多邊形內(nèi)角和
　　定理 多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于： （n － 2）×180°
　　則正多邊形各內(nèi)角度數(shù)為： （n － 2）×180°÷n
　　已知正多邊形內(nèi)角度數(shù)則其邊數(shù)為： 360÷（180－內(nèi)角度數(shù)）
　　推論 任意多邊形的外角和=360
　　正多邊形任意兩個相鄰角的連線所構(gòu)成的三角形是等腰三角形
　　多邊形的內(nèi)角和
　　教學(xué)目標(biāo)
　　1．理解多邊形及有關(guān)概念，掌握多邊形內(nèi)角和定理及推論，理解其推導(dǎo)過程，并能較熟練地使用它們進(jìn)行有關(guān)計算。
　　2．在多邊形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生類比、轉(zhuǎn)化、歸納的科學(xué)思想方法；在定理及推論的應(yīng)用過程中培養(yǎng)建立方程的思想。
　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
　　重點(diǎn)是多邊形內(nèi)角和定理及推論的應(yīng)用。
　　難點(diǎn)是多邊形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)及運(yùn)用方程的思想來解決多邊形內(nèi)、外角的計算。
　　教學(xué)過程設(shè)計
　　一、多邊形及有關(guān)要領(lǐng)的教學(xué)
　　1．復(fù)習(xí)四邊形、凸多邊形及有關(guān)概念。 F
　　2．通過實例引入多邊形、凸多邊形及明關(guān)概念。 A
　　（1）舉出生活中多邊形的實例；
　?。?）類比定義多邊形式、凸多邊形的概念，并指出如果 B E
　　沒有特別說明，多邊形一般指凸多邊形；
　?。?） 將四邊形的有關(guān)概念逐項擴(kuò)展到多邊形情況，如頂 C D
　　點(diǎn)、邊、內(nèi)角、對角線表示方法等； 圖 4-10
　?。?）簡單練習(xí)，鞏固多邊形的表示方法及有關(guān)元素的辨認(rèn)。
　?。ㄍ队埃┚毩?xí)1 填空：如圖4-10，此多邊形應(yīng)記作
　　邊形 ，AB邊的鄰邊有 、 ，頂點(diǎn)F處的內(nèi)角為 ，畫出頂點(diǎn)D處的兩個外角，過頂點(diǎn)A畫出這個多邊形的對角線，共有 條，它們把多邊形分在了 個三角形，這個多邊形共有
　　條對角線。
　　二、探索凸多邊形的內(nèi)角和的性質(zhì)并進(jìn)行推導(dǎo)
　　1．提出問題。
　　由三角形內(nèi)角和為180°，四邊形內(nèi)角和為360° ，猜想多邊形的內(nèi)角和度數(shù)與邊數(shù)有關(guān)。具體是什么關(guān)系？
　　2．啟發(fā)學(xué)生猜想證明的思路。
　?。?）復(fù)習(xí)四邊形內(nèi)角和定理的證明過程，強(qiáng)調(diào)把四邊形分割成三角形，從而“把四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和來研究”這種化歸的思想。
　?。?）引導(dǎo)學(xué)生類比聯(lián)想，用化歸的思想和從特殊到一般的方法研究五邊形、六邊形、七邊形……的情況。
　　①教師應(yīng)幫助學(xué)生分析出解決問題的關(guān)鍵是多邊形分割轉(zhuǎn)化成有公共頂點(diǎn)的三角形的方法，以及割成三角形的個數(shù)與多邊數(shù)的關(guān)系；
　?、谝龑?dǎo)學(xué)生認(rèn)識分割方法的多樣性（見設(shè)計說明），選擇其中較為簡單并順慶大部分學(xué)生認(rèn)識過程的分割方法，推導(dǎo)五邊形、六邊形……的情況，歸納出n邊形內(nèi)角和的結(jié)論。
　　3．得到定理：n這形的內(nèi)角和等于（n-2）?180°。
　　說明：（1）多邊形的內(nèi)角和僅與邊數(shù)有關(guān)，與多邊形的大小、形狀無關(guān)；
　　（2）強(qiáng)調(diào)凸多邊形的內(nèi)角a的范圍：0°＜α＜180°。
　　三、凸多邊形外角和性質(zhì)的猜想和推導(dǎo)
　　1．復(fù)習(xí)多邊形外角和的含義及三角形、四邊形外角和的性質(zhì)，猜想凸多邊形的外角和的結(jié)論。
　　2．以六邊形為例，推導(dǎo)外角和性質(zhì)。
　　3．將推導(dǎo)方法推廣到一般情況，得出結(jié)論：任意多邊形的外角和等于360°。
　　4．教師強(qiáng)調(diào)“任意”兩字，說明書凸多邊形的外角和與邊數(shù)無磁，因此，比內(nèi)角和定理使用起來更為方便。
