“牛吃草”問題-小學數(shù)學網(wǎng)-學而思教育

Crystal_Y 2010-05-10

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世界著名的大科學家牛頓歷來喜歡研究運動，他在運動和變化中考察問題．他著的《普通算術(shù)》一書中曾提出一個有趣的數(shù)學問題：12頭牛4周吃

　　草的生長速度不變．問需要多少頭牛才能在18周吃完24公頃的牧草．這類問題被人們稱之為牛頓的“牛吃草”問題．下面我們共同討論一下這類題的特點及解法．

例1 牧場上有一片牧草，供24頭牛6周吃完，供18頭牛10周吃完．假定草的生長速度不變，那么供19頭牛需要幾周吃完？

分析：這個問題的難點在于，草一邊被牛吃掉，一邊仍在生長，也就是說牧草的總量隨時間的增加而增加．但不管牧草怎么增長，牧場原有草量與每天（或每周）新長的草量是不變的，因此必須先設(shè)法找出這兩個量來．我們可以先畫線段圖（如圖5—1）．

　　從上面圖對比可以看出，18頭牛吃10周的草量比24頭牛吃6周的草量多，多出的部分恰好相當于4周新生長的草量．這樣就可以求出草的生長速度，有了每周新長的草量，就可以用24頭牛吃6周的草量減去6周新長的草量，或用18頭牛吃10周的草量減去10周新長的草量，得到牧場原有的草量．有了原有的草量和新長的草量，問題就能很順利求解了．

解：設(shè)1頭牛吃一周的草量的為一份．

　　（1）24頭牛吃6周的草量

　　24×6=144（份）

　?。?/font>2）18頭牛吃10周的草量

　　18×10=180（份）

　　（3）（10-6）周新長的草量

　　180-144=36（份）

　?。?/font>4）每周新長的草量

　　36÷（10-6）=9（份）

　?。?/font>5）原有草量

　　24×6-9×6=90（份）

　　或18×10-9×10=90（份）

　　（6）全部牧草吃完所用時間

　　不妨讓19頭牛中的9頭牛去吃新長的草量，剩下的10頭牛吃原有草量，有

　　90÷（19-9）=9（周）

　　答：供19頭牛吃9周．

例2 20匹馬72天可吃完32公頃牧草，16匹馬54天可吃完24公頃的草．假設(shè)每公頃牧草原有草量相等，且每公頃草每天的生長速度相同．那么多少匹馬36天可吃完40公頃的牧草？

分析：同例1一樣，解這個題的關(guān)鍵在于求出每公頃每天新長的草量及每公頃原有草量即可．

　　設(shè)1匹馬吃一天的草量為一份．20匹馬72天吃32公頃的牧草，相當于一公頃原有牧草加上72天新長的草量，可供20×72÷32=45匹馬吃一天，即每公頃原有牧草加上72天新長的草量為45份．同樣，由16匹馬54天吃24公頃的草量，知每公頃原有牧草加上54天新長的草量為16×54÷24=36份．這兩者的差正好對應(yīng)了每公頃72-54=18天新長的草量，于是求得每公頃每天新長的草量，從而求出每公頃原有草量，這樣問題便能得到解決．

解：（1）每公頃每天新長的草量

　?。?/font>20×72÷32-16×54÷24）÷（72-54）

　　=0.5（份）

　　（2）每公頃原有草量

　　20×72÷32-0.5×72=9（份）

　　或16×54÷24-0.5×54=9（份）

　?。?/font>3）40公頃原有草量

　　9×40=360（份）

　　（4）40公頃36天新長的草量

　　0.5×36×40=720（份）

　?。?/font>5）40公頃的牧草36天吃完所需馬匹數(shù)

　　（360+720）÷36=30（匹）

　　答：30匹馬36天可吃完40公頃的牧草．

例3 有三輛不同車速的汽車同時從同一地點出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個騎車人．這三輛車分別用3分鐘，5分鐘，8分鐘分別追上騎車人．已知快速車每小時54千米，中車速每小時39．6千米，那么慢車的車速是多少（假設(shè)騎車人的速度不變）？

分析根據(jù)題意先畫出線段圖，如圖5—2．

　　從圖5—2可以看出，要求慢車的車速，只要求出慢車行8分鐘的路程.慢車8分鐘的路程等于路程AB加上路程BE．AB表示三車出發(fā)時騎車人已騎出的一段距離，這段距離用快車行3分鐘的路程AC減去騎車人行3分鐘的路程BC得到，騎車人3分鐘行的路程是多少，關(guān)鍵求出騎車人的速度，由圖中可以看出，中速車行5分鐘的路程AD減去快車行3分鐘的路程AC恰好為路程CD，路程CD是騎車人5-3=2分鐘行的路程，于是求出了騎車人的速度．BE表示騎車人8分鐘行的路程，也就容易求出，這樣慢車的速度便可以迎刃而解了．