江蘇省張家港市鹿苑中學(xué)   陳冬    215616

同學(xué)們通過(guò)學(xué)習(xí)《因式分解》這一節(jié)內(nèi)容，已經(jīng)初步了解、掌握因式分解的四種常用方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法。但同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中是否注意到其中所包含的數(shù)學(xué)思想呢？筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及精心研究，借本文剖析“數(shù)學(xué)思想”在因式分解中的應(yīng)用，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。

1、類比思想

根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，本章教材介紹了最基本的常用分解因式的方法：提公因式法和應(yīng)用公式法（平方差公式、完全平方公式）。從全章的引入到每一節(jié)課的引入，都立足滲透類比這種重要的數(shù)學(xué)思想。因此如果同學(xué)們掌握了類比的思想方法，那么在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)，就會(huì)將因式分解與因數(shù)分解作如下類比：

從因式分解的形式上類比，把整數(shù)60因數(shù)分解是3×4×5，類似地，整式a²－b²是a+b與a－b乘積的結(jié)果，因而多項(xiàng)式a²－b²因式分解為（a+b）（a－b），那么a+b與a－b都是 a²－b² 的因式。這樣類比，不僅有利于領(lǐng)會(huì)因式分解的意義，而且為因式分解的方法指明了思路。

從因式分解的結(jié)果上類比，算術(shù)里把一個(gè)整數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)冪的形式，如24=2³×3，類似地，把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，即分解后的因式必須是質(zhì)因式。

這樣的類比，能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到因式分解是數(shù)到式的發(fā)展過(guò)程，是特殊與一般的思維體現(xiàn)，由此產(chǎn)生對(duì)概念的遷移，正確辨別出數(shù)、式分解的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而達(dá)到真正理解因式分解。

2、分類思想

很多多項(xiàng)式都不能直接運(yùn)用提公因式法或直接運(yùn)用公式法分解，但是，進(jìn)行分組后，就可以先在局部上，進(jìn)而在整體上運(yùn)用這兩種方法進(jìn)行分解，使問(wèn)題迎刃而解。所以，“分組”步驟的作用，在于促進(jìn)了提公因式法和公式法的應(yīng)用，使多項(xiàng)式從不能分解的形態(tài)向能分解的狀態(tài)轉(zhuǎn)化。我們可以看到，分組的過(guò)程，實(shí)質(zhì)是通過(guò)添括號(hào)的方式，把有公因式的各項(xiàng)歸為一組，并使組之間產(chǎn)生新的公因式，如因式分解6ax－3ay+2bx－by時(shí)，可將6ax與－3ay，2bx與－by各分一組或?qū)?/span>6ax與2bx，－3ay與－by各分一組；也可把能運(yùn)用公式的各項(xiàng)歸為一組，如因式分解9m²－6m－4n²+1時(shí)，可將9m²，－6m與1這三項(xiàng)歸為一組（注：這三項(xiàng)可運(yùn)用完全平方公式來(lái)分解）， 而－4n²單獨(dú)為一組，然后再運(yùn)用平方差公式分解等等。由此可見，分組要注意統(tǒng)觀全局，分組分解因式要有預(yù)見性，關(guān)鍵要突出如何將多項(xiàng)式的各項(xiàng)準(zhǔn)確地分類，合理地選擇分組方案，使分解過(guò)程趨向簡(jiǎn)單，最終準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)分解因式。

3、轉(zhuǎn)化思想

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略思想多種多樣，在教學(xué)研究中，使一種研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對(duì)象的數(shù)學(xué)思想稱為轉(zhuǎn)化思想。體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，就是將原問(wèn)題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的或已經(jīng)解決的或者易于解決的問(wèn)題。就這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，解題過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程。在“因式分解”這一部分，我們接觸到許多數(shù)學(xué)方法——提公因式法、運(yùn)用公式法、十字相乘法、分組分解法等。只要我們學(xué)會(huì)了這些方法，按知識(shí)──方法──思想的順序提煉數(shù)學(xué)思想方法，與整式乘法作類比，在轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下根據(jù)題目特點(diǎn)就能解決很多與分解因式相關(guān)的問(wèn)題。如計(jì)算1003²－1002² 時(shí)，則應(yīng)考慮運(yùn)用平方差公式將原式分解為(1003+1002)(1003－1002)來(lái)計(jì)算比較簡(jiǎn)便。另外要實(shí)現(xiàn)同一個(gè)轉(zhuǎn)化目標(biāo)，往往有不同的轉(zhuǎn)化方法，既然有不同的方法達(dá)到同一個(gè)目標(biāo)，因而方法之間就可能有優(yōu)劣或繁簡(jiǎn)之別。當(dāng)你較為熟練地掌握因式分解方法（如分組分解法）之后，就應(yīng)該探索最優(yōu)解決方法，以求迅速準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)。如因式分解x²－xz+xy－yz－x－y時(shí)，同學(xué)甲采用第一與三，二與四，五與六項(xiàng)分組法，同學(xué)乙采用第一、二與五，三、四與六項(xiàng)分組法，同學(xué)丙采用第一與二，三與四，五與六項(xiàng)分組法，同學(xué)丁采用第一、二、三與四，五與六項(xiàng)分組法。這四位同學(xué)的解法各有特色，同學(xué)丙、丁的解法是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，間接地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，是可行的，而同學(xué)甲、乙的解法更直接些，具有較強(qiáng)的觀察力，一步分組即能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，非常簡(jiǎn)潔，是一種十分優(yōu)美的解法。