　　四、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
　　例1（1）22邊形的內(nèi)角和是多少度？若它的每一個內(nèi)角都相等，那么它的
　　每個外角度數(shù)是多少？
　?。?） 幾邊形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的2倍？
　?。?）已知一個多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求邊數(shù)。
　　分析：
　?、僖龑?dǎo)學(xué)生利用方程的思想，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和、外角和的性質(zhì)及題目中提供的等量關(guān)系得出關(guān)于未知數(shù)的方程去求解；
　　②對于利用多邊形內(nèi)角和公式反求國數(shù)的題目，需注意：只有求出的邊數(shù)n是大于2的正整數(shù)時，問題才有解；
　?、垤`活運(yùn)用“多邊形的我角和與邊數(shù)無關(guān)的性質(zhì)”簡化計算。
　　例2 （1）已知多邊形的每個內(nèi)角都是135°，求這個多邊形的邊數(shù)；
　?。?）每個外角都相等的多邊形，如果它的一個內(nèi)角等于一個外角的9倍，求這個多邊形的邊數(shù)。
　　分析：
　?、倜總€內(nèi)角或外角都相等的多邊形，它的每個內(nèi)角為（n-2）?180°/n，從而利用360°/n，利用這兩點(diǎn)就可以列出關(guān)于邊數(shù)n的方程，其中第二種方法較為簡單。
　?、趯τ诘冢?）題，可將“每個角都是135°”轉(zhuǎn)達(dá)化為“每個外角都為45°”，從而利用360°/n=45°，得出n的值為8。
　　③若設(shè)邊數(shù)為n，則方程為（n-2）?180°/n=9×360°/n得出n=20。
　?。ㄟx用）例3 （1）某多邊形除一個內(nèi)角a外，其余內(nèi)角的和是2 750°。求這個多邊形的邊數(shù)。
　?。?）已知n邊形恰有四個內(nèi)角是鈍角。這種多邊形共有多少個？其中邊數(shù)最少的是幾邊形？邊數(shù)最多的是幾邊形？
　　分析：利用多邊形每個內(nèi)角a的范圍，0°＜α＜180°，以及題目所提供的角度關(guān)系列不等式解決問題。
　　解：（1）由題意得（n-2）?180°=α+2 750°，∴α=（n-2）?180°-2 750°。
　　又∵0°＜α＜180°，∴0°＜（n-2）?180°-2 750°＜180°，
　　∴17 5/18＜n＜18 5/18。
　　因此這個多邊形為18邊形。
　　（2）設(shè)四個鈍角分別為α，β，γ，δ。則
　　∵360°＜α+β+γ+δ＜720°。
　　而另外n-4個內(nèi)角都是直角或銳角，
　　∴（n-4）×0°＜其余（n-4）個內(nèi)角的和≤（n-4）×90°，
　　∴360°＜（n-2）?180°＜720°+（n-4）×90°，
　　即360°＜（n-2）?180°＜720°+（n-4）×90°，∴4＜n＜8。
　　∵4＜n＜8的整數(shù)n有5，6，7三個，
　　∴這樣的多邊形共有三個，其邊數(shù)最小的是五邊形，邊數(shù)最多的七邊形。
　　補(bǔ)充練習(xí)：
　　1．幾邊形的內(nèi)角和與外角和之比是7∶2？（答：9）
　　2．已知一個多邊形的每個內(nèi)角都是鈍角，這樣的多邊形有多少個？每個內(nèi)角都是銳角的多邊形有多少個？是幾邊形？每個內(nèi)角都是直角的多邊形有幾個？是幾邊形？（答：無數(shù)個；一個，三角形；一個，四邊形）
　　3．多邊形最多有幾個外角是鈍角？最多有幾個內(nèi)角是銳角？（答：3個；3個）
　　多邊形的內(nèi)角和
　　[教學(xué)目標(biāo)]
　　1、 認(rèn)知目標(biāo)：理解多邊形有關(guān)概念；
　　理解多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過程；
　　掌握多邊形內(nèi)角和的計算。
　　2、 能力目標(biāo)：掌握類比歸納、轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí)方法；
　　培養(yǎng)學(xué)生思考、解決問題的能力。
　　[教具、學(xué)具]
　　投影片、表格紙、n邊形若干（分組每人準(zhǔn)備一種三張，n=4，5，6，7）
　　量角器、剪刀
　　[教學(xué)過程]
　　教學(xué)步驟 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計意圖
