為：

X=4355178.501 ， Y=477035.249 。

同理，我們可求出其它樁號的坐標。

方法二：坐標轉(zhuǎn)換法

1 ）公式推導

首先我們建立坐標系，以 ZH 點為坐標原點，其切線方向為 X 軸，過該點的半徑方向為 Y 軸（如圖）。根據(jù)緩和曲線參數(shù)方程：

x=L-L^5/40R²L_S² ；

y=L³/6RL_S

計算出曲線上各點在此坐標系下的坐標（ x ， y ）。

然后利用坐標轉(zhuǎn)換公式

X=X_A+xco-,ysina

Y=Y_A+xsina+ycosa

將 (x,y) 代入該式，即可求出緩和曲線上各點的坐標計算公式：

X=4355189.493+ （ L-L^5/40R²L_S² ） cosθ_A - （ L³/6RL_S ） sinθ_A ；

Y=476976.267+ （ L-L^5/40R²L_S² ） sinθ_A + （ L³/6RL_S ） cosθ_A 。

式中 θ_A=100 ° 0 ′ 24.1 ″

2 ）實例計算

現(xiàn)利用此公式計算樁號為 NK0+140 的坐標。

第一步：求出 L=140-80=60 米

第二步：求出該點在新坐標系下的坐標 x=59.995 ； y=0.576 。

第三步：將 L 、 x 、 y 的值代入公式可得 NK0+140 的坐標為：

X=4355178.501 ， Y=477035.249 。

同理可計算出曲線上其他對應樁號的坐標：

NK0+100 ： X=4355185.997 ； Y=476995.959 。

NK0+120 ： X=4355182.375 ； Y=477015.628 。

為提高計算結(jié)果的準確性，提高工作效率和減輕計算的工作量，在實際應用中可以配合電子計算器使用，以下是 CASIO4800P 計算器計算緩和曲線的公式：

Lbl 0:{EG}:A “ X0 ” ：B “ Y0 ” ：C “ C0 ” ：D “ 1/R1 ” ：E “ 1/R2 ” ：F “ DK1 ” ：G “ DK2 ”

Lbl 1:{HOR}:H “ DKi”:O “ DL”:R”DR”:H>G ＝＞ Goto 2 ◣

P= （ E-D ） /Abs(G-F):Q= Abs(H-F):I=P*Q

J=C+(I+2*D)*Q*90/ π◢

M=C+(I/4+2*D)*Q*45/2 π :N=C+(3*I/4+2*D)*Q*135/2/ π :K=C+(I/2+2*D)*Q*45/ π

X=A+Q*(cos C+4*( cos M + cos N)+2* cos K+ cos J)/12 ◢

Y=B+Q*(sinC+4*(sin M + sin N)+2* sin K+ sin J)/12 ◢

Goto 1 ◣

說明： A 為緩和曲線起點處的縱坐標（ X 坐標）；

B 為緩和曲線起點處的橫坐標（ Y 坐標）；

C 為緩和曲線起點處的切線方位角；

D 為緩和曲線起點處的曲率半徑；

E 為緩和曲線終點處的曲率半徑；

F 為緩和曲線起點處的里程；

G 為緩和曲線終點處的里程；

H 為緩和曲線中所要放樣點處的里程；

注意事項： D 和 E 值分別為該緩和曲線前后兩段曲線元半徑的倒數(shù)（即 1 / 半徑），特別需要強調(diào)的是，當曲線右轉(zhuǎn)的時候曲率半徑輸入時為正值，左轉(zhuǎn)的時候輸入時為負值， ZH 點的半徑輸“ 0 ”。

三、緩和曲線逐樁坐標計算公式應用

利用以上方法計算出對應樁號的坐標值，與圖紙給出的數(shù)值相比較，看兩者是否一致，以達到對圖紙審核的目的。在施工過程中，利用此方法可以提高工作效率和精度，在設計圖紙?zhí)峁┑狞c坐標不能滿足實際要求時，可以計算出任意點的坐標值來解決實際問題，此計算方法在施工放樣等道路測設中起到一定作用。

四、結(jié)語

在沿海高速公路的道路測設中運用此方法，提高了圖紙復核的速度，對現(xiàn)場的施工放樣和復核施工人員的測量資料都起到了一定的作用，通過實踐驗證了此方法在道路測設中有較強的實用價值，值得推廣。