·雙曲線的第一定義
數(shù)學(xué)上指一動點(diǎn)移動于一個平面上，與平面上兩個定點(diǎn)F1,F2的
距離之差的
絕對值始終為一定值2a(2a小于F1和F2之間的距離即2a<2c）時所成的
軌跡叫做
雙曲線(Hyperbola)。兩個定點(diǎn)F1,F2叫做雙曲線的左，右焦點(diǎn)(focus)。兩焦點(diǎn)的距離叫焦距，長度為2c。其中2a在坐標(biāo)軸上的端點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，c^2=a^2+b^2 (a=長半軸，b=短半軸）
·雙曲線的第二定義
1.文字語言定義
平面內(nèi)一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)與一條定
直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)。定點(diǎn)是雙曲線的
焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的
準(zhǔn)線,常數(shù)e是雙曲線的
離心率。
2.集合語言定義
設(shè) 雙曲線上有一動點(diǎn)M,定點(diǎn)F,點(diǎn)M到定直線距離為d,
這時稱集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的點(diǎn)集是雙曲線.
注意:定點(diǎn)F要在定直線外 且 比值大于1.
3.標(biāo)準(zhǔn)方程
設(shè) 動點(diǎn)M(x,y),定點(diǎn)F(c,0),點(diǎn)M到定直線l:x=a^2/c的距離為d,
則由 |MF|/d=e>1.
推導(dǎo)出的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
這是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.
而中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:
(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.
·雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
1、軌跡上一點(diǎn)的取值范圍：x≥a,x≤-a（焦點(diǎn)在x軸上）或者y≥a,y≤-a（焦點(diǎn)在y軸上）。
2、對稱性：關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對稱。
3、頂點(diǎn)：A(-a,0)， A＇(a,0)。同時 AA＇叫做雙曲線的
實(shí)軸且∣AA＇│=2a.
B(0,-b)， B＇(0,b)。同時 BB＇叫做雙曲線的虛軸且│BB＇│=2b.
4、漸近線：
焦點(diǎn)在x軸：y=±(b/a)x.
焦點(diǎn)在y軸：y=±(a/b)x. 圓錐曲線ρ=ep/1-ecosθ當(dāng)e>1時，表示雙曲線。其中p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，θ為弦與X軸夾角
令1-ecosθ=0可以求出θ，這個就是漸近線的傾角。θ=arccos（1/e）
令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e
令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e
這兩個x是雙曲線定點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
求出他們的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（雙曲線中心橫坐標(biāo)）
x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
?。ㄗ⒁饣喴幌拢?
直線ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
是雙曲線一條對稱軸，注意是不與曲線相交的對稱軸。
將這條直線順時針旋轉(zhuǎn)PI/2-arccos（1/e）角度后就得到漸近線方程，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角度是θ’
則θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
則θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
帶入上式：
ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
現(xiàn)在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
5、離心率：
第一定義： e=c/a 且e∈（1，+∞).
第二定義：雙曲線上的一點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離│PF│ 與 點(diǎn)P到定直線(相應(yīng)準(zhǔn)線)的距離d 的比等于雙曲線的離心率e.
d點(diǎn)（│PF│）/d線（點(diǎn)P到定直線(相應(yīng)準(zhǔn)線)的距離）=e
6、雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點(diǎn)P(x,y)到焦點(diǎn)距離）
右焦半徑：r=│ex-a│
左焦半徑：r=│ex+a│
7、等軸雙曲線
一雙曲線的實(shí)軸與虛軸長相等 即：2a=2b 且 e=√2
8、共軛雙曲線
雙曲線S＇的實(shí)軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S＇的虛軸是雙曲線S的實(shí)軸時，稱雙曲線S＇與雙曲線S為共軛雙曲線。
幾何表達(dá)：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
特點(diǎn)：（1）共漸近線
?。?）焦距相等
?。?）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于1
9、準(zhǔn)線： 焦點(diǎn)在x軸上：x=±a^2/c
焦點(diǎn)在y軸上：y=±a^2/c
10、通徑長：（圓錐曲線（除圓外）中，過焦點(diǎn)并垂直于軸的弦）
d=2b^2/a
11、過焦點(diǎn)的弦長公式：
d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，θ為弦與X軸夾角]
12、弦長公式：
d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推導(dǎo)如下：
由 直線的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
分別代入兩點(diǎn)間的距離公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)
雙曲線的概念
把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？
1．簡單實(shí)驗(yàn)(邊演示、邊說明)
如圖2-23，定點(diǎn)F1、F2是兩個按釘，MN是一個細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過套管，點(diǎn)M移動時，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支．
注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線．
2．設(shè)問
問題1：定點(diǎn)F1、F2與動點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？
請學(xué)生回答，不能．強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”．
問題2：|MF1|與|MF2|哪個大？
請學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時，|MF1|＞|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時，|MF1|＜|MF2|．
問題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？
請學(xué)生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||．
問題4：這個常數(shù)是否會大于等于|F1F2|？
請學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零．當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)＞|F1F2|時，無軌跡．
3．定義
在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：
平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距．
教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記．
(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
現(xiàn)在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)．
標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：
(1)建系設(shè)點(diǎn)
取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)
建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)．
(2)點(diǎn)的集合
由定義可知，雙曲線就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代數(shù)方程
(4)化簡方程(由學(xué)生演板)
將這個方程移項(xiàng)，兩邊平方得：
化簡得：
兩邊再平方，整理得：
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．)
由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．
設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：
b2x2-a2y2=a2b2．
這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)：
教師指出：
(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上．
(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．
(四)練習(xí)與例題
1．求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
焦點(diǎn)F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；
3．已知兩點(diǎn)F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點(diǎn)的軌跡方程．如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會出現(xiàn)什么情況？
由教師講解：
按定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．
因?yàn)?a=12，2c=10，且2a＞2c．
所以動點(diǎn)無軌跡．
(五)小結(jié)
1．定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．
3．圖形(見圖2-25)：
4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．
5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2．
五、布置作業(yè)
1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過點(diǎn)A(-5，2)；
3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)．
作業(yè)答案：
2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1
·雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)公式與反比例函數(shù)
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函數(shù)確實(shí)是雙曲線函數(shù)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的
因?yàn)閤y = c的對稱軸是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的對稱軸是x軸，y軸
所以應(yīng)該旋轉(zhuǎn)45度
設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為 a （a≠0,順時針）
(a為雙曲線漸進(jìn)線的傾斜角)
則有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
則
X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2
= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2
= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)
Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)
由此證得，反比例函數(shù)其實(shí)就是雙曲線函數(shù).只不過是雙曲線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的另一種擺放形式.
·雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式
若∠F1PF2=θ,
則S△F1PF2=b²·cot（θ/2)
·例：已知F1、F2為雙曲線
C：
x²-y²=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)
P在
C上，∠F1PF2=60°，則
P到x軸的距離為多
少？
解：有雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式得S△F1PF2=b²·cot（θ/2)=1×cot30°，
設(shè)
P到x軸的距離為h，則S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3， h=√6/2