　　一、多邊形概念 1、了解概念 ⑴請同學(xué)們回憶一下怎樣的圖形是三角形？ ⑵那么怎樣的圖形叫做四邊形？ ⑶出示 分別叫什么？ ⑷四邊形、五邊形、六邊形都是多邊形，同學(xué)們再想一想，
　　你能舉出多邊形的例子嗎？ 悄悄說，后個別回答⑵同學(xué)舉手指名答⑶齊答 ⑷兩兩互說 學(xué)生利用三角形、
　　四邊形的定義進(jìn)行知識遷移，獲得多邊形的概念。
　　2、 理解概念的特征 ⑴投影顯示多邊形，n邊形的概念，老師強(qiáng)調(diào)一遍。 ⑵投影顯示：下列哪些圖形是多
　　邊形？是多邊形的請說明是幾邊形？ ⑶下面進(jìn)一步學(xué)習(xí)一些概念：多邊形的對角線，在（b）（c）上畫出
　　并口述概念， 同學(xué)們請在準(zhǔn)備的一張圖形上畫出至少一條對角線。 ⑷觀察（b）（c）對角線位置有何不同？ ⑸進(jìn)而提出凸多邊形概念，今后如果不說明，我們講的多邊形都是凸多邊形。 ⑵齊答 個別答 ⑶先獨(dú)立
　　畫后同桌交流 ⑷四人組討論一分鐘，組長回答 利用圖示幫助學(xué)生理解概念及對n的認(rèn)識，通過比較辨析強(qiáng)
　　化凸多邊形的特征。
　　二、公式推導(dǎo)1、提出問題 ⑴我們知道三角形內(nèi)角和是多少？ ⑵那么四邊形、五邊形、常見的六邊形螺帽
　　的內(nèi)角和是多少呢？多邊形的內(nèi)角和有沒有計算方法呢？這就是我們這節(jié)課研究的課題。板書課題：多邊形
　　的內(nèi)角和 ⑴齊答 ⑵引發(fā)學(xué)生思考 創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學(xué)生興趣，并揭示課題。
　　2、動手操作實踐，自己探索 ⑴請同學(xué)們利用數(shù)學(xué)工具，先把你們手上的多邊形的內(nèi)角和計算出來，并完成
　　表格（同桌多邊形邊數(shù)不一樣）老師巡視、指導(dǎo)可能有的方法：⑴用量角器量角 ⑵用剪刀剪成三角形或四
　　邊形 ⑶畫對角線分割多邊形為三角形 逐步啟發(fā)得到最佳方法： 通過對角線劃分成三角形，轉(zhuǎn)化為利用
　　三角形內(nèi)角和求出。 ⑴自己動手、動腦 學(xué)生利用學(xué)具進(jìn)行操作、思考、解決問題的多種方法，提供學(xué)生
　　主動探索的時間、空間。
　　3、觀察、尋找規(guī)律 ⑴請問同學(xué)們求出的內(nèi)角和是多少？⑵你是用什么方法求出來的呢？有幾種方法？哪種
　　方法最好呢？ ⑶交流表格。 ⑷四、五、六、七邊形內(nèi)角和之間有何規(guī)律？ ⑴對不同邊數(shù)多邊形分別請同
　　學(xué)回答 ⑵舉手請同學(xué)上講臺講⑶交流 ⑷四人小組討論，組長發(fā)言 體現(xiàn)“有方法、方法多、方法好”的教
　　學(xué)層次，通過填表便于學(xué)生尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步可做出猜想。
　　4、猜想 那么對于n邊形猜想一下內(nèi)角和計算公式是什么？（老師參與討論） 小組之間討論，組長發(fā)言
　　鼓勵學(xué)生大膽猜想、大膽發(fā)現(xiàn)。
　　5、驗證 ⑴就我們已求出的特殊多邊形的內(nèi)角和，通過公式再求一次是否相符 ⑵請同學(xué)們自己舉一個例子
　　驗證一下對不對？有沒有反例？ ⑴獨(dú)立舉例檢驗⑵兩兩交流
　　6、小結(jié)歸納 通過動手操作，我們找到了解決問題的幾種方法，知道利用多邊形的對角線將多邊形劃分成三
　　角形轉(zhuǎn)化為利用三角形內(nèi)角和來求多邊形內(nèi)角和的方法最好。又通過尋找規(guī)律，猜想發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和計算
　　方法，并加以驗證，接著就可以從特殊到一般歸納出計算公式是什么？ 自己說 通過類比歸納，完成從特
　　殊到一般的認(rèn)識、體現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)識的一般過程。
　　7、鞏固練習(xí) ⑴求12邊形的內(nèi)角和度數(shù) ⑵如果12邊形的每一個內(nèi)角相等，那么每個內(nèi)角是多少度 ⑶已知多
　　邊形的內(nèi)角和為 1800°，這個多邊形是幾邊形？老師巡視、指導(dǎo)。 集體做，三個學(xué)生上黑板做并請請其他
　　同學(xué)講評 加深對公式的理解
　　三、總結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了多邊形的內(nèi)角和公式，重點(diǎn)是它的推導(dǎo)過程，我們采取的方法是通過對角線劃
　　分，把多邊形分成若干個三角形，利用熟悉的三角形內(nèi)角和來做，從特殊的多邊形歸納出n多邊形的內(nèi)角和公