4、整體思想

在因式分解中，對(duì)于結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的多項(xiàng)式，若通過(guò)整理把其中某部分看作一個(gè)整體，則能使多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)明朗化，問(wèn)題簡(jiǎn)單化，便于因式分解。這就是我們常說(shuō)的整體思想。利用整體思想分解因式的學(xué)習(xí)可按以下兩步進(jìn)行：（1）學(xué)生通過(guò)換元可以加深對(duì)整體思想的理解。如因式分解 (x²+x)²－14(x²+x)+24，在變量思想的指導(dǎo)下，同學(xué)們會(huì)很快地想到用換元法對(duì)例題進(jìn)行分解因式，即設(shè)x²+x=a，則原式=a²－14a+24=(a－2)(a－12)=(x²+x－2)(x²+x－12)=(x+2)(x－1)(x+4)(x－3)。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生抓住換元法的特點(diǎn)是把x2+x看作一個(gè)整體，讓學(xué)生加深對(duì)整體思想的理解。（2）學(xué)生通過(guò)解題可以拓展整體思想。如因式分解(x²－3x+2)(x²－3x－4)－72，在整體思想的指導(dǎo)下，學(xué)生也很容易地得到以下的幾種解題方案。方案1：將x²－3x看作一個(gè)整體，則原式=(x²－3x)²－2(x²－3x)－80=…=(x－5)(x+2)(x²－3x+8)；方案2：將x²－3x+2看作一個(gè)整體，則原式=(x²－3x+2)²－6(x²－3x+2)－72=…=(x－5)(x+2)(x²－3x+8)；方案3：將x²－3x－4看作一個(gè)整體，則原式=(x²－3x－4+6)(x²－3x－4)－72=(x²－3x－4)²+6(x²－3x－4)－72=…=(x－5)(x+2)(x²－3x+8)。綜觀上述兩例，正是由于整體思想，使得繁與簡(jiǎn)、新與舊達(dá)到了和諧的統(tǒng)一。

5、數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。在實(shí)際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們要盡量發(fā)掘數(shù)與形的本質(zhì)聯(lián)系，促使學(xué)生善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

我們知道因式分解的常用方法——十字相乘法，實(shí)際上是借助十字交叉線分解系數(shù)。建立的十字交叉線圖既直觀，又易于比較系數(shù)之間的關(guān)系，尤其是方便調(diào)整因數(shù)（式），使之達(dá)到和諧的系數(shù)統(tǒng)一，最終完成因式的分解。如因式分解2x²－7x+3時(shí)，先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)。具體分解二次項(xiàng)系數(shù)(只取正因數(shù))：2＝1×2＝2×1；分解常數(shù)項(xiàng)：3=1×3=3×1=(－3)×(－1)=(－1)×(－3)　用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：

1　　1　　　　2　　　1　　　1　　?。?/span>1　　　　　　　　2　　－1

2　　3　　　　1　　　3　　　2　　?。?/span>3　　　　　　　　1　?。?/span>3

1×3+2×1=5　　1×1+2×3=7　　1×(－3)+2×(－1) =－5　　1×(－1)+2×(－3)=－7經(jīng)過(guò)觀察，第四種情況是正確的，這是因?yàn)榻徊嫦喑撕?，兩?xiàng)代數(shù)和恰等于一次項(xiàng)系數(shù)－7。

用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)因式分解，靈活運(yùn)用，進(jìn)行一題多解的練習(xí)，培養(yǎng)思維的發(fā)散性、靈活性、敏捷性；對(duì)習(xí)題靈活變通，引申推廣，培養(yǎng)思維的深刻性、抽象性；組織引導(dǎo)對(duì)解法簡(jiǎn)捷性的反思評(píng)估，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性。對(duì)同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想，是一題多解的思維本源，是類比、分類、轉(zhuǎn)化、整體、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想運(yùn)用的必然。數(shù)學(xué)思想的自覺(jué)運(yùn)用往往使我們運(yùn)算簡(jiǎn)捷、推理機(jī)敏，是提高數(shù)學(xué)能力的必由之路。