　　式是（n－2）·180°這種學(xué)習(xí)方法我們在今后的學(xué)習(xí)過程中要學(xué)用、會用。 學(xué)生和老師一起總結(jié) 再次強(qiáng)調(diào)
　　推導(dǎo)公式方法
　　四、延伸，提高練習(xí)（時間不夠放在課外） ⑴投影：在n邊形一邊上任取一點(diǎn)P，連結(jié)點(diǎn)P與多邊形的每一個
　　頂點(diǎn)，查得幾個三角形，圖中取n=6的情形，你能否根據(jù)這樣的劃分多邊形的方法來說明n邊形的內(nèi)角和等于
　　（n－2）·180°（教師參與討論）⑵想一想是否還有其它的劃分方法？ ⑴全班交流、匯報⑵小組討論、匯
　　報 掌握轉(zhuǎn)化思想
　　教學(xué)反思：如何營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與創(chuàng)造性？。
　　老師要放下威嚴(yán)的架子，從教學(xué)壟斷者轉(zhuǎn)變?yōu)榻M織引導(dǎo)者，這也正是課程改革新形勢下的教師必須做到的一
　　點(diǎn)，只有這樣，才能建立平等的民主的師生關(guān)系，從而使老師在學(xué)生中產(chǎn)生強(qiáng)烈的感召力，使教學(xué)不再是冷
　　冰冰的理智活動，而是學(xué)生全身心投入的、充滿激情的學(xué)習(xí)活動。本課通過從多邊形的一個頂點(diǎn)引出的對角
　　線把多邊形分成n-2個三角形，得出：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)X180°。得出結(jié)論后，老師并沒有到此就結(jié)束，
　　而是鼓勵學(xué)生進(jìn)行探究。讓學(xué)生試著在多邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，由這點(diǎn)向各頂點(diǎn)連線，是否也能推導(dǎo)出內(nèi)角和公
　　式呢?學(xué)生們一下子來了興趣，紛紛在練習(xí)本上畫圖、研究，有的學(xué)生相互之間還進(jìn)行了討論，進(jìn)行新的探討。
　　不多時，學(xué)生甲興奮地站了起來，說出了他的推導(dǎo)方法：有幾條邊就能分成幾個三角形，這些三角形所有內(nèi)
　　角和為nX180°。由于以點(diǎn)p為頂點(diǎn)的周角不屬于多邊形的內(nèi)角，應(yīng)從中減去，從而就得出n邊形的內(nèi)角和是(
　　n－2)X180°。接著老師對他進(jìn)行了鼓勵，和全班同學(xué)為他鼓掌祝賀，這個同學(xué)的高興勁就甭提了。同時全班
　　學(xué)生也對此問題產(chǎn)生了極大的興趣。這時，學(xué)生乙(是個女生)也站了起來，“老師，我還有第三種方法”。
　　她很自信地說出了她推導(dǎo)的道理，并要求到黑板前畫圖講解，老師又對她進(jìn)行了鼓勵，“好，你來當(dāng)老師，
　　我做學(xué)生”。只見她在黑板上畫了圖，又在其中一邊上取一點(diǎn)p，然后向各頂點(diǎn)連線，也得到了多個三角形，
　　分割成的三角形的個數(shù)比邊數(shù)少1，所以這些三角形所有的內(nèi)角和為(n－1)X180°，由于所有三角形的其中一
　　個頂點(diǎn)都在點(diǎn)p上，組成一個平角，不屬于多邊形的內(nèi)角，應(yīng)減去，因此，多邊形的內(nèi)角和為(n－1)X180°－
　　180°，即為(n－2)X180°。這時，全班學(xué)生禁不住鼓起掌，老師也為這個學(xué)生高興地鼓掌。看到學(xué)生研究問
　　題的興趣很濃，老師順?biāo)浦?，激勵學(xué)生們繼續(xù)探究，既然已有了三種方法，那么有沒有第四種方法呢?學(xué)生
　　們這時的興致更濃了，開始討論、探究。過了不久，學(xué)生丙站起來，鄭重地向全班學(xué)生說：“第四種方法有
　　了!”其他學(xué)生迫不及待地想知道他的想法，就連老師當(dāng)時也沒想到他能找到第四種方法。他高興地走到黑板
　　前，拿起粉筆在黑板上畫了個多邊形，在多邊形的外邊取了個點(diǎn)p，然后從點(diǎn)p向和它不相鄰的頂點(diǎn)連線，這
　　樣，把多邊形分成了2個三角形和(n—3)個四邊形，這2個三角形的內(nèi)角和為180°X2，(n－3)個四邊形的內(nèi)角
　　和為(n－3)X 360°，總和為180°X2+(n－3)X 360°，在這個總和里，連了幾條線，就多了幾個平角，應(yīng)減
　　去。n邊形能連(n－2)條，所以減(n－2)個平角，即180°X2+(n－3)X 360°－(n－2)X180°等于(n－2)X180
　　°。這時，整個教室里又爆發(fā)出更熱烈更長久的掌聲?？上攵藭r同學(xué)們的心情是多么激動啊，在他們
　　心目中，數(shù)學(xué)已經(jīng)不再是那么枯燥無味了?；蛟S，他們感覺到數(shù)學(xué)離他們那么近，那么有趣，又那么奇妙。
　　掌聲之后，老師鼓勵同學(xué)們，數(shù)學(xué)的奧秘很深，永無止境，你不研究它，感到枯燥，你研究它，感到趣味無
　　窮。 多邊形的內(nèi)角和
　　教學(xué)目標(biāo)
　　1．理解多邊形及有關(guān)概念，掌握多邊形內(nèi)角和定理及推論，理解其推導(dǎo)過程，并能較熟練地使用它們進(jìn)行有關(guān)計算。
　　2．在多邊形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生類比、轉(zhuǎn)化、歸納的科學(xué)思想方法；在定理及推論的應(yīng)用過程中培養(yǎng)建立方程的思想。
　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
　　重點(diǎn)是多邊形內(nèi)角和定理及推論的應(yīng)用。
　　難點(diǎn)是多邊形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)及運(yùn)用方程的思想來解決多邊形內(nèi)、外角的計算。
　　教學(xué)過程設(shè)計
　　一、多邊形及有關(guān)要領(lǐng)的教學(xué)
　　1．復(fù)習(xí)四邊形、凸多邊形及有關(guān)概念。 F
　　2．通過實例引入多邊形、凸多邊形及明關(guān)概念。 A
　?。?）舉出生活中多邊形的實例；
　?。?）類比定義多邊形式、凸多邊形的概念，并指出如果 B E
　　沒有特別說明，多邊形一般指凸多邊形；
　?。?） 將四邊形的有關(guān)概念逐項擴(kuò)展到多邊形情況，如頂 C D
　　點(diǎn)、邊、內(nèi)角、對角線表示方法等； 圖 4-10
　?。?）簡單練習(xí)，鞏固多邊形的表示方法及有關(guān)元素的辨認(rèn)。
　　（投影）練習(xí)1 填空：如圖4-10，此多邊形應(yīng)記作
　　邊形 ，AB邊的鄰邊有 、 ，頂點(diǎn)F處的內(nèi)角為 ，畫出頂點(diǎn)D處的兩個外角，過頂點(diǎn)A畫出這個多邊形的對角線，共有 條，它們把多邊形分在了 個三角形，這個多邊形共有
　　條對角線。
　　二、探索凸多邊形的內(nèi)角和的性質(zhì)并進(jìn)行推導(dǎo)
　　1．提出問題。
　　由三角形內(nèi)角和為180°，四邊形內(nèi)角和為360° ，猜想多邊形的內(nèi)角和度數(shù)與邊數(shù)有關(guān)。具體是什么關(guān)系？
　　2．啟發(fā)學(xué)生猜想證明的思路。
　　（1）復(fù)習(xí)四邊形內(nèi)角和定理的證明過程，強(qiáng)調(diào)把四邊形分割成三角形，從而“把四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和來研究”這種化歸的思想。
　?。?）引導(dǎo)學(xué)生類比聯(lián)想，用化歸的思想和從特殊到一般的方法研究五邊形、六邊形、七邊形……的情況。
　?、俳處煈?yīng)幫助學(xué)生分析出解決問題的關(guān)鍵是多邊形分割轉(zhuǎn)化成有公共頂點(diǎn)的三角形的方法，以及割成三角形的個數(shù)與多邊數(shù)的關(guān)系；
　?、谝龑?dǎo)學(xué)生認(rèn)識分割方法的多樣性（見設(shè)計說明），選擇其中較為簡單并順慶大部分學(xué)生認(rèn)識過程的分割方法，推導(dǎo)五邊形、六邊形……的情況，歸納出n邊形內(nèi)角和的結(jié)論。
　　3．得到定理：n這形的內(nèi)角和等于（n-2）?180°。
　　說明：（1）多邊形的內(nèi)角和僅與邊數(shù)有關(guān)，與多邊形的大小、形狀無關(guān)；
　　（2）強(qiáng)調(diào)凸多邊形的內(nèi)角a的范圍：0°＜α＜180°。
　　三、凸多邊形外角和性質(zhì)的猜想和推導(dǎo)
　　1．復(fù)習(xí)多邊形外角和的含義及三角形、四邊形外角和的性質(zhì)，猜想凸多邊形的外角和的結(jié)論。
　　2．以六邊形為例，推導(dǎo)外角和性質(zhì)。
　　3．將推導(dǎo)方法推廣到一般情況，得出結(jié)論：任意多邊形的外角和等于360°。
　　4．教師強(qiáng)調(diào)“任意”兩字，說明書凸多邊形的外角和與邊數(shù)無磁，因此，比內(nèi)角和定理使用起來更為方便。
　　四、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
　　例1（1）22邊形的內(nèi)角和是多少度？若它的每一個內(nèi)角都相等，那么它的
　　每個外角度數(shù)是多少？
　　（1） 幾邊形的內(nèi)角和是八邊形內(nèi)角和的2倍？
　?。?）已知一個多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求邊數(shù)。
　　分析：
　?、僖龑?dǎo)學(xué)生利用方程的思想，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和、外角和的性質(zhì)及題目中提供的等量關(guān)系得出關(guān)于未知數(shù)的方程去求解；
　?、趯τ诶枚噙呅蝺?nèi)角和公式反求國數(shù)的題目，需注意：只有求出的邊數(shù)n是大于2的正整數(shù)時，問題才有解；
　　③靈活運(yùn)用“多邊形的我角和與邊數(shù)無關(guān)的性質(zhì)”簡化計算。
　　例2 （1）已知多邊形的每個內(nèi)角都是135°，求這個多邊形的邊數(shù)；
　?。?）每個外角都相等的多邊形，如果它的一個內(nèi)角等于一個外角的9倍，求這個多邊形的邊數(shù)。
　　分析：
　?、倜總€內(nèi)角或外角都相等的多邊形，它的每個內(nèi)角為（n-2）?180°/n，從而利用360°/n，利用這兩點(diǎn)就可以列出關(guān)于邊數(shù)n的方程，其中第二種方法較為簡單。
　　②對于第（1）題，可將“每個角都是135°”轉(zhuǎn)達(dá)化為“每個外角都為45°”，從而利用360°/n=45°，得出n的值為8。
　?、廴粼O(shè)邊數(shù)為n，則方程為（n-2）?180°/n=9×360°/n得出n=20。
　?。ㄟx用）例3 （1）某多邊形除一個內(nèi)角a外，其余內(nèi)角的和是2 750°。求這個多邊形的邊數(shù)。
　　（2）已知n邊形恰有四個內(nèi)角是鈍角。這種多邊形共有多少個？其中邊數(shù)最少的是幾邊形？邊數(shù)最多的是幾邊形？
　　分析：利用多邊形每個內(nèi)角a的范圍，0°＜α＜180°，以及題目所提供的角度關(guān)系列不等式解決問題。
　　解：（1）由題意得（n-2）?180°=α+2 750°，∴α=（n-2）?180°-2 750°。
　　又∵0°＜α＜180°，∴0°＜（n-2）?180°-2 750°＜180°，
　　∴17 5/18＜n＜18 5/18。
　　因此這個多邊形為18邊形。
　?。?）設(shè)四個鈍角分別為α，β，γ，δ。則
　　∵360°＜α+β+γ+δ＜720°。
　　而另外n-4個內(nèi)角都是直角或銳角，
　　∴（n-4）×0°＜其余（n-4）個內(nèi)角的和≤（n-4）×90°，
　　∴360°＜（n-2）?180°＜720°+（n-4）×90°，
　　即360°＜（n-2）?180°＜720°+（n-4）×90°，∴4＜n＜8。
　　∵4＜n＜8的整數(shù)n有5，6，7三個，
　　∴這樣的多邊形共有三個，其邊數(shù)最小的是五邊形，邊數(shù)最多的七邊形。
　　補(bǔ)充練習(xí)：
　　1．幾邊形的內(nèi)角和與外角和之比是7∶2？（答：9）
　　2．已知一個多邊形的每個內(nèi)角都是鈍角，這樣的多邊形有多少個？每個內(nèi)角都是銳角的多邊形有多少個？是幾邊形？每個內(nèi)角都是直角的多邊形有幾個？是幾邊形？（答：無數(shù)個；一個，三角形；一個，四邊形）
　　3．多邊形最多有幾個外角是鈍角？最多有幾個內(nèi)角是銳角？（答：3個；3個）
　　多邊形的內(nèi)角和
　　[教學(xué)目標(biāo)]
　　1、 認(rèn)知目標(biāo)：理解多邊形有關(guān)概念；
　　理解多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過程；
　　掌握多邊形內(nèi)角和的計算。
　　2、 能力目標(biāo)：掌握類比歸納、轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí)方法；
　　培養(yǎng)學(xué)生思考、解決問題的能力。
　　[教具、學(xué)具]
　　投影片、表格紙、n邊形若干（分組每人準(zhǔn)備一種三張，n=4，5，6，7）
　　量角器、剪刀
　　[教學(xué)過程]
　　教學(xué)步驟 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計意圖
　　一、多邊形概念 1、了解概念 ⑴請同學(xué)們回憶一下怎樣的圖形是三角形？ ⑵那么怎樣的圖形叫做四邊形？ ⑶出示 分別叫什么？ ⑷四邊形、五邊形、六邊形都是多邊形，同學(xué)們再想一想，
　　你能舉出多邊形的例子嗎？ 悄悄說，后個別回答⑵同學(xué)舉手指名答⑶齊答 ⑷兩兩互說 學(xué)生利用三角形、
　　四邊形的定義進(jìn)行知識遷移，獲得多邊形的概念。
　　2、 理解概念的特征 ⑴投影顯示多邊形，n邊形的概念，老師強(qiáng)調(diào)一遍。 ⑵投影顯示：下列哪些圖形是多
　　邊形？是多邊形的請說明是幾邊形？ ⑶下面進(jìn)一步學(xué)習(xí)一些概念：多邊形的對角線，在（b）（c）上畫出
　　并口述概念， 同學(xué)們請在準(zhǔn)備的一張圖形上畫出至少一條對角線。 ⑷觀察（b）（c）對角線位置有何不同？ ⑸進(jìn)而提出凸多邊形概念，今后如果不說明，我們講的多邊形都是凸多邊形。 ⑵齊答 個別答 ⑶先獨(dú)立
　　畫后同桌交流 ⑷四人組討論一分鐘，組長回答 利用圖示幫助學(xué)生理解概念及對n的認(rèn)識，通過比較辨析強(qiáng)
　　化凸多邊形的特征。
　　二、公式推導(dǎo)1、提出問題 ⑴我們知道三角形內(nèi)角和是多少？ ⑵那么四邊形、五邊形、常見的六邊形螺帽
　　的內(nèi)角和是多少呢？多邊形的內(nèi)角和有沒有計算方法呢？這就是我們這節(jié)課研究的課題。板書課題：多邊形
　　的內(nèi)角和 ⑴齊答 ⑵引發(fā)學(xué)生思考 創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學(xué)生興趣，并揭示課題。
　　2、動手操作實踐，自己探索 ⑴請同學(xué)們利用數(shù)學(xué)工具，先把你們手上的多邊形的內(nèi)角和計算出來，并完成
　　表格（同桌多邊形邊數(shù)不一樣）老師巡視、指導(dǎo)可能有的方法：⑴用量角器量角 ⑵用剪刀剪成三角形或四
　　邊形 ⑶畫對角線分割多邊形為三角形 逐步啟發(fā)得到最佳方法： 通過對角線劃分成三角形，轉(zhuǎn)化為利用
　　三角形內(nèi)角和求出。 ⑴自己動手、動腦 學(xué)生利用學(xué)具進(jìn)行操作、思考、解決問題的多種方法，提供學(xué)生
　　主動探索的時間、空間。
　　3、觀察、尋找規(guī)律 ⑴請問同學(xué)們求出的內(nèi)角和是多少？⑵你是用什么方法求出來的呢？有幾種方法？哪種
　　方法最好呢？ ⑶交流表格。 ⑷四、五、六、七邊形內(nèi)角和之間有何規(guī)律？ ⑴對不同邊數(shù)多邊形分別請同
　　學(xué)回答 ⑵舉手請同學(xué)上講臺講⑶交流 ⑷四人小組討論，組長發(fā)言 體現(xiàn)“有方法、方法多、方法好”的教
　　學(xué)層次，通過填表便于學(xué)生尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步可做出猜想。
　　4、猜想 那么對于n邊形猜想一下內(nèi)角和計算公式是什么？（老師參與討論） 小組之間討論，組長發(fā)言
　　鼓勵學(xué)生大膽猜想、大膽發(fā)現(xiàn)。
　　5、驗證 ⑴就我們已求出的特殊多邊形的內(nèi)角和，通過公式再求一次是否相符 ⑵請同學(xué)們自己舉一個例子
　　驗證一下對不對？有沒有反例？ ⑴獨(dú)立舉例檢驗⑵兩兩交流
　　6、小結(jié)歸納 通過動手操作，我們找到了解決問題的幾種方法，知道利用多邊形的對角線將多邊形劃分成三
　　角形轉(zhuǎn)化為利用三角形內(nèi)角和來求多邊形內(nèi)角和的方法最好。又通過尋找規(guī)律，猜想發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和計算
　　方法，并加以驗證，接著就可以從特殊到一般歸納出計算公式是什么？ 自己說 通過類比歸納，完成從特
　　殊到一般的認(rèn)識、體現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)識的一般過程。
　　7、鞏固練習(xí) ⑴求12邊形的內(nèi)角和度數(shù) ⑵如果12邊形的每一個內(nèi)角相等，那么每個內(nèi)角是多少度 ⑶已知多
　　邊形的內(nèi)角和為 1800°，這個多邊形是幾邊形？老師巡視、指導(dǎo)。 集體做，三個學(xué)生上黑板做并請請其他
　　同學(xué)講評 加深對公式的理解
　　三、總結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了多邊形的內(nèi)角和公式，重點(diǎn)是它的推導(dǎo)過程，我們采取的方法是通過對角線劃
　　分，把多邊形分成若干個三角形，利用熟悉的三角形內(nèi)角和來做，從特殊的多邊形歸納出n多邊形的內(nèi)角和公
　　式是（n－2）·180°這種學(xué)習(xí)方法我們在今后的學(xué)習(xí)過程中要學(xué)用、會用。 學(xué)生和老師一起總結(jié) 再次強(qiáng)調(diào)
　　推導(dǎo)公式方法
　　四、延伸，提高練習(xí)（時間不夠放在課外） ⑴投影：在n邊形一邊上任取一點(diǎn)P，連結(jié)點(diǎn)P與多邊形的每一個
　　頂點(diǎn)，查得幾個三角形，圖中取n=6的情形，你能否根據(jù)這樣的劃分多邊形的方法來說明n邊形的內(nèi)角和等于
　?。╪－2）·180°（教師參與討論）⑵想一想是否還有其它的劃分方法？ ⑴全班交流、匯報⑵小組討論、匯
　　報 掌握轉(zhuǎn)化思想
　　教學(xué)反思：如何營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與創(chuàng)造性？。
　　老師要放下威嚴(yán)的架子，從教學(xué)壟斷者轉(zhuǎn)變?yōu)榻M織引導(dǎo)者，這也正是課程改革新形勢下的教師必須做到的一
　　點(diǎn)，只有這樣，才能建立平等的民主的師生關(guān)系，從而使老師在學(xué)生中產(chǎn)生強(qiáng)烈的感召力，使教學(xué)不再是冷
　　冰冰的理智活動，而是學(xué)生全身心投入的、充滿激情的學(xué)習(xí)活動。本課通過從多邊形的一個頂點(diǎn)引出的對角
　　線把多邊形分成n-2個三角形，得出：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)X180°。得出結(jié)論后，老師并沒有到此就結(jié)束，
　　而是鼓勵學(xué)生進(jìn)行探究。讓學(xué)生試著在多邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，由這點(diǎn)向各頂點(diǎn)連線，是否也能推導(dǎo)出內(nèi)角和公
　　式呢?學(xué)生們一下子來了興趣，紛紛在練習(xí)本上畫圖、研究，有的學(xué)生相互之間還進(jìn)行了討論，進(jìn)行新的探討。
　　不多時，學(xué)生甲興奮地站了起來，說出了他的推導(dǎo)方法：有幾條邊就能分成幾個三角形，這些三角形所有內(nèi)
　　角和為nX180°。由于以點(diǎn)p為頂點(diǎn)的周角不屬于多邊形的內(nèi)角，應(yīng)從中減去，從而就得出n邊形的內(nèi)角和是(
　　n－2)X180°。接著老師對他進(jìn)行了鼓勵，和全班同學(xué)為他鼓掌祝賀，這個同學(xué)的高興勁就甭提了。同時全班
　　學(xué)生也對此問題產(chǎn)生了極大的興趣。這時，學(xué)生乙(是個女生)也站了起來，“老師，我還有第三種方法”。
　　她很自信地說出了她推導(dǎo)的道理，并要求到黑板前畫圖講解，老師又對她進(jìn)行了鼓勵，“好，你來當(dāng)老師，
　　我做學(xué)生”。只見她在黑板上畫了圖，又在其中一邊上取一點(diǎn)p，然后向各頂點(diǎn)連線，也得到了多個三角形，
　　分割成的三角形的個數(shù)比邊數(shù)少1，所以這些三角形所有的內(nèi)角和為(n－1)X180°，由于所有三角形的其中一
　　個頂點(diǎn)都在點(diǎn)p上，組成一個平角，不屬于多邊形的內(nèi)角，應(yīng)減去，因此，多邊形的內(nèi)角和為(n－1)X180°－
　　180°，即為(n－2)X180°。這時，全班學(xué)生禁不住鼓起掌，老師也為這個學(xué)生高興地鼓掌。看到學(xué)生研究問
　　題的興趣很濃，老師順?biāo)浦?，激勵學(xué)生們繼續(xù)探究，既然已有了三種方法，那么有沒有第四種方法呢?學(xué)生
　　們這時的興致更濃了，開始討論、探究。過了不久，學(xué)生丙站起來，鄭重地向全班學(xué)生說：“第四種方法有
　　了!”其他學(xué)生迫不及待地想知道他的想法，就連老師當(dāng)時也沒想到他能找到第四種方法。他高興地走到黑板
　　前，拿起粉筆在黑板上畫了個多邊形，在多邊形的外邊取了個點(diǎn)p，然后從點(diǎn)p向和它不相鄰的頂點(diǎn)連線，這
　　樣，把多邊形分成了2個三角形和(n—3)個四邊形，這2個三角形的內(nèi)角和為180°X2，(n－3)個四邊形的內(nèi)角
　　和為(n－3)X 360°，總和為180°X2+(n－3)X 360°，在這個總和里，連了幾條線，就多了幾個平角，應(yīng)減
　　去。n邊形能連(n－2)條，所以減(n－2)個平角，即180°X2+(n－3)X 360°－(n－2)X180°等于(n－2)X180
　　°。這時，整個教室里又爆發(fā)出更熱烈更長久的掌聲?？上攵?，此時同學(xué)們的心情是多么激動啊，在他們
　　心目中，數(shù)學(xué)已經(jīng)不再是那么枯燥無味了。或許，他們感覺到數(shù)學(xué)離他們那么近，那么有趣，又那么奇妙。
　　掌聲之后，老師鼓勵同學(xué)們，數(shù)學(xué)的奧秘很深，永無止境，你不研究它，感到枯燥，你研究它，感到趣味無
　　窮。